基于改进灰色评估模型的地空导弹系统效能分析

郑益凯，范云锋，张思霈，朱 莹，吴 凯

（上海机电工程研究所，上海 201109）

0 引言

现代战争中，防空反导的作战需求使得地空导弹凸显更为重要的作用。地空导弹武器以地面发射导弹为主要形式［1］，可对空中目标进行有效抗击和拦截，加之导弹机动性能好，目标毁伤能力强，各国相继投入大量经费，开展防空武器装备的研制和创新，这极大地促进了地空导弹装备的发展。与此同时，武器装备的研制思想也逐渐从关注武器性能转变为重视武器系统综合效能。

系统效能是衡量武器系统在规定条件下完成规定任务的程度，是评价武器系统优劣最重要的综合性指标。对武器系统进行效能评估已经成为装备研制过程的必要环节，它对促进装备发展规划和各阶段方案论证起着不可忽视的作用。如何客观、正确地评估导弹武器系统的效能已经成为导弹武器发展研制、系统论证和作战使用的重要研究方向［2］。

目前，地空导弹武器系统效能分析的主要方法包括ADC（availability，dependability，capacity）法、层次分析法、试验统计法、灰色评估法和模糊评估法等。基于白化权函数的灰色聚类评估法在解决不确定问题评估方面具有简单实用的优势，自建立以来被大量应用于评估实践［3-4］。

本文针对传统三角白化权函数灰色评估法存在的指标赋权方法单一、白化权函数聚类系数取值相近以及多对象决策时仅依据所属灰类聚类系数区分对象优劣的问题，构造了一种改进灰色评估模型。

该模型首先采用基于最小二乘和相对熵原理的组合赋权法计算评价指标体系各指标的主客观权重，并针对白化权函数综合系数取值相近导致无法准确判断对象归属的情况，对原有白化权函数的构造方法进行改进，将一确定区间作为某一灰类的聚类中心，得到对象的评价结果。但是，当评估结果出现多个对象同属一个灰类且综合聚类系数差别不大时，仅根据该灰类聚类系数大小区分对象优劣所得结果往往不够全面，为此，本文结合综合测度决策模型对计算结果进行进一步分析，以充分考虑各个灰类对评估对象优劣性判断的影响。

本文以地空导弹为研究对象，根据研究对象的结构和功能特点，建立效能评价指标体系，在此基础上采用改进灰色评估模型来计算地空导弹武器系统的综合效能，并通过实例分析，验证了改进模型的合理性与可行性。

1 效能评估指标体系构建

地空导弹武器系统效能是指武器系统在规定条件下、一定时间内完成预定作战任务能力的程度。依据系统效能评估指标体系的建立原则和建立步骤，结合地空导弹武器系统的结构组成和功能特点，从导弹武器系统的搜索跟踪能力、目标毁伤能力、系统可靠性、机动能力和抗干扰能力这5个方面，对影响地空导弹武器能力的因素进行分析，建立全面的系统效能评价指标体系，如图1所示。

图1 地空导弹武器系统效能评估指标体系Fig.1 Effectiveness evaluation index system of surface-to-air missile weapon system

2 改进组合赋权法

确定指标权重是进行系统效能分析的关键环节，采用基于最小二乘和相对熵原理的组合赋权法将指数标度层次分析法得到的主观权重和改进熵权法得到的客观权重进行综合，得到的组合权重兼顾不同赋权方法的优缺点，权重结果更加合理［5］。

2.1 指数标度层次分析法

层次分析法［6］主要依据评估者对指标的主观重要性判断进行赋权，能较好地体现评估者的主观偏好。按以下步骤进行具体计算。

1）构造层次结构：根据对象特性将影响效能指标划分为不同层次，建立指标体系；

2）构造判断矩阵：对同层次中各指标的重要性进行两两比较，构造判断矩阵；

3）权重计算：求矩阵最大特征值和对应的特征向量，归一化得到指标主观权重；

4）一致性检验：对判断矩阵进行一致性检验，重复调整检验，直到满足一致性要求。

所得主观权重可表达为U=(u1，u2，…，un)，其中，U为指标体系总权重向量，u1，u2，…，un分别为n个指标的权重。

2.2 熵权法及其改进

熵权法［7］依据指标所含信息量大小来确定其权重。指标数据变异程度越大，则该指标所含信息量也越大，其权值就越大［8］。

在实际评估中，当评估指标数据值离散程度较大时，所得指标权重值会很大，可能与主观愿望和客观实际相违背，直接影响甚至决定最终的评估结果，需要对其进行修正。

2.2.1熵权法计算步骤

熵权法的计算步骤如下：

1）构建m个样本n个评价指标的初始矩阵，并进行规范化处理，有T=(tij)m×n(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，其中，tij表示第i个评估对象对第j项指标的评价值；

2）计算第j项评价指标下第i个评估对象的指标值比重pij；

3）计算第j项评价指标的熵权ej；

4）计算第j项评价指标的权重wj。

2.2.2权重修正

假设指标权重上限值为a，得到的指标主观权重和客观权重分别为U=(u1，u2，…，un)和W=(w1，w2，…，wn)，判断权重向量W的各分量是否大于设定的上限值a。当某一分量wj＞a时，将该分量置为a，即修正后该指标的熵权值vj=a，余下部分(vj-a)按比例分配到剩余的（n-1）个指标中去，可表示为

修正后的客观权重为V=(v1，v2，…，vn)。

2.3 基于最小二乘和相对熵的组合赋权

2.3.1基于最小二乘原理的组合赋权模型

以组合权重与主客观权重的偏差平方和最小为目标进行组合赋权，基于最小二乘原理建立如下优化模型，即

式中：ωj为组合权重；k1、k2为主、客观赋权法的偏好系数，且k1+k2=1；rij为评价对象i关于指标j的规范化指标值。构造拉格朗日函数

由极值存在必要条件可得最优解为

2.3.2相对熵确定组合赋权系数

由于两种评估方法的赋权机理不同，不同方法对被评价问题是有偏好的，因而组合赋权的关键是确定权系数。当主、客观权重向量为离散分布时，相对熵可以作为二者之间贴合度的量度。因此，由两种赋权结果得到集结权重d=(d1，d2，…，dm)的问题可以表示为如下数学规划问题：

有全局最优解，其中，

计算主观权重、客观权重与集结权重的贴近度h(ωi，d∗)（i=1，2）及两个权重的可信度。组合权重与集结权重的贴近度越大，说明该方法在组合赋权中的作用越大。该赋权方法的权系数可表示为

将得到的两种赋权法的可信度权重k1、k2代入式（2）～（4），即可得到指标的组合权重。

3 改进灰色聚类评估法

3.1 改进灰色聚类评估模型

改进灰色聚类评估模型在中心点三角白化权函数基础上，将白化权函数最属于某一灰类的取值范围区间作为该灰类的聚类中心，得到评估结果。设有m个待评估对象，n个评估指标，s个不同灰类，第i个对象关于指标j的观察值为xij，具体步骤如下［9-12］：

1）对于对象i的指标j，设其取值范围为[aj，bj]。根据评价对象需求，将评估结果划分为s个灰类，选取最属于灰类k(k=1，2，…，s)的区间，确定各区间[λ2k-1，λ2k]的端点，将各指标的取值范围也相应划分为s个灰类。

2）令在区间[λ2k-1，λ2k]中所有点属于灰类k的白化权函数值都为1，连接灰类k的起点和终点。对于灰类1 和灰类s，则分别采用下、上限测度白化权函数，并将指标数域向左向右延拓至aj和bj。得到指标j关于k灰类的白化权函数。经过计算，可得到指标j的观测值x属于灰类k的隶属度函数，其表达式如下：

按式（8）～（10），计算出观测值x属于灰类k的隶属度，改进前后的白化权函数如图2～3所示。

图2 中心点三角白化权函数示意图Fig.2 Schematic diagram of center triangle whitening weight function

图3 改进后的白化权函数示意图Fig.3 Schematic diagram of reformative whitening weight function

3）计算对象i关于灰类k的单位化综合聚类系数，计算综合聚类系数，并对其进行单位化处理，得到单位化综合聚类系数，可表达为

3.2 综合测度决策模型

当有多个对象同属一个灰类时，一般情况下，依据判断对象所属灰类的综合聚类系数值大小来比较对象的优劣。但是，在各对象所属灰类的综合聚类系数值差异不显著的情况下，仅根据所属灰类的综合聚类系数值判断对象优劣，得到的结果不够科学、全面。

本文为充分考虑各个灰类的综合聚类系数对评估对象优劣性判断的影响，提高评估结果的准确性，提出了一种综合测度决策模型，具体计算步骤如下：

3）根据综合测度决策向量各分量确定同属k∗灰类之各个判断对象的优劣或位次。

4 应用实例

结合地空导弹武器系统效能评估指标体系，采用本文提出的改进灰色评估法，对4 型地空导弹武器系统（分别用M1、M2、M3和M4表示）进行评估，得到各型号武器系统的综合效能评价结果。

4.1 指标权重计算

1）采用指数标度层次分析法计算指标的主观权重；

2）采用熵权法计算指标的客观权重，按照主观权重结果，取客观权重的上限值为a=0.1，得到修正后的客观权重；

3）对主观权重和修正后的客观权重进行组合赋权，得到指标的组合权重。

主观权重、客观权重及组合权重计算结果见表1。

表1 主客观权重及组合权重计算结果Tab.1 Results of subjective weight，objective weight and combination weight

4.2 灰色评估优化模型应用

1）对指标值进行规范化处理，将评价结果划分为优、良、中、差4个灰类，确定每个灰类的聚类中心取值范围，构造隶属度函数：

依据式（14）～（17）计算各个指标的灰类隶属度。

2）结合指标权重和灰类隶属度值，计算综合聚类系数，计算结果见表2。

表2 4型地空导弹综合聚类系数Tab.2 Comprehensive clustering coefficient of 4 kinds of surface-to-air missile weapon system

3）根据综合加权决策向量，计算综合决策系数，计算结果见表3。

表3 4型地空导弹综合决策系数Tab.3 Comprehensive decision coefficient of 4 kinds of surface-to-air missile weapon system

4.3 评估结果分析

图4 和图5 分别为熵权法修正前后计算结果对比和3 种赋权方法计算结果对比。由表1 中数据及图4～5 可知，改进的熵权法对过大的指标权重值进行了限制，组合赋权法将主客观权重结果进行综合，对目标毁伤能力及精度指标赋予了较大权重，合理地反映评估者的主观意愿，同时充分利用指标数据包含的客观信息，使得指标赋权结果更合理，更符合实际。

图4 熵权法修正前后计算结果Fig.4 Results of entropy weight method before and after correction

图5 3种赋权方法计算结果Fig.5 Results of 3 kinds of weighting methods

由表2 评估结果可知，基于区间混合梯形白化权函数的灰色聚类评估方法所得的M1～M4这4种型号地空导弹武器系统依次属于“良”“中”“良”“优”灰类，根据灰类级别由高到低依次排序为M4＞M1＞M3＞M2，且M1 和M3 的综合聚类系数值相近。图6 为M1和M3综合测度决策结果对比。

图6 M1和M3综合测度决策结果对比Fig.6 Comparison resluts of comprehensive measurement decision results of M1 and M3

结合表3 中计算结果和图6 可知，评估对象M3 所对应的“优”灰类和“良”灰类的综合决策系数大于M1相应灰类的综合决策系数，而对应于“中”和“差”灰类，M3 的综合决策系数则要小于M1 的综合决策系数。考虑相邻灰类对评估对象优劣性的判断，可以得出M3的系统效能整体上更优于M1的系统效能，因而得到4 型地空导弹武器系统效能的最终评价结论为：M4＞M3＞M1＞M2。

5 结束语

武器装备的系统效能越来越受到重视，本文建立了地空导弹武器系统效能评价指标体系，采用改进灰色评估法对其系统效能进行综合评价。算例分析结果表明，改进后的评估模型指标权重更加合理，能有效提高聚类对象划分为其所属灰类的聚类系数，易于方案决策，且评估结果全面考虑各灰类对评估对象优劣判断的影响，所得判断结果全面合理，表明该评估模型具有一定的可行性。评估模型中，如何根据不同指标合理划分灰类，有待进一步研究和完善。