四等分三角形面积的寻美之旅

李织兰 蒋晓云 王凯成

[摘  要] 把一个三角形剖分成四个面积相等的三角形的方法有很多，文章开启追求“最美”之旅，用黄金分割比和尺规作图的方法画出了一个“最和谐”的剖分构图. 此方法体现理性探索精神，展示和谐之美和逻辑之美.

[关键词] 黄金分割点;尺规作图

问题：在△ABC内确定三个点D，E，F，把一个△ABC剖分成四个面积相等的三角形，即S =S =S =S = S .

王凯成[1]教授用解析几何的方法，计算出D，E，F的坐标，接着描点作图. 查找资料，也没有找到用传统的尺规作图画出这个图形的方法. 我们与很多初等数学研究专家进行过讨论，认为用传统的尺规作图的方法画出这个图形是一个难点.

数学实验细观察

为了探索结论，我们在几何画板上画了一个动态图形，如图2. 要将△ABC的面积四等分，即要先保证S△ADB=S△BEC=S△CFA= S ，将△ABC的各条边四等分，G，H为AB边上的四等分点，K，L为AC边上四等分点，S，T为BC边上四等分点，连接KS，HT，GL. 因为S =S =S =S = S ，所以点D必须在线段KS上，点E必须在线段GL上，点F必须在线段HT上.

拖动D，E，F三点分别在线段KS、线段GL和线段HT上滑动，目标要把中间的那一块变成△DEF，如图3.

从图中看出，当且仅当“B，D，E三点共线;C，E，F三点共线;A，F，D也三点共线”时，则△ABC分成了四个面积相等的三角形，即△ADB，△BEC，△CFA，△DEF.

拖动三点的位置，要达到十分完美融洽与平衡，才能出现令人惊奇的“B，D，E三点共线;C，E，F三点共线;A，F，D也三点共线”和谐共存现象，使S =S =S =S = S . 然而，点D，E，F的特征并不明显，如何确定三点D，E，F仍然困难.

探究特例找特征

著名数学家华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.

为了找到规律，首先我们选择一个特殊的等腰直角三角形ABC，其中AB=4，BC=4，∠ABC=90°. 如图4建立直角坐标系，设A，B，C的坐标依次为：A（0，4），B（0，0），C（4，0），Rt△ABC面积为8.

如图4，将Rt△ABC三边四等分，G（0，1），H（0，3）为AB边上的四等分点，K（1，3），L（3，1）为AC边上四等分点，S（1，0），T（3，0）为BC边上四等分点，连接KS，GL，HT. 因为S =S =S =S = S ，所以点D必须在线段KS上，同理，点E必须在线段GL上，点F必须在线段HT上. 不妨设D，E，F三点坐标为D（1，y ），E（x ，1），F（x ，y ）.

由B，D，E共线，则有k =k ， = ，即x ·y =1. ①

由A，F，D共线，则有k =k ， = ，即y -4=x （y -4）. ②

由C，E，F共线，则有k =k ， = ，即x -4=（x -4）·y . ③

直线HT的方程为：x+y=3，点F在线段HT上，所以x +y =3. ④

联立②式和④式，消去x 得：y = . ⑤

联立③式和④式，消去x 得：y = . ⑥

由⑤式和⑥式，消去y 得：8x +8y -3x ·y =21. ⑦

联立①式和⑦式，得到：x +y =3，x ·y ？摇=1. ⑧

由韦达定理知道x ，y 是方程x2-3x+1=0的根，而x2-3x+1=0的根为：x = .

（1）x = =2+ ，y = . 我们惊奇地看到了黄金分割比.

图4中，P，E，L三点坐标为：P（2，1），E2+ ，1，L（3，1）， = ，因此，E点为线段PL的黄金分割点.

由④式、⑤式、⑥式可以求出x ，y 的值，也就是可以求出D，E，F三點坐标，经计算可判断D点为线段MS的黄金分割点，F点为线段NH的黄金分割点.

（2）x = =1- ，y = . 我们也看到了黄金分割比. E点坐标为：E1- ，1. 在图5中， G，E，M三点坐标为：G（0，1），E1- ，1，M（1，1）， = ，因此，E点为线段MG的黄金分割点.

由④式、⑤式、⑥式可以求出x ，y 的值，也就是可以求出D，E，F三点坐标，经计算可判断D点为线段NK的黄金分割点，F点为线段PT的黄金分割点.

逻辑推理证猜想

将从特殊直角三角形得出的结论，推广到任意的三角形，得到如下猜想.

猜想：如图6，将△ABC的三边四等分，G，H为AB边上的四等分点，K，L为AC边上四等分点，S，T为BC边上四等分点，连接KS，GL，HT. D，E，F分别为线段MS、线段PL和线段NH的黄金分割点，则（1）B，D，E三点共线，C，E，F三点共线，A，F，D也三点共线;（2）S =S =S =S = S .

证明：由于△ADB，△BEC，△CFA的底边分别为△ABC的三边AB，BC和AC，D，E，F点分别在△ABC四等分点连线KS，GL，HT上，所以这三个三角形的高分别为△ABC相应底边高的四分之一，所以S =S =S = S ，因此S = S .

下面，我们来证明B，D，E三点共线（同理，我们可以证明C，E，F三点共线和A，F，D三点共线）.

连接BD，并延长交l 于E′，如果我们能证明点E和点E′是同一个点，则B，D，E三点共线.

因为l ∥AB，所以△MDE′∽△GBE′， = ，D为线段MS的黄金分割点，所以 = = .

由于l ∥BC，GB=MS， = = = ，ME′= GE′.

由于G，H为AB边上的四等分点，K，L为AC边上四等分点，S，T为BC边上四等分点，所以l ∥BC，BS=TC=GM=MP=PL= BC，GB=MS， = = = ，ME′= GE′，△BDS∽△DME′.  = = ，ME′= BS= BS. 从而有，PE′=ME′-MP= BS-BS= BS= PL，说明E′是线段PL的黄金分割点，E也是线段PL的黄金分割点，所以E′和E是同一点. 从而则B，D，E三点共线.

尺规作图和诣美

将△ABC的三边四等分，G，H为AB边上的四等分点，K，L为AC边上四等分点，S，T为BC边上四等分点，连接KS，GL，HT，分别作线段MS、线段PL和线段NH的黄金分割点D，E，F，连接AD，BE，CF，得到四等分△ABC面积的“最具和谐美”的黄金分割法的完美构图.

我们还可以作线段MG，PT，NK的黄金分割点D，E，F，可以得到另一种四等分三角形面积的黄金分割方法.

图形中有了黄金分割比率，可以达到一种完美融洽与平衡的效果. 令人惊奇三组“三点共线”和谐共存现象，居然是由黄金分割比确定的. 由此，产生了令人愉悦的完美构图效果.

参考文献：

[1]  王凯成. 四等分三角形面积问题再探[J]. 中学数学教学参考，2019（17）.