教材处理与数学课堂教学

向峰

[摘  要] 数学教材是学校课堂教学的蓝本，数学教师教学用书是教师深刻理解教材、完全把握教材和恰当处理教材的标准导引. 利用好教材和教师教学用书，才能实现符合课程设置标准的课堂教学.

[关键词] 熟悉教材;吃透教材;恰当处理教材;科学开展教学活动

《普通高中课程标准实验教科书（人教A版）》数学教材的主编寄语：数学是重要而有用的，在生活、生产、科学和技术中，数学有着广泛应用. 我们知道，历史上，物理学家、航海家基本上首先就是数学家.

中学数学对培养学生运算、推理、分析问题、解决问题等各方面能力的作用非凡. 教材是我们开展教学活动的蓝本，是数学课程的核心教学材料. 明确课程设置要求，把握住教材全面、系统、准确的特征，科学开展教学活动，以教师的数学素养培养学生的数学素养，以达到教材上本册导引中对学生学习数学的祝愿：祝愿学生们通过对本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、用数学解决问题的能力等方面都有较大的提高，并培养更高的数学学习兴趣，形成对数学更加全面的认识.

在实际教学中，对教材“走一走，遛一遛”的现象广泛存在，轻课本，重练题，甚至课本上的习题都是放弃不管的，直接是试卷和五花八门的练习册，进行“题海大战”，以应对考试. 这就是当前数学课堂的现实，也是当前数学教学的现状.

作为我们中学数学教师来说，如何实施课堂教学，怎样上好每节课，如何培养学生的数学学科核心素养，就显得特别重要了.

要上好一节课，需要做好三个环节：备课准备，备课，上课.

要上好一节课，就得备好一节课. 备课准备是备课的必须前提，备课准备包括熟悉教材、吃透教材、处理教材. 反复研读教材可达到熟悉教材，通过熟悉教材、结合教师教学用书则可吃透教材;最后，结合教师教学用书、习题、班情、好课经验来恰当处理教材，就能备出来一节不错的课.

好课经验能让教师自己迅速成长为一个合格的教师，甚至是优秀的教师. 这就是说，传帮带很重要，谦虚好学很重要. 而教师教学用书对内容的深度解析，不仅不会让我们停留在模仿课和题课的层面上，还会让我们成为一个视野开阔、有数学素养的高水平教师.

当然，上课体现的是课堂教学水平. 只要主干不散，主题明确，层次清楚，语言精练，一节课就不会差太多.

而怎样认知教材，如何处理教材、深挖教材，直接决定了课堂教学的效果.

下面，笔者将结合《普通高中课程标准实验教科书（人教A版）》数学教材做一些说明.

以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神，培养发散思维

必修1第21页例5：画出函数y=x的图像. 教材上，这里由绝对值的概念，化原函数为y=x，x≥0，-x，x<0后，结合初中学过的基本函数y=x和y=-x作出了函数y=x的图像.

在这里，是觉得太基础了而一览了之？还是多花一点时间吃透教材？教师当如何引导学生思考认知？课堂效果会大为不同.

筆者在教学实践中，引导学生总结出了直接对函数y=x采用描点法和化为y=x，x≥0，-x，x<0后利用基本函数的图像以及对y=x的图像进行翻折均可得到函数y=x的图像. 在这里引导学生明确地认识到作函数图像的方法，既有我们初中熟悉的描点法，还有今天学到的利用已学的基本函数的图像得新函数图像的方法. 在此基础上，让学生去处理必修1第23页练习3：画出函数y=x-2的图像. 在此时候，通过探索，就有了如下认知：

第一，函数y=x-2的图像可以采用描点法画出;第二，可以如前面的例5一样，把函数y=x-2处理为y=x-2，x≥2，-x+2，x<2，再利用一次函数y=x-2和y=2-x作出函数y=x-2的图像;第三，通过图像对比得到启发，函数y=x-2的图像可由函数y=x的图像向右平移2个单位而得到;第四，函数y=x-2的图像也可由函数y=x-2的图像进行翻折而得到.

有了这样的深刻认知，培养提出问题的思维能力，实际上相当于已经做了许多题，并且理解得更为透彻，融会贯通，把握得更为牢固，基础知识更为扎实. 何况，有了这样的循序渐进，随着以后的螺旋式上升，分析问题、解决问题的能力就会自然提升. 比如，打下基础之后，后面章节中涉及作函数y=ax-2，y=a ，y=a （a>0且a≠1）的图像和函数y=log （x-2），y=log x，y=log x-2（a>0且a≠1）的图像时，自然就能够用y=ax和y=logax（a>0且a≠1）的图像变换而得到.

这里通过例5和练习3，教师还可以引导学生认识和理解分段函数，巩固函数概念，明确分段函数的形式与实质. 另外，教师也当引导学生对去绝对值的解法所涉及的分类讨论予以重视，巩固与提升、培养与强化分类讨论数学思想和方法，为将来的学习埋下种子，静待花开.

在培养数学思想和方法以及运用数学思想和方法产生解决问题策略的“关节点”上，灵活使用教材，引导学生成长

必修1第23页练习2：下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图像写出一件事.

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学;

（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间;

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

本题考查的是识图能力，从图像上读出信息，结合条件，得出判断. 这里不仅是学生凭直观感觉得出答案就可，还要引导学生怎么分析图像，在图像上看什么，信息关系怎么找. 这样的教学过程下来，学生分析问题的意识、识图的思维就得到了培养，数学核心素养的培养也得了充分体现.

必修1第20页例4：表1是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

教材上先由表1中的数据得出散点图，从散点图中我们就可以直观地看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.

本题地位非同一般，切不可走过路过就算了. 本例题考查了作图、识图、用图三个方面的能力. 数据杂乱，信息不清晰，培养用图的意识，化模糊为直观，让问题得以准确快速地解决. 在这里下功夫培养用图的意识，那么在必修1第二章学习指数函数性质、对数函数性质时就会对利用图像的认知更为容易一些. 同时，在必修1第三章学习函数与方程时，学生把方程根的问题和函数图像的交点问题的相互转化就变得更加容易接受和把握.

在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的最近发展区，正确使用教材，回看前面，促使学生巩固基础，稳步提升

另外，必修1第44页A组第7题：已知函数f（x）= ，求：（1）f（a）+1（a≠-1）;（2）f（a+1）（a≠-2）. 第8题：设f（x）= ，求证：（1）f（-x）=f（x）;（2）f = -f（x）（x≠0）.

这里给出的两个题比较简单，教学不仅要落实基础，即函数概念的把握，还要正确代入. 但这里更要明确等式的证明方法，因为题目要求的是等式证明. 因此，这里既要巩固基础知识，更要利用题目培养学生探索、总结证明等式的思路与方法.

B组第5题：证明：（1）若f（x）=ax+b，则f = ;（2）若g（x）=x2+ax+b，则g ≤ .

除了上面两个题的作用外，这里还要引导学生总结证明不等式的思路和方法. 在处理第5题时，一是回看A组第7题，组织学生回顾巩固;二是理应对第（2）小题进行分析小结，关系式的变形，运算能力的要求，都是应当挖掘一番的. 而不等式的证明思路和方法更是应当以此题为引子，培养思维，打实基础，形成能力.

必修1第82页给出了A组第7题：已知f（x）=3x，求证：（1）f（x）·f（y）=f（x+y）;（2）f（x）÷f（y）=f（x-y）. 第8题：已知f（x）=lg ，a，b∈（-1，1），求证：f（a）+f（b）=f . 面对第83页B组第4题：设f（x）= ，g（x）= ，求证：（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1;（2）f（2x）=2f（x）g（x）;（3）g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2.以及必修4 第19页例7：求证 = . 此时我们该怎么处理？就题说题？就题解题？其实，花点时间回看，联系思考，知识会更为巩固，方法会更为熟悉，通过做一道题会做一类题，通过研究一道题达到会做大量题的效果.

在数学与生活的联系上，在数学知识之间形成“联结点”，注意分析引导，激发学生的学习兴趣

必修4第83页例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输. 一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东25 km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;（2）求船实际航行的速度的大小（保留两个有效数字）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.

第112页例4：一条河的两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从A处出发到河对岸. 已知船的速度v =10 km/h，水流速度v =2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？

这两个题联系一下，我们又会得到什么认知？知识方面的问题解决后，学生至少应该有一种生活上的认知：第83页例2体现了顺水流舟、顺其自然，也体现了大自然的力量，人类很多时候应当尊重大自然，归根结底，人类也只是大自然的一部分. 第112页例4体现的是人类的主观能动性，人类有能够利用自然的智慧，有时还有科学改造自然的智慧，创造人类美好的生活. 如果学生没认识到，教师就组织引导一下，让学生全面成长.

必修4第109页例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？必修2第105页例4：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

两个同样的问题，各出现在必修2和必修4上，一个用向量法解决，一个用坐标法解决. 在讲解一个例题后，回顾一下前一个例题，让学生体会到相同问题利用不同知识解决的快乐. 这样，既让学生理解数学知识的联系交汇，又能激发学生的学习兴趣.

在巩固基础知识和基本解题方法的“关键点”上，重视教材关键习题的落实与处理，扎实学生的“双基”

学生解基本三角方程和三角不等式往往容易凭想当然，得出错误的结果. 其实，教材上除了基础知识（三角函数的图像和三角函数的性质）之外，还有基本题型，就看我们怎么处理，如何设置教学中心. 如必修4第46页第9题：根据正切函数的图像，写出使下列不等式成立的x的集合：（1）1+tanx≥0;（2）tanx- ≥0. 第47頁B组第1题：根据正弦函数、余弦函数的图像，写出使下列不等式成立的x的取值集合：（1）sinx≥ （x∈R）;（2） +2cosx≥0（x∈R）. 第65页A组第1题：根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）sinA= ;（2）cosA=- ;（3）tanA=1;（4）tanA=- . 第2题：根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）sinx=- ;（2）sinx=-1;（3）cosx=0;（4）tanx=1. 只要利用三角函数的图像和三角函数的性质，把教材上这几个题落实好了，学生的基本功扎实了，遇到稍微复杂一点的三角方程和三角不等式，就能化难为简，迎刃而解.

三角恒等变换中，在熟悉公式的前提下，关键就在于变名或变角. 而其中涉及变角的题型学生难以把握，哪怕是大量练习，也不能很好地解决问题. 根本的原因在哪里？笔者认为，这是我们没有重视教材上例题、习题的夯基作用、启发意义和思维培养. 必修4教材第137页第4题：已知α，β都是锐角，cosα= ，cos（α+β）=- ，求cosβ的值. 第5题：已知sin（30°+α）= ，60°<α<150°，求cosα的值. 只要在学习三角变换这部分内容时，多留一些时间让学生思考、让学生探索研究，启发引导学生，注意条件与问题之间的关联，寻找角与角之间的联系，落实解决这个问题，进而形成解决这类问题的思想和方法，胜过额外去题海扑腾.

类似的问题在教材上很多，本文不再一一列举;角度方向也不唯一，本文也不涉及. 高考题高于教材，但它来源于教材. 只有我们把教材这个蓝本运用得当，我们才不会陷于试卷和各类练习册的苦海中，我们也才不会陷于迷信所谓的名校名题之中. 要说题卷，只要我们把教材上的例题、习题深入挖掘了，就是一本又一本好题好卷;只要我们把教材深刻剖析，融会贯通，教材变薄，就会越学越轻松，能力也会越来越强.

前面提到的教师教学用书对我们认知教材、处理教材的作用，对我们组织教学也有深度的指导. 教师教学用书上总结了教材特点，关键就在于，我们在这个方面是否着眼着力，是否思考研究. 千万不要只把教参当成课时划分和习题答案的参考书，那就真是买椟还珠了.

新课程设置标准下，中学数学教学要抛弃舍本逐末、忽略教材、以练代学、以练代教. 其实，只要把书吃透了，在深刻理解、牢固掌握的基础上，有了基本的分析问题的思维，形成了解决问题的基本能力，那么解决问题就容易得多了. 只需另外用适量的题卷去巩固，去加深理解，进一步把握. 而不是轻易处理教材，通过大量的题卷、练习册去模仿解题方法，去死记解题方法. 这样地熟悉基本题型，这样地熟练基本方法，容易導致学生陷入多做题才懂书的怪圈. 这样的学习完全是空中楼阁，完全是事倍功半.

教师教学用书中，针对“科学性”与“思想性”也谈到了“通过不同数学内容的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想和方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神. ”“利用数学内容的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，提高学生对数学的整体认识水平. 特别地，在教科书中强调类比、推广、特殊化、化归等思想和方法. ”

事实上，教学过程中，当用联系的观点教学，可以采用直接联系、间接联系、交汇联系. 世界是普遍联系的，用哲学的观点认知数学，进行数学学习，数学的教与学就会显得丰富而精彩.