无解不能“误解”

葛浩亮

增根与无解是分式方程中常见的两个概念，有些同学常常会混淆不清。分式方程的增根是指使分式方程的分母等于0的未知数的值，增根不是原分式方程的解;而分式方程无解则包含两种情况：（1）分式方程有增根;（2）原分式方程去分母后的整式方程无解。

一、“增根”的解题策略

例1 （2020·四川遂宁）关于x的分式方程[mx-2]-[32-x]=1有增根，则m的值为                    。

【解析】第一步：去分母，方程两边都乘（x-2），化为整式方程x=m+5;第二步：由分式方程有增根可得x-2=0，即x=2;第三步：将x值代入整式方程计算可得m=-3。

变式1 如果方程[x+a4-x2]+[xx-2]=1有增根，则a的值是                   。

【解析】第一步：去分母，方程两边都乘4-x2，化为整式方程x=a-4;第二步：由分式方程有增根可得4-x2=0，即x=±2;第三步：分别将x值代入整式方程计算可得a=2或6。

【点评】例1与变式1相比较，当分式方程有增根时，第一步都是将分式方程先化成整式方程，但是在变式1中，当分母为0时，可以解出两个不同的x的值，因此，需要分两种情况代入，求出两个不同的a的值。

二、“无解”的解题策略

例2 若关于x的方程[3x-1]=1-[k1-x]无解，则k的值为                    。

【解析】第一步：将分式方程去分母转化为整式方程x=4-k;第二步：由于x的系数为1，分式方程無解只可能是有增根，即x-1=0;第三步：确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k=3。

变式2 若关于x的方程[mx-1x-2]=[34]无解，则m的值为                    。

【解析】第一步：将分式方程去分母转化为整式方程（4m-3）x=-2;第二步：由于x的系数为4m-3，分式方程无解需要分两种情况，即分式方程有增根，或者整式方程无解，即x-2=0或者4m-3=0;第三步：分两种情况计算即可求出m=[12]或[34]。

【点评】例2与变式2相比较，第一步都是先化成整式方程，但是变式2中的分式方程化成整式方程后，x的系数含有参数。此时，当分式方程无解时，需要分两种情况讨论：分式方程有增根，或者整式方程无解，分别求出两个不同的值。

（作者单位：常州市金坛段玉裁初级中学）