“拐弯抹角”的因式分解

王子豪

我们知道，因式分解就是把一个多项式分解为几个整式的积。分解之后，一个烦琐的多項式就会变得简单。我们遇到的多项式看似毫无规律，不可分解，而我认为规律只是隐藏起来了，需要仔细挖掘。

【提出问题】已知四边形四条边长分别是a、b、c、d，若a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da，则此四边形的形状一定是。

【分析思路】我的大致思路，先化简等式，再推断图形。

步骤一：化简等式。抛开等式右边，先看左边，我发现有a2+b2、c2+d2，这让我联想到两个完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，所以我的目标就是找到±2ab、±2cd。再看等式右边，已经有了ab、cd，但右边还有bc、da，这怎么办？如果要用到这两项，左边应该出现b2+c2、a2+d2啊。仔细端详之下，我恍然大悟：要想使用完全平方公式，乘积项必须是2倍的，这里没有，所以尝试乘2，便得到2a2+2b2+2c2+2d2=2ab+2bc+2cd+2da，左边的四项恰好可以组合成a2+b2、c2+d2、b2+c2、a2+d2，这时再移项，就会看到（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2cd+d2）+（d2-2da+a2）=0。这太熟悉啦！因式分解得（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2=0，完全平方公式，搞定！因为一个数的平方不为负，所以a-b、b-c、c-d、d-a都得为0，由此a=b=c=d。

步骤二：推断图形。化简后四边形的四条边均相等，可证得该四边形一定是菱形。

【我的心得】数学是一门奇妙的学科，因为它总是能把简单的数字、公式演绎得千变万化，但终究“万变不离其宗”。就像这一道本该“拿分到手软”的因式分解题，只是戴上了一个面具，乍一看竟无法认出。今后我们要心中牢记公式和定理，沉住气，认真思考每一道题。相信每一道像大山一样的难题终会化为一道道小小的坎被我们越过！

教师点评

小作者文学底蕴丰厚，乐于思考，思维缜密，写起数学文章来也是妙语连珠。在他的笔下，不太常规的因式分解、隐藏条件都被轻松挖出。拆项、添项、重组，发现公式模型，难题一一破解。小作者将因式分解从会套用公式，上升到综合运用的层面，能这样学习数学，值得赞赏！ （指导教师：高 爽）