探索小学数学植树问题中的建模

贺莉丽

兴趣是最好的老师，是学生发现、分析、解决问题的原动力，也是发明创造的精神源泉。小学生正处在知识形成的初级阶段，也是智能培养的重要时期，构建完整的知识体系，培养数学核心素养，使学生形成探究能力，能够为未来学习奠定扎实的基础。

一、对建模的认识

数学建模就是利用数学模型来解决问题，而它的关键是提炼数学模型。所谓提炼数学模型，就是运用科学抽象法，把复杂的研究对象转化为数学问题，经合理简化后，建立起揭示研究对象定量的规律性的数学关系式，提炼数学模型，一般分为以下六个步骤：第一步，根据研究对象的特点，确定研究对象属哪类自然事物或自然现象，从而确定使用何种数学方法与建立何种数学模型。第二步，确定几个基本量和基本的科学概念，用以反映研究对象的状态。这需要根据已有的科学理论或假说及实验信息资料的分析确定。第三步，抓住主要矛盾进行科学抽象。第四步，对简化后的基本量进行标定，给出它们的科学内涵。第五步，按数学模型求出结果。第六步，验证数学模型。

二、怎么建模

模，俗称模子，是用来制作其他器物的工具。现代化工厂制造工业零件也会用到制作好的模子。什么是数学模型呢？就是在学生学习过程中把一些实际问题的解决抽象为数学符号来表示的数学问题，即称为数学建模。数学建模是一种数学思考方法，是运用数学语言和方法，通过抽象和简化建立能直接解决问题的一种强有力的数学思维。那么在小学数学中教师要不要帮助学生逐步建立数学模型，让数学模式化、统一化呢？

当然要，而且非常必要。人教版小学数学五年级上册第八单元“数学广角”中的植树问题，在教材上呈现了两类问题，即在非封闭图形上植树和在封闭图形上植树两大类植树问题。这类问题对于小学生而言，情况较为复杂，既抽象又多样，难点较为分散，知识点里面还隐含了重复的数学问题。学生探究后发现，在非封闭图形上植树又分为三种情况：（1）两端都栽的情况，棵数比间隔数多1;（2）一端栽一端不栽的情况，棵树等于间隔数;（3）两端都不栽的情况，棵树比间隔数少1。在课堂上学生积极发言，参与讨论，利用画线段图、数手指、画图等方法，发现了棵数与间隔数之间的关系，以及总线路长和株距的常量因素的影响，熟悉后能准确计算出所植棵数。看到学生都学会了解决这一问题，我赶紧追问，让学生思考，在“植树问题”中一定要是“树”吗？除了“树”还能换成别的“物”吗？同时拓展练习了诸如装路灯问题、计算公交车站的问题等，重复练习了几个问题后，学生觉得，“嗯，这下终于了然于心”。可过了几天，在做练习的过程中，又出现锯木头、敲钟、排队子、上楼梯、绳子打结、摆花盆等问题时，学生竟然茫然了，生活中的“植树问题”还有哪些呢？

三、探究与发现

“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进”。我又上了第二堂“植树问题”，带领学生探究这些生活中的实际问题，有利于知识的螺旋上升，进一步提升学生的数学思维。

1.同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？

2.早操时同学们站队，每隔两米排一人，一竖排有22人。这排队伍有多少米？

3.在一条全长2千米的街道一旁安装路灯（两端要安装），每隔50米安一盏，一共要安装多少盏路灯？

4.一根木頭长10米，要把它平均分成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共需要多少分钟？

学生积极讨论，合作探究解决，勇敢地说出自己的想法，第1题讲道，总线路长÷株距=间隔数，间隔数+1=棵树，所以100÷5=20，20+1=21（棵）。接着第2、3题也迎刃而解：22-1=21，21×2=44（米）;2000÷50=40，40+1=41（盏）。第4题孩子们恍然大悟，其中的关键因素段数也就是植树问题中的间隔数，属于第三种两端都不栽的情况，锯的次数也就相当于棵树，只要掌握植树问题中的一一对应关系，用植树问题中的解决办法就可以解决了，5-1=4（次），4×8=32（分钟）。我夸了同学们真厉害，学会了知识整合再利用，发现了其中的不变因素，分析问题后灵活运用，科学地抽象和简化问题，从而形成严密而有形的数学思维，去解决问题。

接着我又抛出了敲钟的问题如下：

①一个大钟3时敲3下，4秒钟敲完，11时敲11下，几秒敲完？（最好再告诉我敲钟属于哪种植树问题）

先求出敲3下的间隔数：3-1=2（个）

再求出每个间隔的时长：4÷2=2（秒）

然后再求敲11下的间隔数：11-1=10（个）

最后求出总时长：2×10=20（秒）

②小乔家住6楼，他从1楼走到3楼用了40秒，照这样计算，他从1楼走到家一共需要多少时间？

③水上乐园圆形游泳池周长是300米，每隔6米有一顶太阳伞，你知道池边一共有多少太阳伞吗？

学生走在探究知识的路上，情绪激昂，学习热情高涨。通过知识的深化巩固，知识在孩子们心中建立了模型，简化了思维过程，真正变成孩子们解决问题强有力的武器。