近场动力学理论在脆性材料破坏研究中的应用现状

王玲玲，曹俊鑫，赵银霜，程 想，孔德文

(贵州大学 土木工程学院，贵州 贵阳 550025)

由于本征脆性，混凝土、陶瓷、玻璃等脆性材料的破坏模式与破坏机理研究尤为重要。在达到极限承载力前，脆性材料经历从微裂纹产生到扩展的损伤过程，较低的抗拉强度使得裂纹扩展成为脆性材料的主要破坏模式。因此，许多学者力争能够准确预测脆性材料或结构的承载力以及相应的裂纹扩展过程与路径。目前，数值模拟是研究材料与结构内部裂纹产生与扩展问题的主要方法，如有限元方法(finite element method，FEM)[1]、扩展有限元方法(extended finite element method，XFEM)[2]和粒子方法[3]等。上述方法可以有效预测材料出现的大部分裂纹问题，但在复杂的裂纹问题(如裂纹合并、裂纹分支和任意三维裂纹问题)研究方面存在一定的局限性，而近场动力学在很大程度上克服了连续介质力学(computational continuum mechanics，CCM)的局限性，能够有效解决复杂的裂纹问题。

近场动力学(peridynamics，PD)的基本思想是由SILLING[4]提出的，它通过空间积分方程的求解来描述物质点的运动，可以看作是经典连续力学的一种非局部形式，因此PD中不再需要CCM中连续位移场的假设。即使在材料中出现不连续或裂纹，PD的控制方程也可以保持有效性。PD的另一个优点是无需使用额外的裂纹扩展准则，重新网格化方法和裂纹跟踪方法，就可以自发预测损伤过程及裂纹扩展情况。这些自然特征使近场动力学在研究和预测材料中裂纹或不连续性问题时拥有强大的适用性，甚至可以使用近场动力学很好地模拟复杂的裂纹问题。

SILLING[5]首先提出的理论是键型近场动力学 (bond-based peridynamics，BBPD)，其中，两个物质点间的相互作用仅取决于该物质点间键的变形。这种假设使泊松比受到限制，平面应力情况下的泊松比固定为1/3，平面应变和三维情况下的泊松比固定为1/4。为了解决这个问题，SILLING[6]在此基础上提出了更通用的态型近场动力学(state-based peridynamics，SBPD)。态型近场动力学模型中两个物质点之间的相互作用不仅取决于物质点间键的变形，还取决于连接到这两个物质点的其他键的变形。态型近场动力学模型包括常规态型近场动力学和非常规态型近场动力学两种类型。常规态型近场动力学模型中力矢量的方向与键的方向平行，而非常规态型近场动力学模型中力矢量的方向与键的方向不要求平行[7]。相对于键型近场动力学，态型近场动力学的另一个优势是其PD表面效应明显小于BBPD[8]。由于近场动力学具有模拟各种复杂裂纹问题的强大能力，引起了研究人员越来越多的关注，并应用于脆性材料破坏行为的研究工作中。

1 PD理论基础

近场动力学理论通过求解空间积分方程而非有限元方法中的偏微分方程来描述物质点之间的相互作用。在空间域R上，假设材料中的两个物质点在给定近场范围δ内时存在非局部的相互作用。物质点之间的相互作用会引起键的伸长或缩短(见图1)，物质点x和x′之间的相互作用力f可以由下式表示[4]：

图1 近场动力学示意图

f=f(x,x′,u(x,t),u(x′,t))

(1)

式中，u(x,t)和u(x′,t)分别表示物质点x和x′的位移。根据牛顿第二定律，物质点x在任意时刻t的运动方程为[5]：

(2)

式中，ρ是物质密度；ü是加速度矢量；b是体力密度；Hx是空间域内物质点x的近场范围，

Hx(x,δ)={x′∈R:‖x′-x‖<δ}

(3)

引入矢量ξ和矢量η来描述物质点的相对位置和相对位移，

ξ=x-x′

(4)

η=u(x′,t)-u(x,t)

(5)

本构力函数可以改写为f(η,ξ)，在微弹性材料中f可表示为[4]，

(6)

式中，w对应于线弹性材料的微观弹性应变能密度，表示为，

(7)

式中，参数c为微模量常数；s为键的相对伸长率，表示为，

(8)

式中，‖ξ‖和‖η+ξ‖分别代表初始状态和变形状态下键的长度。本构力f和键的拉伸s之间的关系为，

(9)

式中，μ表示物质点x的键的连接状态，可将其表示为，

(10)

式中，s0是键的相对伸长率,当s达到s0时键断裂，该键连接的两个物质点不再有相互作用。s0可以根据断裂能G0确定，在平面应力条件下，断裂能G0的公式为[9]，

(11)

则键的临界伸长率s0为，

(12)

PD理论中物质点的损伤定义为[5]，

(13)

2 近场动力学理论在材料破坏行为方面的应用

近场动力学理论已成为解决不连续问题的一种新兴理论，用于研究材料破坏行为，并取得了一系列较好的研究成果。本文总结了近场动力学理论在脆性材料准静态裂纹扩展，动态裂纹扩展及冲击破坏等方面的研究成果，阐明了近场动力学理论在研究脆性材料破坏行为方面的优势。

2.1 准静态裂纹扩展研究

脆性材料的准静态破坏过程一般包括裂纹的萌生、扩展直至材料破坏，近场动力学理论可以较好地预测准静态裂纹扩展路径与模式。KILIC等[10]学者基于近场动力学理论，引入自适应动态松弛法[11]，模拟了单轴拉伸荷载下带孔平板的裂纹扩展过程，数值计算收敛性好，验证了自适应动态松弛法预测材料损伤行为的适用性，裂纹产生和扩展的预测结果如图2所示。

图2 局部损伤云图

黄丹等[12]学者将人工阻尼和系统失衡判断准则引入到模型中，实现了PD框架下静力学的定量计算，结合外力分级加载方法，采用近场动力学方法定量地分析了准静态情况下材料的变形计算和破坏问题。并通过典型算例验证了该算法的准确性，采用近场动力学方法实现了由准静态变形、裂纹萌生和扩展直至结构破坏的全过程模拟，准确预测了破坏荷载、裂纹萌生部位与扩展路径。此外，RABCZUK等[13]学者基于近场动力学理论，提出了适用于颗粒状材料与岩石断裂行为研究的dual-horizon peridynamics (DH-PD)公式。与传统有限元法相比，DH-PD可以模拟裂纹的自然路径，无需在裂纹表面添加任何准则来处理复杂的断裂形式(如裂纹分支和合并)。同时引入了人工阻尼，开展了岩石剪切试验和巴西圆盘劈裂试验过程的模拟，DH-PD的计算结果与试验结果吻合较好。裂纹扩展问题的静态解是分析结构破坏荷载和破坏机理的有效方法。LI等[14]学者建立了适用于桁架和张拉整体结构非线性静力分析的近场动力学模型，通过应变能密度的等价关系求解近场动力学参数，利用自适应动态松弛方法来获得稳态解，并采用典型算例验证了模型的有效性和准确性。

近场动力学的运动方程是基于时间和位移的空间积分，模型中的物质点是动态变化的，不适合直接进行静力学计算与模拟准静态破坏过程。但可以通过引入人工阻尼的动态松弛方法，使物质点在外力作用下达到平衡状态，充分利用了PD方法在处理不连续问题上的优势来成功解决准静态破坏问题。此外，BREITENFELD等[15]学者用隐式算法实现了在非常规态型近场动力学框架内的线弹性静力学计算。GALVANETTO等[16]学者耦合了有限元与近场动力学网格以获得静态解。NI等[17]学者基于近场动力学数值程序，提出了两种全新的隐式算法来研究裂纹扩展问题。以上研究成果表明基于近场动力学方法可以较好地实现准静态裂纹扩展形态及过程的数值模拟。

2.2 动态裂纹扩展研究

脆性材料的动态裂纹扩展过程短暂，比准静态情况复杂，很难通过试验观测捕捉其裂纹萌生部位或裂纹扩展路径，而近场动力学方法可以很好地重现动态裂纹的扩展过程。LEE等[18]学者建立近场动力学数值模型，研究了不同加载速率下裂纹的萌生和扩展现象，模拟了双轴拉伸荷载下含有缺口的脆性聚合物的裂纹扩展和分叉情况，破坏模式与试验观察结果一致，并从裂纹扩展角度和弹性应变能等方面揭示了脆性聚合物的破坏机理。ZHANG等[19]学者基于近场动力学理论，研究了动态载荷作用下环形试件的裂纹扩展问题，采用试验结果验证了近场动力学模拟结果的正确性，并开展了动态荷载作用下带孔洞环形试件裂纹扩展的模拟，讨论了孔洞对试件破坏路径的影响。通过峰值应力和破坏路径模拟与试验结果对比，证明了近场动力学理论分析动态荷载作用下岩石类材料破坏过程的有效性。Kalthoff-Winkler冲击试验(见图3)是经典的动态断裂问题，成为了验证模型适用性与算法准确性的典型算例[20]。

图3 Kalthoff-Winkler试验的裂纹扩展路径[20]

ZHOU等[21]学者基于非常规态基近场动力学理论，引入应力破坏准则，即当相互作用的物质点之间的平均应力满足应力破坏准则时，相互作用的物质点之间的键就会断裂。将该方法用于动载荷作用下脆性材料的裂纹扩展和分叉现象研究中。利用Kalthoff-Winkler试验验证该数值方法的有效性和准确性，并模拟了动态双轴载荷下脆性材料(Homalite-100)的单个裂纹扩展与分叉，讨论了几何特征与载荷条件的影响情况。

近场动力学的非局部特性也存在一些不足，如存在表面效应、边界条件不够灵活且计算效率低等缺点,但可以通过近场动力学与有限元耦合来弥补这些不足。MACEK等[22]学者利用桁架元素在FEM框架中实现了PD建模。KILIC等[23]学者提出引入重叠区域的耦合方法，在重叠区域中同时使用PD和FEM方程。SHOJAEI等[24]学者将近场动力学与有限点法(finite point-peridynamic method，FPM)耦合，开发了一种无网格方法来解决动态裂纹扩展问题，该方法将求解域分为三部分：PD离散化部分，FPM离散化部分及两种方法之间切换的过渡部分，以完全无网格的形式实现耦合。用PD描述裂纹存在或可能扩展的区域，用FPM描述需要较少计算量的区域。通过数值方法成功模拟了动态断裂动力学问题。PANCHADHARA等[25]学者基于近场动力学理论，利用近场动力学数据来估算应力强度因子，研究加载速率对动态裂纹扩展的影响情况，并通过准静态拉伸试验和Kalthoff-Winkler试验验证了该方法的可行性，结果表明随着加载速率的增大，裂纹扩展速度加快，裂纹分叉数量增多。YANG等[26]学者将常规态基近场动力学和有限元法耦合，研究了动态载荷下脆性材料的断裂现象。模型中的PD网格与FEM网格之间的作用力始终是相互平衡的，避免了耦合模型中过渡区域的复杂性，大幅降低了PD的表面效应。通过对比FEM结果和常规态型近场动力学结果，验证了所提出的耦合模型的正确性。此外，IMACHI等[27]学者基于常规态型近场动力学建立新的键失效模型，研究动态荷载下脆性材料的裂纹扩展现象。该模型将连接的键变为过渡键，用阻尼检验了过渡键的有效性，并减弱了应力强度因子的数值振荡，裂纹路径的模拟结果与Kalthoff-Winkle试验结果吻合良好。LAI等[28]学者建立了非常规态型近场动力学模型，引入改进的JH-2本构模型并构建了态型近场动力学公式，模拟了边缘撞击和玻璃平板落球冲击试验，模拟结果与试验结果基本一致。

经典的连续理论假设一个物质点仅与其直接相邻的物质点产生相互作用。当材料内部发生裂纹萌生和扩展时，原本连续的位移场与应力场将不再连续，裂纹尖端会产生奇异性。采用基于局部理论的有限元方法解决这些问题时，需要加入断裂准则来模拟裂纹的扩展与分叉，且在裂纹扩展后需要重新划分网格，对网格的依赖性较大[29]。为了克服上述不足，WAGNER等[30]学者提出了扩展有限元方法，但当出现位移不连续且涉及多个裂纹相互作用和分叉时，仍需引入裂纹扩展准则。使用XFEM模拟三维裂纹扩展时，计算过程会变得复杂。光滑粒子流体动力学(smoothed particle hydrodynamics，SPH)方法能有效解决上述问题[31],但是这类分子动力学方法存在如计算时间较长、计算量较低的明显不足等。而近场动力学方法求解裂纹扩展等不连续问题时展现出了明显的优势，无需预设裂纹路径就可以模拟裂纹的自然萌生和扩展，并允许多条裂纹相互作用，且表现出很高的计算精度。此外，将有限元法与近场动力学耦合[32-33]，利用近场动力学离散裂纹扩展的区域，利用有限元法离散其他不需要大量计算的区域，大幅提高了模型的计算效率，同时降低了近场动力学模型的表面效应。

2.3 冲击破坏行为研究

脆性材料的冲击破坏过程快速且复杂，准确揭示冲击裂纹的萌生和扩展机理难度较大，而近场动力学方法在脆性材料冲击断裂过程研究方面适用性较强。WU等[34]学者基于近场动力学建立了动态损伤模型来研究混凝土的冲击破坏行为。该模型引入键的动态破坏及伸长率的损伤演化，建立了混凝土材料键的拉压破坏与伸长率之间的关系，并预报了不同情况下试样的裂纹扩展路径和裂纹扩展速度，与试验结果吻合较好。GUO等[35]学者建立了常规态型近场动力学模型，该模型引入线性的本构来表征材料的力学行为，采用该模型模拟了Kalthoff-Winkler低速冲击试验，与试验结果一致。王涵等[20]学者建立非常规态型近场动力学热黏塑性模型，基于Kalthoff-Winkler冲击试验，考虑靶板温度的变化，研究了不同冲击速度对裂纹扩展角度与扩展速度的影响规律。

另外，近场动力学在材料热冲击行为研究中也表现出较强的适用性，在一定程度上克服了理论和传统数值方法难以揭示热冲击裂纹萌生和扩展机理的弊端[36-39]。KILIC等[40-41]学者将键的热拉伸引入到本构力函数中，建立了非耦合键基近场动力学模型，成功地将该模型应用到断裂问题研究中。OTERKUS等[42]学者建立了键基与态基近场动力学的热力耦合模型。KILIC等[43]学者基于近场动力学，研究了不同淬火温度条件下含初始裂纹玻璃平板的裂纹扩展问题。WANG等[44]学者采用近场动力学热力耦合模型，研究了热冲击下脆性材料的裂纹扩展与分叉，并验证了模型的准确性，模拟了红外辐射加热下陶瓷圆盘的裂纹扩展试验，破坏路径与试验现象基本吻合。此外，还分析了热流密度、预制缺口长度及近场范围等因素对裂纹破坏形态的影响，系统地研究了裂纹尖端应变能、裂纹分叉角和裂纹扩展速度对裂纹扩展的影响情况。XU等[45]学者建立了近场动力学模型，以预测热冲击下玻璃薄板的裂纹扩展。WANG等[46]学者在此基础上考虑了热力荷载下物质点相对位移对热弹性刚度与热传导的影响，基于键基近场动力学提出了改进的热力耦合模型，用以研究热冲击作用下脆性材料的损伤机理，模拟了淬火条件下陶瓷材料的裂纹扩展试验，数值结果(如图4与图5)与试验现象吻合良好。

图4 陶瓷薄板温度场的演变

图5 陶瓷薄板裂纹扩展路径

D′ANTUONO等[47]学者建立常规状态型近场动力学热力耦合模型，研究了热冲击下陶瓷薄板与厚板的断裂行为, 得到二维有序平行裂纹和三维柱状蜂窝裂纹的模拟结果。GIANNAKEAS等[48]学者基于键基近场动力学，模拟了热冲击下陶瓷材料的裂纹扩展，预测热冲击裂纹的损伤演化，评价极端温度变化下陶瓷材料的热冲击响应，模拟裂纹成核的动态过程。但有限元与近场动力学的耦合模型不适合模拟热冲击裂纹扩展过程中温度场不连续变化现象。WANG等[49]学者基于常规态型近场动力学，考虑应变软化特性，引入微观导热系数，构建微观与宏观几何条件之间的关系，建立弱耦合热弹性模型，模拟了淬火条件下陶瓷板的裂纹扩展问题，裂纹路径与试验现象吻合较好，结果表明试件尺寸和淬火温度对应变能和裂纹扩展速度影响显著。

基于含有部分微分运动控制方程的数值方法可以成功预报冲击裂纹的分叉和扩展[50-53]，但如果不引入破坏准则就不能通过偏微分方程处理裂纹引起的位移不连续问题。近场动力学以积分形式重构了连续体的运动方程，允许位移场不连续，在处理不连续性问题方面具有强大数值优势。利用近场动力学方法能更加直观地获得冲击荷载作用下脆性材料裂纹扩展的整个过程，为不同工况下脆性材料裂纹扩展及分叉问题研究提供新途径。

3 结语

作为一种非局部理论，近场动力学避免了传统方法在解决不连续问题时存在的奇异性，成为研究脆性材料破坏行为的一种新兴理论。本文在简单介绍了近场动力学理论的基础上，综述了近场动力学理论在脆性材料准静态裂纹扩展、动态裂纹扩展、冲击损伤等方面的研究近展，总结如下:

1)与经典连续介质力学不同，近场动力学采用积分方程而不是位移分量的导数来表示。近场动力学允许材料内部自发的裂纹萌生与扩展路径自由，无需引入额外的裂纹扩展准则。在近场动力学理论中，内力是由连续体中任意两个物质点之间的本构关系来表示的，损伤是本构模型的一部分。

2)通过引入人工阻尼的动态松弛法，使材料点在外力作用下达到平衡状态，也可通过隐式算法得到静态解，证明了近场动力学方法模拟准静态裂纹扩展形态及过程的适用性。

3)近场动力学以积分形式重构连续介质的运动方程，允许位移场不连续，在处理不连续问题时有数值优势。采用近场动力学模型可以更好地展现脆性材料裂纹扩展的全过程，弥补试验中难以观测的不足。

4)近场动力学与有限元的耦合降低了近场动力学模型的表面效应，降低了计算成本，提高了计算效率。