弹性力学“金课”建设中解决“三难”问题实践

何峰　任天娇　杨松　赵娜　李春林

摘  要：文章按照国家建设“金课”要求，基于吴家龙教授编著的弹性力学教材内容和课程“三难”特点，以应力状态理论部分常见题型求解任意微分斜面应力矢量、正应力、切应力、主应力和应力主方向及最大切应力为例，分别应用Maple编制程序，再现弹性力学求解思维，解决学生数理求解难题;应用Matlab-GUI模块编制应力状态理论求解器，把繁琐抽象的力学公式和微分斜面结果进行图形可視化，使学生的抽象思维和力学思维得到兼容;通过弹性力学“金课”建设实践，可为学生力学学习及力学同行教学提供借鉴。

关键词：弹性力学;“金课”建设;“三难”问题;应力状态求解器;微分斜面

中图分类号：G640 文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2021）04-0077-04

Abstract： According to the requirements of construction of "golden course"， based on the contents of the Elasticity compiled by Wu Jialong， and the "trilemma" characteristics of the course， this research takes the common questions in the stress state theory as an example. The problems of the stress vector， normal stress， shear stress， principal stress， principal direction of applied force and maximum shear stress of any differential inclined plane are solved. The application of Maple programming to reproduce the elastic mechanics solution thinking is to solve the mathematical problems of students. Matlab-GUI module is used to compile the stress state theory solver， the complex abstract mechanical formula and differential slope results for graphic visualization， so that the students' abstract thinking and mechanical thinking is compatible. Through the construction practice of "golden course" of elasticity mechanics， it can provide reference for students' mechanics learning and mechanics teaching.

Keywords： Elasticity; construction of "golden course"; "Trilemma" problem; stress state solver; differential bevel

引言

金课建设是指教育部实施的一流课程建设。“六卓越一拔尖”计划2.0实施一流课程建设“双万计划”，即建设10000门左右国家级一流课程和10000门左右省级一流课程，包括具有高阶性、创新性、挑战度的线上、线下、线上线下混合式、虚拟仿真和社会实践各类型课程[1]。弹性力学课程是普通高校力学类、土木类等理工科本科专业核心课，是从力学基本理论过渡到工程实际应用的桥梁;具有教师难教、学生难学、工程思维和力学思维难兼容的“三难”课程特点。基于课程重要性和特点，众多学者进行了弹性力学教学改革，如张伟伟[2]等提出了弹性力学三段式教学方法，即围绕每一知识点，按照工程背景、数理基础、力学原理进行划分，在教学实施中遵循先工程，后数理，再力学的讲解顺序。潘东辉等[3]将MATLAB/PDE工具箱引入弹性力学教学，实现弹性力学的可视化教学。刘杨[4]等提出了“互联网+项目指派”式教学模式在《弹性力学及有限单元法》的教学中的实践方式和考核办法。陈小亮[5]等利用

Maple软件探索了弹性力学应力函数逆解法的计算机求解规范流程。卢小雨[6]等利用Maple来求解弹性力学中的一些具体问题。邢静忠[7]等将Maple引入力学教学，引导和培养学生利用数学工具的习惯和能力，强化算法设计和程序的通用性和灵活性，为处理复杂问题提供帮助。丁洲祥[8]详细介绍了计算机代数系统Maple在土力学与基础工程研究型教学中的具体应用。

论文按照国家建设“金课”要求，基于吴家龙教授编著的弹性力学教材内容和课程特点，以应力状态理论部分的求解斜面应力分量及主应力和最大切应力为例，综合应用Maple符号计算系统及Matlab-GUI模块，通过编制程序把繁琐抽象的力学公式结果进行了图形可视化，力求突破“三难”瓶颈，提升学生学习弹性力学兴趣。

一、应力状态理论[9]

弹性力学的研究对象为三维弹性体，由于满足连续性和均匀性假设，因此从微分单元体分析入手，确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。研究思路是首先确定应力状态描述方法，包括应力矢量定义及其分解为正应力、切应力和应力坐标轴分量，应力张量表示一点应力状态;其次从静力学观点出发，建立平衡微分方程和应力边界条件;任意截面的应力分量确定-转轴公式;一点的特殊应力确定：主应力和主平面、最大切应力。该部分教学中学生和老师常见问题有，如何直观体现已知方向余弦、如何确定应力主方向、最大切应力微分面方位或已知微分面方程求方向余弦，同时可视化微分斜面。

二、应力状态理论常见题型

已知物体内一点的应力张量为：

求：通过该点平面为x+y+3z=1的微面上沿x、y与z轴的应力分量、总应力、正应力、剪应力和主应力、应力主方向和最大切应力。

（一）Maple符號计算系统求解程序

1. 据应力张量确定应力分量：

2. 显示三元一次函数的微分面如图1所示：

3. 求斜面沿着坐标轴的应力分量：

4. 求该微分斜面的应力矢量、正应力和切应力：

5. 主应力和最大切应力及应力主方向：

（a）算例微分斜面

（b）最大主应力微分斜面

（c）最大切应力微分斜面

图1 Maple微分斜面图

（二）Matlab-GUI模块应力状态理论求解器

编制基于Matlab-GUI模块应力状态理论求解器，程序流程如图2所示;通过该求解器如图3所示可显示应力状态图和微分斜面;通常遇到题型有两种：一种题型为给出方向余弦可求出三元一次方程系数进而显示微分面方程和斜面图;另一种题型若直接给出三元一次方程及系数也可求出方向余弦和显示微分斜面;同时可求出三个主应力及主方向和最大切应力及方向余弦，可把主方向拷贝到方向余弦处，再重复第一种题型情况如图4和图5所示，分别显示主平面和最大切应力平面，验证主应力所处面切应力是为零，应力矢量和正应力相等;取得最大切应力微面，正应力不一定为零等结论。

三、结论

文章按照国家建设“金课”要求，结合弹性力学课程特点，力求突破“三难”瓶颈;以弹性力学应力状态理论常见题型为例，分别应用Maple强大的符号计算系统，通过编制程序过程，体现弹性力学中数理求解思路，也同时简化了繁杂的计算过程，提高了学生的编程和求解能力;同时利用于Matlab-GUI模块编制应力状态理论求解器，形象直观再现计算结果，使得数学力学公式可视化，学生的抽象思维和具象思维达到兼容。

参考文献：

[1]教育部发力本科建设打造“金专”“金课”.中华人民共和国教育部网[EB/OL].[2019-05-02].

[2]张伟伟，田锦邦.弹性力学的三段式教学方法[J].力学与实践，2017（2）：191-195.

[3]潘东辉，马崇武.MATLAB/PDE在弹性力学可视化教学中的应用[J].力学与实践，2014，36（04）：500-504.

[4]刘杨，孟庆宇.“互联网+项目指派”式教学模式在《弹性力学及有限单元法》教学中的应用[J].机械设计，2018，35（S2）：137-139.

[5]陈小亮，郑恒伟，丁剑平.弹性力学应力场解答的数学美感探讨[J].科学技术创新，2017（22）：103-104.

[6]卢小雨，董春亮，经来旺.Maple在弹性力学教学中的应用[J].大众科技，2013，15（09）：104-105+88.

[7]邢静忠.代数系统Maple在力学教学中的应用探讨[J].力学与实践，2010，32（04）：96-101.

[8]丁洲祥，李涛，白冰，等.MAPLE在土力学与基础工程研究型教学中的应用[J].力学与实践，2013，35（06）：87-89.

[9]吴家龙.弹性力学（第3版）[M].北京：高等教育出版社， 2016：7-25.

基金项目：国家自然科学基金“高应力状态下煤柱松弛时效性研究”（编号：51774167）;校级金课建设项目“辽宁工程技术大学‘金课建设项目”（编号：2019030）

作者简介：何峰（1978-），男，汉族，山西洪洞人，博士，副教授，工程力学系主任，研究方向：力学教学及岩土工程。

通讯作者：任天娇（1997-），女，汉族，辽宁本溪人，硕士在读，研究方向：近场动力学。