浅谈作辅助线的思路

黎建良 张霞

摘要：本文将从顺向思路、逆向思路、综合思路作为分析入手进行探索如何作辅助线。至力于摸索解决作辅助线问题的套路，至以像解方程那样有它的较清晰的一般解题步骤，让学生有路可循。

关键词：辅助线的起源、作辅助线的目的、作辅助线的思想方法、作辅助线的原则

首先明白作辅助线有什么作用，什么情况下要作辅助线？作辅助线可以帮助我们思考证明，利于把已知条件与结论之间联系起来，从而使得思路连通。在证明有困难时，发现需要应用某个基本图形的某个性质，但题目所给的线条不足，这时应考虑作辅助线构造这个完整的基本图形。仔细地审查平时作辅助线的思考过程不难发现：辅助线的产生来源于思路的需求或尝试应用某一性质。几何证明的思路决定着需要怎么作辅助线，所以探索作辅助线问题必须和几何证明的思考过程一起分析。根据不同的思维活动路线把思路分成三类：

一、逆向思路：以证明的结论出发，寻找使得结论成立的充分条件，即寻找以本题的求证为结论的相关定理，然后又以刚才所选择的定理的成立条件作为新的结论，以此模式不斷地逆推，直至所需的条件为已知条件或定理、公理等等。如果在运用在逆推寻找充分条件的过程中，发现题目直接给出的条件不够以至不能继续往上推，这时该想到作辅助线了，缺什么条件就补什么条件。它的思路很清晰，但有点繁琐。例如：如图：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。（证明平行四边形对边相等）

分析：结论→即要证明两边相等→（在大脑里搜索可以证明两边相等的定理）→其中一个为：“全等三角形对应边相等” →（这定理成立的条件又为：这两个三角形为全等三角形）→观察图形发现缺乏分别含AB和CD边的两全等三角的条件→那就补这个条件，就分别构造含AB和CD边的两个全等三角，容易观察猜到连结AC所造成的三角形为全等三角形，当然连BD也行.

证明：连接AC（或BD）

∵AB∥CD AD∥BC

∴∠1=∠2，∠3=∠4

又AC=AC

∴△ABC≌△CDA （ASA）

∴AB=CD

总结：从这里可以看出辅助线的产生是伴随思路的需求产生的，它是为了解决某个特定问题而产生，它担当着桥梁性的作用使得思路能顺畅地往上推。所以作辅助线是具有很强的目的性的，指向性是很明确的，并不是随意画的。

二、顺向思路：采用发散思维，顺着思考问题，从已知出发，根据基本图形的定义、性质、判定定理以及公理等，一步一步往下推直至得出结论。若题目的图形单一，条件不繁杂，此时可优先考虑顺向思考。但在思考过程中若感觉有困难，就要想到可能要作辅助线了，要有作辅助线意识。接着看基本图形有什么性质就试用什么性质，没有什么线条的，就补什么线条。单个图形的性质较少相对应的辅助线最多也就那么几条，可逐一尝试，也很快把思路推导下去了。

例如：如图，已知AB>AD， ∠BAC=∠DAC，CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180。。

分析：看完题目后第一感觉证明有困难→这时要有作辅助线意识了→由∠BAC=∠DAC即可知AC为角平分线（或尝试从翻折角度思考）→角平分线有什么性质？→“角平分线上的点到两边距离相等”→为能运用上这个性质，发现缺什么线，就补什么线（作角平分线上一点向角两边的垂线），作为一种尝试性思考。过点C作向∠BAD的两边作垂线CN，CM，这时容易发现△BNC、△DMC全等，进而利用转换手段和平角性质证∠ADC与∠B之和为180度。

证明：作CN⊥AB于点N，CM⊥AE于点M，

∵∠BAC=∠DAC， CN⊥AB于点N，CM⊥AE于点M，

∴CN=CM， ∠BNC=∠DMC=90。

又CD=BC

∴△BCN≌△DCM（HL）

∴∠B=∠CDM

又∠CDM与∠ADC构成平角即∠ADC+∠CDM=180。

∴∠ADC+∠B=180。

总结：采用发散思维来思考虽然属于尝试性证明，但作辅助线也不是盲目性的，是具有目的性，有方向性的，是为了应用得上某个基本图形的某个特定性质而作的。这时要求平时注意积累应用基本图形的某个性质的辅助线作法的经验了，会对作起辅助线来方便很多的。例如：在一个三角形中知到一边的中点，为了运用上三角形的中位线定理这个性质，可以联想到作它的中位线，作另一边的中点然后连接起来，也可以过这一点作一条平行第三边的线段，然后再求所交的点为中点。

三、综合性思路：往往是从两头夹击，其思维过程是兼顾已知条件和结论以及图形，运用两种推理方式不断地朝着对方靠拢直至把顺逆两种零碎的思路不断串连接起来。1.若图形不是单一的，线条多性质较多，再一一尝试那么花费的时间实在太多了，并容易感到无从下手，常常要采用综合性思路，它可以减少作辅助线的尝试次数。2. 如果已知条件繁多，有着过多的可能性，并且与结论联系跨度大，难以一下知道如何证明这时需从两头夹击推导出更多的新的已知和转化更多的新的结论来提供分析进一步明朗证明的方向，逐步明白所需的是什么。3.如果已知条件之间分散，往往直接看不出存在什么联系，需多方分析. 需把各种有用的分散的条件聚合在一起，这时往往需要作一些变换性的辅助线把一些线条聚拢到一个基本的图形中，以便应用某一性质。下面主要讲第三种情况：

例如： 如图，已知AB>AD， ∠BAC=∠DAC，CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180。。

分析：逆向思维要证∠ADC+∠B=180→搜索与角度数有关的，如：平角为180度。→通过把这两个角进行图形变换使得它们拼成一个平角或通过转换方法使之能运用上平角的性质→→再观察图形（结合图形）容易发现∠ADC与∠CDE构成一个平角，朝这个目标思考如何把∠CDE与∠B实行转换。→→返回已知（顺向思维）从已知可知 AC为∠BAD的平分线→联想到对称轴性， AC为∠BAD的对称轴→兼顾多方面根遵循聚拢原则通过变换手段把分散的线条聚拢在一起，由已知BC=CD，自然会想到把BC边B端翻折到AE边上（或D点翻折到AB边上），这样就把线条BC和CD聚拢在一个基本图形（等腰三角形）上，且也把∠B聚拢在这个图形中。→可知∠CDE=∠CMD=∠B，∠ADC与∠B之和为180度。

证明：因为∠BAC=∠DAC，所以设BC沿AC翻折到边AE与点B重合的点为M ，连结MC则BC=CM，∠CMD=∠B. （或过C点作∠CMD=∠B，再证△BCA≌△MCA，得BC=CM，也是源于翻折变换思想的启发）

又∵CD=BC

∴CD=CM

∴∠MDC=∠CMD

又∠CMD=∠B

∴∠CDM=∠B

又∠CDM与∠ADC构成平角即∠ADC+∠CDM=180。

∴∠ADC+∠B=180。

如果思考如何遵循聚拢原则通过变换手段把分散的线条聚拢在一起时还想到用旋转手段（或圆的性质）有会一些不同了。在作辅助线的过程可能会加多圆知识进去进一步明确M点的位置。 如证明：因为∠BAC=∠DAC，所以设BC沿AC翻折到边AE与点B重合的点为M ，连结MC则BC=CM，∠CMD=∠B.其中M点位置为以C为圆心CB长为半径作圆与AE的另一交点便是如图所示。

还可这样证明：以C为圆心BC长为半径作圆交AB于N点，交AE于M点，连NC，MC。由于因为∠BAC=∠DAC，圆心在AC上所以AC为∠BAE和圆C的共有的对称轴，可知点N与D，点B与M为对应点即可知△BCN≌△DCM，绕C点旋转后∠B与∠CDM重合故有∠ADC+∠B=180。。

（2013年海南省）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5，∠B=60°，则BC=________________.

根据聚拢原则线条聚拢的方法把分散的条件AB=CD通过作平行线把CD聚在一个基本图形中△ABE中这道题就突破了，再应用等边三角形的性质和平行四边形的性质后面的问题就迎刃而解。当然可以为了应用等边三角形的性质和平行四边形的性质直接通过看出来便知过A点作CD平行线。

总结综合性思路作辅助线需有一些思想方法和要遵循一些原则：1.遵循联通原则，作辅助线最终目的是为使得思路联通起来的。2.遵循聚攏原则，要有方向感，兼顾已知条件和结论两头且要和图形结合起来，要为它们不断向对方靠拢进行搭桥铺路，分散的有关联的线条要聚拢在一起。 3.出现的条件是针对应用某基本图形中的某一性质而作辅助的。4.线条聚拢的方法一般是通过图形变换（平移、轴对称、旋转）作辅助线把具有某种关系分散的线条聚合在一个基本图形中。

通三种思路不难发现不同的问题和相同的问题不同的思路，根据要应用的性质是不同的，所需作的辅助线也是不同的，所以添加合适的辅助线决定于问题和对问题的思考。其实作辅助线问题实质是对几何证明的思考方式的结果，思路上需要就作不需要就不作，并不是问题本身是不是一定要作的问题，理通几何证明的思路，作辅助线问题也基本解决了。要能够真正学会作辅助线，第一：要熟记基本几何图形的性质和所需的线条。第二：掌握基本作法及表达。第三：要有一些思想方法和作辅助线的一些原则。这三点是相互影响的，缺一不可。本文以简单的例子来说明是如何思考作辅助线的，希望对有需要人有帮助。

参考文献：

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学八年级下册[M].北京：人民教育出版社，2013.8.

[2] 文档贡献者，网名：whynot910.谈谈怎样添加几何辅助线.百度文库：http：//wenku.baidu.com/link？url=rcCK90y7LEJjlKV98EvmkD7YTT9muKz7DPl_n9O8ReQInTIQ05oEEGKOCsc4WLDtWsVekBeNeCe_GheJg2LC8x1a8SXSi5H2h_gLatDdrfu ，2013-03-23.

海南省东方市第二中学 黎建良

海南省东方市民族中学 张霞