提高线上物理教学质量需“钩玄提要”

包景东

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

“钩玄提要”系一个汉语成语，意思是探取精微，摘出纲要.其出于唐·韩愈《进学解》:“记事者必提其要，纂言者必钩其玄.” 直译为：对待记事一类著作(知识)，一定要提纲挈领，抓住要点；对待立论一类著作(难点)，一定要寻求奥妙，探索精微.有一句挂在嘴边的话：教学要遵循古代思想家和教育家孔子所言“有教无类”“因材施教”的宗旨.然而，时过境迁，又复忘怀，则教育停滞矣.2020年突发新冠疫情，使得线上教学成为不可或缺的方式，因而需探索新情境下提高教学质量的方略。

首先，让我们重温被誉为“教师的教师”的三位大师对物理教研的期许.杨振宁先生比较了中美的教育方式，提到中国传统教育提倡按部就班的教学方法，这有利于学生打好根基；美国提倡“渗透式”或称为“体会式”的教育方式，其特点是让学生在过程中一点一滴地学到许多东西.赵凯华先生认为中美两种教育方法各有特色，若能将两者的优点和谐统一起来，则在物理教育上是一个突破.费恩曼先生直白地诠释了后者：“的确，一个学者在一门课程中所作的全部论证，并不是他从学习大学一年级物理时就记住的.完全相反，他只记得某某是正确的，而在说明如何去证明的时候，需要的话，他就自己想出一个证明方法.无论哪个真正学过一门课程的人，都应遵循类似的步骤去做，而死记被证明是无用的.”

具体而言，费恩曼希望教学要兼顾两点：一是对于班级中最聪明的学生，试图使所有的陈述尽可能准确，在每种场合都指出有关公式和概念在整个物理学中占什么地位，以及应该做出修正.二是也希望照顾到另一些学生，对他们来说，这些额外的五花八门的内容和附带的应用只会使他们烦恼.对这些学生，希望至少有一个他能够掌握的中心内容或主干材料[1].

以上两点不失为线上教学的目标.在这种教学过程中，师生互动性难以复制“You Raise Me UP”的场景，但应牢记费恩曼最反对“用字解释字”的讲授方法，此做法未提供给远程受众更加有用的信息.就某些概念和定理来说，最好能跳出原来的命题，用生动的实例，用建立“思想实验”和类比的方法，借助于已知现象来解释新的现象.在费恩曼看来，这是数学物理学的伟大艺术.显然，这有赖于师生的知识储备和批判性思维能力[2].下面，作者以48学时“热力学与统计物理”的课程实践，结合着向费恩曼先生学习，谈几点粗浅的认识.

1 问题导向

费恩曼在他巴西讲学之旅前，给自己写下了一个便笺：“首先要搞清楚你为什么要学生学这个专题，以及你要他们知道哪些东西，至于用什么方法，或多或少由常识给出了.”费恩曼所谓的“常识”其实就是完全抓住问题本质的出色技巧.

秉承“没有问题比问题很多更可怕”的负责精神，线上授课应明确每个章节的动机而不仅是要义，使得同学心中有数，围绕着核心知识点预习和自学.适用于少课时“热统”教学，笔者在今年3月14日(π日)出版的文献[3]中，以【本章提要】的形式，在每章开头写出了如下的摘纲：

第一章热力学基本定律.明确热力学基本概念，阐述热力学4个实验定律及其微观解读.已知物态方程计算出3个状态参数及进行逆运算.基于卡诺定理引入熵，建立可逆过程的三个TdS方程；设计一个准静态过程计算实际过程的两态间熵变.

第二章热力学函数及关系.引入焓、自由能、吉布斯函数等热力学势，分析它们的作用.给出选两个合适自变量的特性函数的微分式，用它们导出四个麦克斯韦关系式；证明可逆过程的一些热力学等式.还将处理气体的热力学规律推广到其他如表面、磁和电介质、空腔的热力学系统.

第三章相平衡与相变.首先给出多元复相共存与平衡的相律，着重讨论无化学反应的单元二相系的平衡与转变，即平衡相变.导出两相共存曲线斜率满足的克拉珀龙方程，将着重分析范德瓦耳斯气体的等温曲线与实验等温曲线的行为.

第四章玻耳兹曼统计.导出单个粒子平衡态下所遵守的玻耳兹曼分布，找到系统热力学函数与配分函数的关系.证明能量均分定理.对双原子分子组成的理想气体的量子热容量进行计算，分析振动和转动自由度的贡献，解释实验结果.还将玻耳兹曼统计运用到两能级系统等.

第五章系综理论.在Γ空间研究粒子平衡态分布，既能处理粒子间相互作用也可以考虑全同粒子不可分辩性.微正则分布是其他系综分布的基础，导出与大热源接触的固定温度系统的正则分布，与大热源和大粒子源接触的固定温度和化学势系统的巨正则分布；分析三种系综的关系，特别是系综理论中的1/N!修正因子，从而解决吉布斯佯谬.

第六章量子统计.应掌握量子理想气体以及满足的量子统计，有关于自旋为半整数粒子的费米-狄拉克和自旋为整数粒子的玻色-爱因斯坦两种分布.给出量子统计向经典统计过渡的条件.应用于金属的自由电子模型引出费米能量的概念；应用于光子和声子模型，解释玻色-爱因斯坦凝聚.

2 寓教于例

费恩曼在物理上推崇巴比伦方法而不是希腊方法。作为两种看待数学的方式，希腊方式是从特别简单的一组公理出发，导出几何学的所有定理；巴比伦风格是知道了所有不同的数学定理和它们之间的联系，但永远也不完全认识到这些都是能够从一批公理推出来.在巴比伦的数学学校里，学生们通过做大量的习题来掌握普遍的规则.

1951年末，费恩曼在日本待了几个星期，主要接待方是日本京都大学汤川(Yukawa)研究所.日方安排费恩曼访问和参观了许多机构.费恩曼每到一地，只要有研究物理的人，都会告诉费恩曼他们正在做什么，费恩曼就和他们讨论.日本学者先概括介绍他们所研究的一般性问题，然后就写出一大推公式.

“稍等片刻，”费恩曼说，“这个一般性的问题，有没有一个特别的例子？”

“怎么没有？！当然有啊.”

“那好，给我一个例子，我得看例子.”费恩曼接着说：“除非我脑子里有一个具体的例子，看着它怎么演化，否则我是理解不了任何一般性的东西的。”有些人开始时会认为费恩曼迟钝，以为他不明白那个问题，因为费恩曼问了许多个貌似“傻瓜”的问题.例如：阴极是正的还是负的？阴离子是这样的还是那样的？

可是稍后，当日本学者掉进方程式堆里的时候，费恩曼就说：“哪儿有个错误！这不可能对！”这个日本人看了看他写的方程式，过了好一阵子，他果然发现了一个错误.他心里犯嘀咕，百思不得其解，费恩曼这家伙儿，一开始听不明白，可他怎么就能在这么繁琐的公式中发现这个错误呢？

费恩曼暗自得意，“他以为我是跟着他走，推演数学，但我干的不是这个活儿.对于日本人正在努力分析的那个问题，我有一个具体直观的例子，本能地知道问题的属性，所以直觉就会告诉我，哪个地方出了错儿.”因此，费恩曼在日本与物理同行的讨论并不愉快.他写道：“除非他们能给我一个可感觉的例子，但他们大多数人找不出例子，那我就不能理解任何人的工作，不跟他们讨论.或者，有些人倒是能给我一个例子，但那个例子非常平凡，你能用一个简单的方式就解决了问题，为什么还绕了一个大圈子，用复杂的笨方法来说明问题呢？”

由于费恩曼总是不问数学方程式的问题，而是问他们试图解决的问题的环境.一份在日本科学家中流通的油印小报发表了一篇文章，题目叫做“费的轰炸与我们的反击.”

3 实验驱动

费恩曼1949年夏天访问了巴西，1951年又在那儿待了半年.在里约的巴西大学讲授电磁学,学生都畏畏缩缩、不敢发问，令他很失望.他说：“学生学到的只是名词和抽象的公式，他们可以背诵布儒斯特定律，可是如果问他们，窗外阳光照在海水上，拿起一片偏振片做个简单实验，这样转和那样转会看到什么的时候，他们却一脸茫然.”考试题目会出：望远镜有几种？学生答得出来，可是却忽略了望远镜的真正意义.遇到诸如此类的事情，费恩曼会大发脾气，因为他希望能够尝试错误、发现、自由地探讨，而不是灌输现成的知识.

费恩曼在巴西期间，曾应邀到巴西科学院做过一次关于“谈巴西的教学经验”的演讲.他拿起一本被公认写得非常好的大学物理教材说道：“在这本书里，从头到尾都没有提及实验结果；随便把书翻开，指到哪一行，我都可以证明书中包含的不是科学，而是生吞活剥地背诵而已.”

举例来说，把热力学公式用文字解读一下等于什么都没有说.在热学和热力学书中，焦耳实验验证了理想气体内能仅与温度有关，有一个著名的内能公式：

(1)

这个公式出现在《费恩曼物理学讲义(第1卷)》中.体会一下费恩曼所不屑的“用字解释字”是如何解读的？在等温条件下，系统内能随体积的变化，等于定容情况下压强随温度的变化乘以温度，再减去压强.若这样对式(1)进行讲解，则它包含了有价值的信息吗？让我们学着像费恩曼那样，一步一步地把此问题能够揭示的物理告诉学生.

(a) 偏导在物理学上意味等值过程的部分变化率，如何实现热学中一些常见的等值过程呢？例如：将一个系统与一个大热源相接触就可以实现等温；保持定容的话，你可以想象一个密封的钢罐；最好办的是定压过程，只要将系统与外界相连就可以了.对于像绝热(adiabatic) 这样一个普通的概念，只要有发挥的空间或者易被人错误理解的地方，费恩曼就不会放过.它是由希腊字母a(不)+dia(穿)+bainein(过)而来的.“绝热”这个词在物理上有几种不同的用法，有时很难看出它们之间有什么共同的含义.

(b) 人们无法直接测量系统的内能以及其他热力学函数，有些物理量说它有绝对的数值是没有意义的.所以将热力学函数表示成物态参量T、p和V的函数，然后再测量它们相对某种变化的变化.

(c) 教师要向学生提供的最大帮助是，从课程中总结出一些解决问题的规律来，比如证明可逆过程中的热力学等式，就有基本的套路可循：数学上写出二元函数的全微分，物理上热力学第一定律和第二定律相结合；将两个方程中的自变量转化为相同，对应项相等；再利用麦克斯韦关系式，最后抵达结果.

(d) 大部分人学习热力学难免的经历是：装懂→不懂→真懂。这里的“真懂”不是停留在抽象的公式上，而一定是你将基础知识运用到了具体的物理过程，这才是费恩曼的风格！

有一位学生发微信问作者：“内能公式的结论是，在温度保持不变的情况下，若理想气体的体积发生变化时，则它的内能不变.是否存在一个公式，可以用来验证理想气体的焓不随压强的变化而改变？”出自于学生的好问题！笔者在期中测验中出了如下的题目：

物性均匀的系统存在一个内能公式，那么对焓H而言，类似的公式具有形式：

(2)

(i)写出A和C的表达式；(ii)严格证明这一公式；(iii)讨论构造这一公式的出发点，并举例说明其正确性。

4 演绎归纳

费恩曼先生认为学习物理有5个方面的理由，其中他所列的第三个学习物理好处是：认识自然的美妙，感受世界的稳定性和实在性.新冠疫情给世界造成了不稳定性，同学们安静地跟随着我们教师线上学习，体现出网课的实在性.最后，作者对课程进行总结，将核心知识点链接起来[3]：

一、平衡态热力学：以几条实验定律为框架的传统热力学亦称为经典热力学.温度、能量和熵构成了这一学科的三大要素.

1) 温度在第零定律以热接触方式被定义了，也出现在另3条定律之中，它是区别于力学平衡的一种运用的非常广泛的热平衡和热涨落的标志.

2) 热力学第一定律将两种相互作用能(功和热量)的变化与体系内能(总能量)增减联系在一起.第二定律的重要成果是建立了一个态函数熵(热温比)，它限制了实际过程的进行方向，现如今来看这一概念比能量更为重要.

基于热力学第一与第二定律的结合以及态函数存在全微分的条件，可以研究均匀物质的热力学函数的关系.为了用态函数的差来方便计算某一可逆等值过程的功和热量这两个过程量，也为了判断在某个量保持不变前提下，不可逆过程的进行方向，引入了一些态函数，关键是记住特性函数的两个自变量.特别注意：表面系统和电磁介质等广义功与气体的体积功相差一个负号，这是因为凝聚态体系必须外界对它们做功.

3) 热力学第三定律(也称能斯特定理)表明当热力学温标趋于零时，熵等于零，也告诉人们绝对零度的不可被达到.对于热力学态函数(内能、自由能、焓和吉布斯函数)而言，仅有差才有意义，惟有熵常数在极限零温被确定了，即存在绝对熵概念.

4) 相平衡和转变是经典热力学最成功应用的范例.两相共存时的压强与温度函数关系为相平衡方程，该曲线的斜率遵守克拉珀龙方程.任何气体物态方程都不能描写气液两相共存的情况，需要实验测量绘出等温曲线.不过，我们以范德瓦耳斯气体为例，在p-V图上画出等温曲线，利用两相化学势相等理论要求，气液共存的水平直线段使上下曲线与该直线所围面积相等，此即麦克斯韦法则.

二、统计热力学：以玻耳兹曼公式(熵与微观态数关系)为导引的热力学理论现被叫做统计热力学，牛顿力学和统计分布律同时起作用.它是信息论的出发点.牛顿力学并没有时间之箭，热力学中的时间之箭从何而来呢？玻耳兹曼又是如何从无时间之箭的力学结构中无中生有地得出一个时间之箭呢？热力学第二定律中的时间之箭产生于两个方面：

① 初始条件与平衡状态之间相差一个很大的、宏观上可探测到的量，一个朝熵增加方向演变的状态，它必定不是一个其存在只能通过微观方式才能观察得到的极其微小涨落.

② 寻求的是系统在一个特殊条件之后的演变，这一条件由外部方式而非通过孤立系统自然发展而得到.当然还有概率性和马尔科夫过程的解释.

三、平衡态统计分布律：平衡态统计物理的基本假设只有一条：平衡态下的孤立系统的各个微观态出现的概率相等.统计物理的两种最基本手段是最概然统计和系综理论，都用到了等概率统计假设.前者利用了平衡态最为无序，则所对应的微观状态数最多；后者将系统加环境视为一个孤立系统，进而总分布密度函数为一常数.

1) 最概然统计的物理思想生动.以定域可分辨的单个粒子为研究对象，事先在任一能层内将μ空间化分成许多小相格，这样一来就可以计算微观状态数目，在近独立近似条件下，求出使微观态数极大的宏观粒子分布.玻耳兹曼统计应用到气体量子热容量、两能级系统的负温度和相对论气体等情形取得了满意的结果.

2) 系综理论方法令人生趣.构造出由N个存在相互作用的粒子组成的正则系综和巨正则系综，前者系一个系统与一个大热库接触；后者的系统不仅与一个大热源而且还与一个大粒子源相接触.整个系统加环境为一孤立系统.大热源的性质对系统行为没有影响，因此可以假设其是由单原子分子组成的理想气体.从而对联合密度函数中的热源变量积分，而获得关于系统变量的分布密度函数.

在系综理论中，也可处理无相互作用的理想气体分子，在计算微观状态数时，相同粒子在不同相格中交换不产生新的微观态，即仅考虑粒子组合引起的状态数而不认为不同的排列带来新微观态.相对于玻耳兹曼统计计算的微观状态数，须乘以吉布斯修正因子1/N!.最初它是作为量子修正引入到经典统计中，而现在它是自然而然地进入到热力学公式中，因为它保证了自由能、熵和吉布斯函数等三个热力学函数的可加性或广延性.历史上用系综理论成功地解决了吉布斯佯谬，从此以后这一理论被应用于许多领域.

3) 分布密度函数的归一化系数的倒数就是系统的配分函数，诸热力学函数和物态方程可以通过对配分函数的求导和取自然对数而得到；两种方法给出相同的热力学函数与配分函数的关系公式.

四、量子统计：任何微观粒子的重要特征是具有自旋，要么是整数自旋的玻色子，要么是半整数自旋的费米子(遵守泡利不相容原理).在统计物理范畴内，量子粒子区别于经典粒子在于：全同粒子的不可分辨性和能级的离散化.物理上凡是不能用经典处理的系统称为简并系统，这是因为量子粒子均有自旋角动量自由度，能级相同但还是其他自由度不相同.量子统计学不是完全的量子力学，却成功地解决了能均分定理计算的双原子分子理想气体的定容热容量在低温与实验不符的困难；在高温、低密和重粒子质量情况下，即简并退化，系统可以用经典统计来处理.

费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计反映了单粒子态所能填充的平均粒子数对能级和化学势的依赖关系.在T=0 K极限下有解析解，我们在动量空间发现了新的物理量和现象，例如：费米面、玻色-爱因斯坦凝聚等.两个量子统计精确可解的问题是：(i)自由电子气或金属晶格模型；(ii)光子气和辐射场模型.

5 结语

本文依照古人＂钩玄提要＂的智慧，借鉴诺贝尔物理学奖获得者费恩曼的方法，对《热力学与统计物理》课程的线上教学进行了探索.总结出问题导向—生动案例—提纲挈领的实施方案.希望与同行分享讨论，推进这门在本科物理诸多课程中可谓“内容繁难、思想深刻、综合性强”的建设.