改进阻尼谱修正迭代法在病态线性方程组中的应用

莫春鹏　覃柏英

摘 要：为提高阻尼谱修正迭代法求解病态线性方程组的性能，提出了一种较佳阻尼因子的新确定方法，并对其迭代方式进行了改进.通过采用两个经典算例，采用新确定方法和改进的迭代方式对算法求解病态线性方程组的影响进行了分析.结果表明，两者都可提高病态线性方程组求解的精度.

关键词：阻尼因子;谱修正迭代法;病态线性方程组

中图分类号：O241.6;O151.2  DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.02.018

0引言

科学技术领域的许多问题可建立其数学模型[1-2]，其中有一类常见的数学模型，即线性方程组.当其系数矩阵的条件数较大时，称其为病态线性方程组.传统算法应用于病态线性方程组求解时难以保证数值解的精度，给实际问题的解决带来巨大困难和线性方程组的准确性求解带来极大不稳定[3-5].因此，研究病态线性方程组的高精度求解，在科学研究和工程应用中都具有重要的意义和价值.

为了实现病态线性方程组较准确的求解，研究者提出了多种数值求解算法[6-14].为了改善系数矩阵的病态性，王新洲等[14]提出了谱修正迭代法.该算法理论上可获得线性方程组的最优解，但其实际应用时收敛速度较慢.邓兴升等[15]提出了阻尼谱修正迭代法，但应用于许多病态线性方程组求解时，因受阻尼因子选择和数值迭代方式的影响，依然存在收敛速度较慢等问题，且精度依然有待提高.

因此，本文提出一种阻尼因子的新选择方法，并改进数值迭代方式，由此提出改进阻尼谱修正迭代法，并探讨了新确定方法和改进数值迭代方式对改进阻尼谱修正迭代法应用于病态线性方程组求解的影响.采用两个经典算例，探讨了结合两者的改进谱修正迭代法在病态线性方程组的应用.

现采用3种算法LSM、DCCV、IDCCV分别求解上述两算例，结果分别如表1和表2所示.其中两算例[α]取值分别为2.500 0[×10-7]和1.111 5[×10-10]，算例1取[n=10]和[p=5×10-4]，算例2的[n=8]，[F]表示算法的迭代次数，并以[ε=E∞]为算法的终止条件.各算例中终止条件[ε]都取了3个值以验证算法的性能.

由表1和表2可知，LSM、DCCV、IDCCV都可实现病态线性方程组较高精度的求解，但比较第2至4列的结果可知，DCCV和IDCCV明显优于LSM，IDCCV明显优于DCCV，特别地，IDCCV 的解明显更满足线性方程组（1）.当[ε]取第2个值时，在增加迭代次数时，算法IDCCV可获得病态线性方程组更高精度的解，而算法DCCV却无法实现.同时，算法IDCCV还可通过[ε]取第3个值再次提高病态线性方程组求解的精度.由此可见，阻尼因子的新确定方法和其改进迭代方式可提高阻尼谱修正迭代法求解病态线性方程组的精度，即IDCCV优于算法LSM和DCCV，使IDCCV的数值解[X]更接近其真实解[X]，且更满足线性方程组（1）.

6高维问题

对于病态线性方程组的求解，为了更充分说明IDCCV的性能，现将IDCCV应用于高维病态线性方程组，即将IDCCV应用于算例1和算例2的高维问题的求解.

取定算例1的[p=5×10-6].两算例的维数 n=100、200、500、1 000、2 000、3 000、4 000.系数矩阵A对应的条件数[κ]，阻尼因子[α]的取值以及IDCCV求解病态线性方程组的结果分别如表3和   表4所示.

对于高维的强病态线性方程组（1），由表3和表4可知，算法IDCCV可获得高维问题高精度的数值解.由此可见，改进阻尼谱修正迭代法应用于病态线性方程组的高维问题时，其求解精度较高，并且相对于阻尼谱修正迭代法，可使得所求的数值解更能满足线性方程组（1）和接近其真实解X.

7结论

针对阻尼谱修正迭代法，本文提出一种较佳阻尼因子的新確定方法和改进数值迭代方式，由此提出改进阻尼谱修正迭代法，并探讨了新确定方法和改进数值迭代方式对改进阻尼谱修正迭代法应用于病态线性方程组求解的影响.同时，采用两个经典算例，探讨了结合两者的改进谱修正迭代法在病态线性方程组中的应用.可得到如下结论：

1）阻尼因子的新确定方法，可使阻尼因子取得较佳值，从而保证系数矩阵病态的改善和阻尼谱修正迭代法求解病态线性方程组精度与效率的提高;

2）改进数值迭代方式，可明显提高算法求解病态线性方程组的精度;

3）结合阻尼因子的新确定方法和改进的数值迭代方式，阻尼谱修正迭代法相比于其他算法，可明显提高病态线性方程组求解的精度和效率，且将其应用于高维病态线性方程组，也可高效率地获得较高的精度数值迭代解.

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Improved iteration method by correcting characteristic value with damping factor for ill-conditioned system of linear equations

MO Chunpeng， QIN Boying*

（College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： To improve the performance of iteration method by correcting characteristic value with damping factor （DCCV） for solving the ill-conditioned system of linear equations （ICSLE）， a new method for determining the better damping factor of DCCV is proposed， and its iterative method isimproved. Two classical examples are used to discuss the influence of the new method and the  improved iterative method on DCCV for solving ICSLE. The results show that the new method and the improved iterative method both can improve the accuracy of DCCV for solving ICSLE.

Key words： damping factor; iteration method by correcting characteristic value; ill-conditioned system of linear equations

（责任编辑：罗小芬、黎   娅）

收稿日期：2020-10-19

基金项目：广西自然科学基金项目（2018GXNSFAA294122）;高校中青年教师基础能力提升项目（2017KY0339）资助.

作者简介：莫春鹏，硕士，讲师，研究方向：计算数学.

通信作者：覃柏英，硕士，副教授，研究方向：计算流体力学，E-mail：392644147@qq.com.