基于Clough-Penzien谱的粘弹性耗能结构地震响应的简明解析解法

邹万杰　姜琰　张梦丹　葛新广

摘 要：对粘弹性耗能结构基于Clough-Penzien（C-P）谱的随机地震动响应提出新的简明解.首先，基于C-P谱的滤波方程，将复杂的地震激励精确转化成简明的白噪声激励，并重构粘弹性耗能结构的地震动方程.然后，利用复模态方法将结构的响应协方差精确统一表示为白噪声协方差的二重积分，基于白噪声协方差的特点给出了响应的协方差、功率谱及0—2阶谱矩的简明解析表达式.通过算例说明了本文方法的应用，并通过与虚拟激励法进行对比分析，验证了本文方法的正确性及简洁性.本文方法适用于具有滤波方程的复杂随机激励下的线性结构的动力响应分析.

關键词：粘弹性耗能结构;地震响应;简明解析解;Clough-Penzien谱;谱矩

中图分类号：TU318          DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.02.001

0    引言

地震动是有明显特征的随机过程，根据地震动统计信息与时间的关联性，分为平稳随机激励和非平稳随机激励.其中，平稳随机激励是研究非平稳激励下随机振动的基础[1-2]，其相对于非平稳随机激励而言，模型更为简单，在实际工程中应用较为广泛.平稳激励模型主要有理想白噪声模型[3]、Kanai-Tajimi模型[4-5]、Clough-Penizien模型[6]、欧进萍模型[7]等.由美国学者Clough和Penzien提出的Clough-Penizien模型，其优点是利用两个线性滤波器，过滤掉超低频率处的激励，改善了Kanai-Tajimi模型过分夸大低频能量的缺点，受到了工程技术人员的广泛关注[8-9].李创第等[8]利用复模态法研究了基础隔震结构基于C-P谱的地震动响应分析，但所得方差表达式较为复杂.李春祥等[9]利用传递函数法研究了MTMD结构基于Kanai-Tajimi或C-P谱的地震动响应功率谱分析，但结构响应的方差为功率谱密度函数的数值积分，积分精度和效率受积分区间和积分步长的制约.

粘弹性耗能结构作为被动控制的一种有效方式，得到了广泛的研究和工程应用[10-12].粘弹性耗能减震结构地震动响应分析的方法主要有频域法和时域法[10-14].频域法的突出优点是结构响应功率谱与地震激励功率谱之间有直接代数关系，传递函数法[1，11]和虚拟激励法[2，14]是其典型代表，但频域法获得结构响应的方差和谱矩需要数值积分，分析精度和效率受积分步长和积分区间影响较大.时域法是利用结构响应的协方差表示为结构脉冲函数与激励协方差的二重积分，因此，该方法应用的前提：一是结构要有协方差且表达式越简洁越容易获得解;二是结构体系要有脉冲函数.粘弹性本构关系有积分型和微分型[12]，当为积分型时，利用传递函数法或者虚拟激励法分析较为方便;当为微分型时，采用时域法较为简单.目前大部分研究粘弹性阻尼器耗能结构的地震动响应分析，均为2种方法单独应用.邹万杰等[13]研究Maxwell粘弹性阻尼器基于Kanai-Tajimi激励下的地震动响应的简明解析解，该文首次利用复杂地震动激励的滤波方程和粘弹性阻尼器的微分型本构关系，联合运用时域法和频域法将结构响应的协方差、功率谱和谱矩表示成耗能结构一阶系统振动特征值的线性组合，且结构响应的方差和谱矩均为简明形式的解析解.

本文以文献[13]所提出的方法为基准，研究 Kelvin型粘弹性阻尼器基于C-P谱激励下的地震动响应分析.首先，利用Clough-Penizien谱滤波方程组与结构地震动方程联立;运用复模态法将结构的相对位移、相对速度表示成白噪声激励的一阶微分表达式;借助结构响应的一阶微分表达式与白噪声激励的简明关系，获得结构响应的协方差的简明解析解;最后利用一阶微分振子的协方差与功率谱的简明关系，获得结构可靠度分析的谱矩的简明解析解.

5    结论

本文针对传统方法分析基于C-P谱激励下粘弹性耗能结构地震动响应比较复杂的情况，提出利用C-P滤波方程、粘弹性微分型本构关系与结构运动方程联合求解的方法，结论如下：

1）将C-P谱的滤波方程、粘弹性微分型本构关系及结构的地震动方程联立，从而使C-P谱随机地震动精确转换为基于白噪声激励的运动;其次，利用复模态法解耦振动系统，同时考虑白噪声激励的特点，从时域法角度获得结构协方差的简明解析解;最后基于Wiener-Khinchin关系获得结构响应功率谱的二次正交型，为获得结构响应0—2阶谱矩的简明解析解奠定基础.因此，本文方法本质上是时域法和频域法联合应用的成果.

2）本文方法适用于本构关系为微分型的粘弹性阻尼器，但由于积分型可以化为微分型，本文方法可以广泛应用于粘弹性阻尼器的动力响应分析.

3）本文方法适用于各类具有滤波方程的复杂随机地震动激励下线性结构地震动响应分析.

参考文献

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Simple analytical method of earthquake response of viscoelastic

energy dissipation structure based on Clough-Penzien spectrum

ZOU Wanjie， JIANG Yan， ZHANG Mengdan， GE Xinguang*

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： A new concise solution is proposed for the random seismic response of viscoelastic energy dissipation structures based on Clough-Penzien （C-P） spectrum. Firstly， based on the filtering equation of C-P spectrum， the complex seismic excitation is accurately transformed into the concise white noise excitation， and the ground motion equation of viscoelastic energy dissipation structure is reconstructed. Then， the complex mode method is used to express the response covariance of the structure as the    double integral of the white noise covariance. Based on the characteristics of the white noise               covariance， the concise analytical expressions of the response covariance， power spectrum and 0-2      order spectral moment are given. The application of this method is illustrated by an example， and the correctness and simplicity of this method are verified by comparing with the virtual excitation method. This method is suitable for the dynamic response analysis of linear structures under complex random excitation with filtering equations.

Key words： viscoelastic energy dissipation structure; seismic response; concise analytic solution; Clough - Penzien spectrum; spectral moment

（责任编辑：罗小芬、黎   娅）

收稿日期：2020-06-05

基金项目：国家自然科学基金项目（51468005）;广西科技大学研究生教育创新计划项目（GKYC202010）;广西科技基地和人才专项

（桂科AD19110152）资助.

作者简介：邹万杰，博士，副教授，研究方向：结构抗风抗震及振动控制.

通信作者：葛新广，在读博士，讲师，研究方向：结构抗震、抗风，E-mail：gxgzlr.2008@163.com.