带电粒子在复合场中的运动问题剖析

田长军

带电粒子在复合场中的运动问题综合了洛伦兹力、牛顿运动定律、匀速圆周运动、能量观点等重点知识，同时对数学运算能力、空间想象能力、作图能力都有较高要求，是高考命题的热点和重点。近年来，高考对带电粒子在复合场中的运动问题考查比较频繁，一般为计算题和选择题，难度较大，综合性较强，预计该考点仍为今后高考考查的热点。笔者对近年来全国卷高考真题进行了研究，总结了带电粒子在复合场中运动问题的命题规律，并给出了典型预测题及相应的备考策略，希望对同学们备考有所帮助。

一、近年全国卷真题命题规律

根据上表分析，近年来全国卷对此类问题命题有以下规律：

1. 考查题型：考查题型有单选题和压轴计算题，预计今后仍然以电场和磁场的组合为高频考点，出现压轴多选题的可能性也较大。

2. 考向：非常热的考向是带电粒子在组合场中的运动，电场与磁场的组合是高频考点;较热的考向是带电粒子在叠加场中的运动。预计今后仍以考查组合场和叠加场为主，不排除考查交变场的可能。还有可能将复合场问题与图像问题、临界问题、最值问题与现代科技综合考查。

3. 难度：因本考点与力学知识的综合，使考题的难度较大，常以中等题或难题形式出现。

4. 考查的物理核心素养主要为：物理观念和科学思维。

二、2021年高考预测试题剖析与备考策略

【预测1】如图1所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有方向沿y轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有圆形有界磁场，有界磁场的半径为 L，磁场的方向垂直于坐标平面向里，磁场边界与y轴相切于O点，在x轴上坐标为（-L，0）的P点沿与x轴正方向成θ=45°角斜向上射出一个速度大小为v0的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子经电场偏转垂直y轴射出电场，粒子进入磁场后经磁场偏转以沿y轴负方向的速度射出磁场，不计粒子的重力。求：

（1）粒子从y轴上射出电场的位置坐标;

（2）匀强电场的强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小;

（3）粒子从P点射出到射出磁场运动的时间为多少？

【解析】（1）粒子在电场中的运动为类平抛运动的逆运动，

水平方向L=v0cos θ·t1

竖直方向y= v0sin θ·t1

解得y= L

粒子从y轴上射出电场的位置为（0， L）。

（2）粒子在電场中的加速度a=

竖直分位移y= at12

解得E=

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，以沿y轴负方向的速度射出磁场，运动轨迹如图2所示，

由几何知识得：AC与竖直方向夹角为45°

AD= y= L

因此AC刚好为圆形有界磁场的直径，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r=L

粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得

qvB=m

其中，粒子的速度：v=v0cos θ

解得B= 。

（3）粒子在电场中的运动时间t1= =

粒子离开电场进入磁场前做匀速直线运动，

x= L- L

粒子做直线运动的时间：t2= =

粒子在磁场中做圆周运动的时间：

t3= T= × =

粒子总的运动时间：t=t1+t2+t3= + 。

【备考策略】带电粒子先经过电场偏转后进入磁场偏转，但“电偏转”和“磁偏转”的本质不同：

带电粒子在组合场中运动的常见类型及处理方法：（以下情况均不计重力）

（1）从电场进入磁场

①粒子先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。

②粒子先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。在电场中利用类平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。

（2）从磁场进入电场

①粒子进入电场时的速度与电场方向相同或相反，做匀变速直线运动。

②粒子进入电场时的速度方向与电场方向垂直，做类平抛运动。

（3）从一种磁场进入另一种磁场

因磁感应强度不同，轨道半径或运动轨迹会发生变化，衔接点的速度是联系两运动过程的桥梁。

（4）从一种电场进入另一种电场（两电场的场强不同）

在电场中做匀加速直线运动或类平抛运动，分段分过程处理。

【预测2】如图3所示，静止于A处的离子，经加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CF进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左。静电分析器通道内有均匀辐射分布的电场，已知圆弧虚线的半径为R，其所在处电场强度为E，方向如图3所示。离子质量为m、电荷量为q， =2d， =3d，离子重力不计。

（1）求加速电场的电压U;

（2）若离子恰好能打在Q点上，求矩形区域QFCD内匀强电场的电场强度E0的值;

（3）若撤去矩形区域QFCD内的匀强电场，换为垂直于纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QF上，求磁场的磁感应强度B的取值范围。

【解析】（1）离子在电场中加速，据动能定理有qU= mv2

离子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律可得qE=m

解得U= ER。

（2）离子在水平电场中做类平抛运动，有

=2d=vt， =3d= at2

由牛顿第二定律得qE0=ma

可得匀强电场的电场强度E0=

（3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

qBv=m ，可得B=

离子能打在QF上，则离子运动径迹的边界如图4所示，

由几何关系知 d

【备考策略】本题也属于组合场的问题。按组合场问题处理的方法，粒子的运动可分为三个阶段：

第一阶段：粒子在匀强电场中做初速度为零的匀加速直线运动，加速结束后获得了一定的速度v。

第二阶段：以速度v进入静电分析器通道内均匀辐射分布的电场，此电场的大小不变，方向始终与速度方向垂直，所以此电场只改变粒子速度的方向，即粒子在此电场中做匀速圆周运动。实际命题中，此电场可用匀强磁场代替。

第三阶段：①若QFCD内为匀强电场时，粒子进入后做类平抛运动;

②若QFCD内为匀强磁场时，粒子进入后做匀速圆周运动。

可见，处理组合场问题时，应掌握粒子进入各个场中的运动情况及处理方法，然后分阶段紧凑关联。

【预测3】 如图5所示，竖直平面内，在y轴右侧为匀强电场区域，场强为E1，方向水平向左，在y轴左侧为匀强电场和匀强磁场的叠加区域，匀强电场的场强为E2，方向竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向外且只分布在等边三角形MNP区域内，NP与y轴重合。场强E1=E2=1.0×104 N/C，磁感应强度B= ×104 T。在A点（ m， m）处有一质量为m=1.0×10-3 kg、带电荷量为q=+1.0×10-6 C的小球由静止释放。（g=10 m/s2）

（1）求小球到O点时的速度大小和方向;

（2）若小球经过MNP区域后最终从NP边经过y轴再次进入第一象限，对应有一个最小的等边三角形匀强磁场的区域，求此时顶点M的坐标;

（3）若在线段OA上不同位置由静止释放该小球，请写出小球通过NP边后，速度第一次变为y轴负方向的所有位置点满足的方程。

【解析】（1）由题可知，在y軸右侧mg=qE1=0.01 N，其合力方向由A点指向O点，

由动能定理有mgy1+qE1x1= mv2-0

解得v=2 m/s，方向沿AO指向第三象限。

（2）在y轴左侧，mg=qE2=0.01 N，此二力平衡，洛伦兹力提供向心力

如图6所示，设小球做圆周运动的半径为R，则

qvB=m ，

R= m

故顶点M的横、纵坐标分别为

y2=Rsin 45°= m

x2=-（2R+Rcos 45°）

=- m

则顶点M的坐标为（- m， m）。

（3）设小球从（x，y）点释放，其中y=x，且小球到达O点的速度为v1，在y轴左侧仍然做匀速圆周运动，其半径设为r，则v21=2× g× x

qv1B=m

出磁场时的坐标为（0， r）

出磁场后，在y轴右侧的运动为类平抛运动，如图7所示，设速度第一次变为y轴负方向的时间是t，水平、竖直分加速度的大小均为g，则：

水平方向v1cos 45°=gt

竖直方向Δy=v1sin 45°·t+ gt2

故Δy=3x

故该点的纵坐标y= r-Δy

所以，这些位置点所满足的方程为y= -3x。

【备考策略】带电粒子在叠加场中运动的分析方法：

（1）弄清叠加场的组成，进行受力分析。

（2）确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。

（3）画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。

①当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。

②当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，应用牛顿运动定律结合圆周运动规律求解。

③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。

（4）对于临界问题，注意挖掘临界条件和隐含条件。

【预测4】如图8所示，长度为l、垂直纸面的两平行板CD、MN间存在匀强磁场，磁场随时间变化的规律如图9所示，板间距离为2l，平行板右侧有一水平方向的匀强电场。t=0时，一质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力），以初速度v0由MN板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区，以垂直于DN边的方向进入电场区域，之后又回到磁场中，最后从平行板左端靠近板面的位置离开磁场，速度方向与初速度方向相反。上述m、q、l、v0为已知量。

（1）若粒子在TB时刻进入电场，求B0的最大值;

（2）若粒子在TB时刻进入电场，且B0取最大值，求电场强度E及粒子在电场中向右运动的最大距离;

（3）若B0= ，求TB满足的条件。

【解析】（1）若粒子在TB时刻进入电场，画出粒子在磁场中的运动轨迹如图10所示。

临界情况是经过 速度偏转角为90°，此时粒子运动半径具有最小值R0=

根据qv0B0max=

得B0max= 。

（2）粒子做匀速圆周运动的周期T0= =

可知TB= =

粒子在电场中运动的时间为

t= （n=1、2、3、…）

由运动学规律得t=

由牛顿第二定律得qE=ma

解得E= （n=1、2、3、…）

d= × = （n=1、2、3、…）。

（3）由B0= 可知R=2l

则T= =

设θ为粒子在0～ 内的速度偏转角，由分析可知

2nRsin θ=l（n=1、2、3、…）

= T

联立可得TB= ，且sin θ= （n=1、2、3、…）。

【备考策略】带电粒子在交变场中运动的分析方法：

（1）解决带电粒子在交变电场、磁场中的运动问题时，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质做出判断。

（2）这类问题一般都具有周期性，在分析粒子运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系。

（3）带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同。

【预测5】（多选）医用回旋加速器的核心部分是两个D形金属盒，如图11所示，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。现分别加速氘核（21H）和氦核（42He）并通过线束引出加速器。下列说法中正确的是（   ）

A. 加速两种粒子的高频电源的频率相同

B. 两种粒子获得的最大动能相同

C. 两种粒子在D形盒中运动的周期相同

D. 增大高频电源的电压可增大粒子的最大动能

【解析】回旋加速器加速粒子时，粒子在磁场中运动的周期应和交流电的周期相同。带电粒子在磁场中运动的周期T= ，两粒子的比荷 相等，所以周期相同，故加速两种粒子的高频电源的頻率也相同，A、C正确; 根据qvB=m ，得v= ，最大动能Ek= mv2= ，与加速电压无关，两粒子的比荷 相等，电荷量q不相等，所以最大动能不等，故B、D错误。

【备考策略】复合场在现代科技中的应用问题，中学阶段常见的有以下几类：

试题无论以哪种装置为背景呈现，解题无外乎用组合场、叠加场和交变场的处理方法。因此，涉及复合场在现代科技中的应用问题时，首先认真审题，根据物理情景建构相应的物理模型，然后根据相应的物理规律解题。

责任编辑 李平安