饱和蒸汽大气原始方程组的连续依赖性

李远飞, 肖胜中, 曾 鹏

（1. 广州华商学院 数据科学学院, 广州 511300; 2. 广东农工商职业技术学院, 广州 510507）

0 引 言

原始方程是研究气候和天气预报的经典模型, 它描述了静水压假设下的大气运动[1-4]. 根据经典的大气动力学理论, 对于干绝热运动, 一个完整的方程组由运动矢量方程、状态方程、连续方程和热力学第一定律组成. 由于这个方程过于复杂, 人们开始利用各种手段对模型进行简化. 据我们所知, 对它们的数学研究是由Lions等人发起的. 文献[5]通过引入黏性等一些技术处理, 重新建立了干大气原始方程模型. 文献[6-7]建立了海洋原始方程组, 文献[8]引入了耦合大气-海洋模型的一些数学理论. 近几十年来这一领域的研究发展迅速, 文献[9]陈述了大气、海洋动力学中一些非线性偏微分方程在最近几十年的发展演变. 2015年, Zelati等[10]考虑到由于空气饱和以及凝结而引起的重要相变现象, 对经典大气原始方程组进行了修正. 利用微分不等式和变分不等式, 给出了这个问题在 Ω ×(0,∞) 上的新数学公式

再记

其中a,b是大于零的常数. 此外, 方程组(1)—(6)还具有下列初始条件:

其中v0(x,y,p),T0(x,y,p),q0(x,y,p) 是非负的连续函数并满足兼容性条件.

人们在利用大气、海洋原始方程组进行数值天气预报时, 首先关心的是这些方程组在数学上是否具有内在的逻辑统一性, 即适定性. 利用微分不等式技术, Zelati等证明了问题(1)—(10)拟强解和强解的整体存在性及唯一性[10]. 利用精细的能量估计, Guo等人得到了干大气原始方程组光滑解的整体存在性[11]以及湿大气原始方程组的整体适定性问题[12]. 更多关于原始方程组适定性的结果, 可参见文献[13-19].

与上述文献不同, 本文研究原始方程组自身的稳定性. 因为建立数学模型以及在模型简化的过程中不可避免地会出现一些微小的误差, 这些误差不会随着测量技术的进步而消失, 所以我们就需要知道这些误差会不会引起方程组解的巨大变化, 这种研究称为稳定性研究. 最近对原始方程组的稳定性研究已经开始受到关注, 文献[20]考虑了柱形区域上带振荡随机力的大尺度海洋3维原始方程组的连续依赖性, 证明了解对黏性系数的连续依赖性. 文献[21]利用方程微分不等式技巧和能量估计的方法,证明了大尺度海洋、大气动力学3维黏性原始方程的解连续依赖于边界参数. 本文将继续此领域的研究, 但是问题(1)—(10)中的模型假设空气中存在饱和蒸汽, 这种模型要比文献[20-21]中的模型更加复杂. 我们利用已知数据项来推导解的先验界, 通过解的先验估计和能量估计来证明方程对边界参数的连续依赖性.

1 方程的转化

下面, 我们给出本文常用的两个引理.

引理 1[22]若ω(p)∈C1(0,h),h＞0 , 且ω(h)=ω(0)=0 , 则

2 先验界

基于分部积分以及式(13), 上述等式很容易得到证明. 而对式(29)的最后一项, 利用分部积分、Hölder不等式和算术几何平均不等式, 可得

所以式(29)可以写为

在方程(16)的两边乘以θ, 并在 Ω ×(0,t) 上积分, 再利用Hölder不等式, 可得

其中我们用到了

应用Hölder不等式和Young不等式, 可得

再由Gronwall不等式, 可得

应用Hölder不等式、引理2和引理3, 可得

由引理2 (δ=1 )并利用引理3和式(38), 可得

证毕.

3 对边界参数的连续依赖性

本章来证明本文的主要定理, 这个过程可分如下几步进行.

第一步: 记

把式(40)—式(42)代入式(39), 可得

利用方程(22), 可得

利用散度定理、引理1、引理4和引理5, 可得

再由引理3, 可得

于是式(44)可写为

4 结 论

本文使用能量估计的方法, 得到了原始方程组对黏性系数的连续依赖性. 本文的主要创新点就是用一个新的视角去研究原始方程组以及如何推导解的先验界, 这类研究目前还比较少. 接下来, 还可以继续研究湿大气原始方程组的收敛性, 即当方程组的系数趋近于零时所产生的影响. 据我们所知,目前这类研究在文献中尚未出现, 而且这类研究还可以向带随机力的原始方程组、海洋原始方程组、大气原始方程组以及耦合了海洋和大气的原始方程组甚至干大气原始方程组展开, 这将是我们下一步研究的主要方向.