穿透外在的形式，抵达方程的本质

丁爱平

【关键词】《认识方程》;形式;本质

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）26-0060-04

基于小学生的认知特点，小学数学教材极少给数学概念下定义，而是通常用“像……这样的……是……”这种描述性的语言为数学概念作说明，这样的方式并没有影响学生对数学概念本质的把握。整个小学阶段，唯独一个数学概念一直以来颇有争议，那就是方程。

《认识方程》是苏教版五年级下册第一单元的内容。什么是方程？教材通过两个例题的探究，引导学生认识等式，进而在等式的分类中知道“像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式是方程”。这句话是不是方程的本质呢？当然不是。它只是方程外在的表达形式，形式是不能替代本质的。那么，选用什么样的素材、设计怎样的学习路径才能更好地引导学生关注方程的本质呢？笔者近来两次执教《认识方程》，回顾反思两次教学，很有启发。

【第一次教学】流转于“形式”上的开放

天平是一个好素材，笔者借助一架天平非常顺利地完成了教学。首先，在天平兩边分别放置水果和砝码，随着水果的种类与个数发生变化，学生列出一道道等式和不等式。教师隐去不等式，引导学生将等式分成两类，聚焦其中含有未知数的等式，引出“像……这样的等式是方程”。接着出示10个式子，让学生判断哪些是等式，哪些是方程，还设计了一道开放题——28+=45，让学生辩论它是不是方程。学生争论得很激烈，最终认为被长方形遮住的部分如果含有未知数，它就是方程，还即兴生成了像28+x+y=45这样的二元一次方程。

这次教学，学生始终在方程的形式上打转，即便有二元一次方程的生成，但终究还是形式上的变化，并未凸显方程概念中一个极其重要的因素——等量关系。学生缺少对等量关系的高度关注与真切体验，很难获得对方程本质的理解。

【第二次教学】引发探究“等量关系”的需要

课始，教师了解到学生的平均年龄是11岁，请学生猜教师的年龄，学生说不知道。

师：在数学上，未知数可以用什么表示？

生：x、y等字母。

教师出示两条提示语：（1）我的年龄减去20岁后，还比你们大;（2）我的年龄减去40岁，比你们小。

生：老师，我们无法确定你的年龄，因为你给的提示中只有一个范围。

师：那好，我再给你们第三条提示语，我的年龄减去34等于你们的年龄。

生（激动地脱口而出）：45岁！

师：为什么根据前两条信息你们不能确定我的年龄，第三条信息一出来就确定了？

生：因为只有第三条信息中含有相等的数量关系。

师：你能用含有未知数的式子表示三条信息吗？

生：x-20>11，x-40<11，x-34=11，第三个式子是方程。

教师设计了一个猜年龄的游戏，三条提示语分别指向不同的关系式，学生迫切想知道教师的年龄，当第三条提示语出现时，学生非常兴奋，等量关系的建立是自发的。接着在三个式子的对比中，由学生自主介绍方程。这次教学已经从方程的外在形式走向其内涵，开始关注概念的实质。在20世纪90年代末，陈重穆先生就提出了一个观点：“淡化形式，注重实质。”对方程而言，要淡化的就是“含有未知数的等式”这一形式。张奠宙先生也曾多次撰文强调这一点，指出方程的本质，是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系。

进一步思考，这个猜年龄的游戏是否完全诠释出了方程的本质？老师的年龄减去34等于11，老师多少岁？学生头脑中呈现出的是34+11=45，他们并没有把未知数（老师的年龄）看成已知数参与运算。

由此可见，第一课时的学习是很难让学生深入体会到方程的本质的。教师应该基于整个单元、整册教材、整个学段的逻辑框架和学生的认知发展过程，循序渐进，渐次深入，不断逼近方程的本质。关于方程的教学，我们需要深入思考以下三个问题——

一、方程为什么难以走进学生心灵

“简易方程”单元在小学数学教材体系中具有非常重要的地位，它是学生由算术思维走向代数思维的起始课。方程对于丰富学生解决问题的策略、突破算术思维方法中的某些局限性、推动学生提高问题解决能力、培养抽象思维能力和符号意识、发展数学素养等有着非常重要的意义。不少教师都感觉很难教，很难走进学生的心灵。原因在哪里？

一方面，教师特别希望给学生创设一个情境，让他们感受到在未知数和已知数之间建立等量关系的必要性，感受到“顺着”题目中的数量关系列出方程，可以使问题解决更为简单。

另一方面，教材中呈现的实际问题都可以通过算术思维顺利解决。学生在之前长达四年的学习中早已习惯了算术思维方式，大多数情况下都是“逆着”思考，求出未知数。而今，要把未知数直接放入数量关系式建立等量关系，学生很不适应。

这种教与学的思维频率不协调是完全正常的。这就提醒我们要循序渐进地安排教学内容，促进学生有效地参与探究活动。按照“认识方程（关注方程的结构形式和等量关系）—掌握等式的性质—用等式的性质解方程—列方程解决简单的实际问题（掌握基本思路）—列方程解决稍复杂的实际问题（建构方程思维的模型，感受方程的应用价值）”的学习路径，让学生充分经历观察、分析、抽象、概括和交流的学习过程，从而实现从形式到本质的学习进阶，让方程这一重要的数学思想方法和谐、自然地融入学生的心灵。

二、天平能否完全反映方程的本质

各种不同版本的教材都用到了天平这一素材，天平两端质量相等的特征和方程的结构特点颇为相似。隐去物体和砝码，从天平中抽象出数值，呈现左右两边相等的式子，教师抓住“两边等量”这一属性，为方程的认识埋下了伏笔。确实，在列方程解决实际问题时，如果学生找不到等量关系，是无法列出方程的。

诚然，抓住等量关系是列方程的关键步骤。但是，关键步骤是否就是方程的本质？在运用算术方法求解问题的过程中是否也存在数量关系的梳理与确立？是否也需要建立等量关系？不妨举个例子。比如：妈妈买了一些苹果，吃掉了3个，还剩5个。妈妈买了几个苹果？运用算术方法的思维路径是：原来的个数-吃掉的个数=剩下的个数，现在要求的是原来的个数，吃掉的个数+剩下的个数=原来的个数。可见，依然要在未知量和已知量之间建立等量关系。与方程思路不同的是，要对数量关系进行推理，用已知量之间的运算结果来表示未知量，未知量本身不需要参与运算。运用方程方法求解问题，却只要直接写出数量关系式——原来的个数-吃掉的个数=剩下的个数，而不必对数量关系本身的情境进行推理，实际上，这一推理过程悄悄蕴含在下一步解方程的过程中。由此看来，数量关系并不是构成方程的全部内涵。

從这个角度看，以天平引出方程并不能完整地揭示方程的本质属性，我们还需要进一步思考。

三、怎样基于方程的本质优化“学”的路径

1.再认识：在完整历程中抵达方程的本质。

方程的本质属性包含两点：一是基于问题解决，通过将实际问题数学化引出;二是区别于算术思维，同样是指向问题解决，是承认未知量与已知量具有同等地位，允许未知量参与计算，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系。因此，方程教学的设计应着重凸显这两个本质属性。

学生学习方程的知识，需要一个真实的、完整的、深刻的学习历程。学生要能主动进行观察和比较、抽象和概括，充分经历分析问题、解决问题的过程，掌握列方程解决问题的基本思考方法，有效地解决问题;要能利用画图、列表的方法提炼等量关系，感受问题解决策略的多样性;能够主动反思列方程解决问题的过程，并适当解释结果的合理性。更重要的是，学生要能灵活选用列方程或算式解法，感受数学思想方法的应用价值，提升数学素养。这是一个知识技能与方法素养并重、学科知识与人文情怀共鸣的课堂的生命历程。

2.巧对比：在认识冲突中感受方程的价值。

张奠宙先生指出，方程是用以求解问题的。方程是解决问题的一种模型或方法，它与算术方法互为补充。从这个特征出发，教师需要破解学生的困惑：既然这些问题都能用算术方法，为什么还要引入方程来解决？从认知心理的角度来看，要使学生跳出原有算术方法的思维习惯，产生寻求新方法的需要，必然需要教师构建用算术方法较难解决的问题。

笔者认为，可以在学完例题之后安排一次《方程、算术面对面》的主题教学。笔者一共设计了两道题，第一道题是乘客上下公交车的问题情境：一辆公交车，中途下去了9人，上来6人，车上现在有18人。车上原有多少人？学生发现，用算术方法和列方程的方法都可以，只是算术方法需要倒推，“逆着”思考。列方程的方法是将未知数直接与已知数建立等量关系，“顺着”事情发展的顺序列出方程，思路非常简单。

第二道题是关于行程问题的稍复杂的实际问题：非非和乐乐分别从甲、乙两地同时出发，如果同向而行，经过10分钟非非追上乐乐;如果相向而行，经过2分钟两人相遇。已知非非每分钟走60米，求甲、乙两地相距多少米。请分别用列方程和算术方法解答，并对比两种方法，你有什么想法？学生很容易发现，这道行程问题列方程来解答比算术方法更为简单，而算术方法要进行多次数量关系的推理，比较复杂。至此，学生对方程的认同感更为深切，真切地感受到了方程思想的魅力。

总之，《认识方程》这节课催生了笔者关于数学概念的深层思辨。数学学科知识是有层次结构的，它的外显层是由数字、文字、符号或图形表达的可见的形式;中间层由数学思想方法构成，它们潜藏在数学知识表层背后;隐性层则由情感、态度与价值观构成，是学生在知识探索过程中积淀的各种观念感悟和价值体验。如在《认识方程》一课中，“含有未知数的等式叫方程”是教材中的外显层描述;重要的是认识中间层，也就是方程的本质内涵，即“把未知数看成已知数参与运算，和其他已知数之间建立等量关系”，从而“顺着”思考解决问题;方程内在的隐性层则是人们对平衡、恒常的心理需求并借此满足探求未知的好奇心：面对复杂变化的关系，只要建立平衡机制，找到不变量（守恒量），许多问题都能得以顺利解决。其实，教师遇到的诸多教学疑难都与“形式”和“本质”密切相关。我们致力于“穿透形式，抵达本质”，这是数学教学中一个重要的策略，更是一种“带得走”的人生智慧。

（作者单位：南京市长江路小学）