摘 要:本文研究了中心二次曲线的两条关于定值的性质,它们在解决强基计划笔试试题及编拟习题中均有广泛应用.
关键词:中心二次曲线;性质;定值;编拟习题
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0078-02
收稿日期:2021-09-05
作者简介:甘志国(1971-),男,湖北省竹溪人,研究生,正高级教师,特级教师,从事高中数学教学研究.
基金项目:北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(项目编号FT2017GD003).
定理1 设中心二次曲线Γ:x2λ2+μy2=1(λ>0,μ≠0)的左顶点是A(-λ,0).若动直线y=k(x-h)(k≠0)(其中h是定值且h≠±λ)与曲线Γ交于两点M,N,直线AM,AN与直线x=h分别交于点B,C,则k的取值范围由不等式μ(λ2-h2)k2+1>0(k≠0)确定,PB+PC=2λμμ2(λ2-h2)+1k2,PB·PC=λ2-h2λ2μ(是定值).
证明 联立y=k(x-h),x2λ2+μy2=1,,得(λ2μk2+1)x2-2λ2μk2hx+λ2μk2h2-λ2=0.
解得x=λ2μk2h±λλ2μk2-μk2h2+1λ2μk2+1.
所以xM-xN=2λμ(λ2-h2)k2+1λ2μk2+1(μ(λ2-h2)k2+1>0,k≠0).①
由一元二次方程根与系数的关系,得xM+xN=2λ2μk2hλ2μk2+1,xMxN=λ2μk2h2-λ2λ2μk2+1.
②
可求得直线AM:y=k(xM-h)xM+λ(x+λ),进而可求得它关于直线x=h的交点Bh,k(λ+h)1-λ+hxM+λ.同理,可得点Ch,k(λ+h)1-λ+hxN+λ.
所以PB+PC=k(λ+h)1-λ+hxM+λ-k(λ+h)1-λ+hxN+λ=(λ+h)2kxM-xNxMxN+λ(xM+xN)+λ2.
再由①②,得
PB+PC=2λμμ2(λ2-h2)+1k2.
還可得
PB·PC=k(λ+h)1-λ+hxM+λ·k(λ+h)1-λ+hxN+λ=(λ+h)2k2(xM-h)(xN-h)(xM+λ)(xN+λ)=(λ+h)2k2xMxN-h(xM+xN)+h2xMxN+λ(xM+xN)+λ2.
再由②,可得PB·PC=λ2-h2λ2μ(是定值).
综上所述,可得欲证结论成立.
推论 设中心二次曲线Γ:x2λ2+μy2=1(λ>0,μ≠0)的左顶点是A(-λ,0).若动直线y=k(x-h)(k≠0)(其中h是定值且h≠±λ)与曲线Γ交于两点M,N,直线AM,AN与直线x=h分别交于点B,C,则
(1)当μ(λ2-h2)>0时,则k的取值范围是(-SymboleB@,0)∪(0,+SymboleB@);PB+PC=2λμμ2(λ2-h2)+1k2,PB·PC=λ2-h2λ2μ(是定值);当k取遍非0实数时,PB+PC的取值范围是[2|1-(hλ)2|,+∞);
(2)当μ(h2-λ2)>0时,则k的取值范围是-1μ(h2-λ2),0∪0,1μ(h2-λ2);PB+PC=2λμμ2(λ2-h2)+1k2,PB·PC=h2-λ2λ2μ(是定值);当k取遍-1μ(h2-λ2),1μ(h2-λ2)中的非0实数时,PB+PC的取值范围是(0,+SymboleB@).
题1 (2021年清华大学强基计划笔试数学试题)已知椭圆x24+y2=1及其左顶点A(-2,0).若过点P(1,0)的直线l与该椭圆交于两点M,N,直线AM,AN与直线x=1分别交于点B,C,则().
A.PB+PC是定值
B.PB·PC是定值
C.PB+PC的值可以是2
D.PB·PC的值可以是2
解析 由推论(1),得PB+PC=3+1k2,PB·PC=34,进而可得答案BC.
定理2 设Γ:λx2+μy2=1是焦点在x轴上的椭圆或双曲线,其离心率是e,A,B,C是曲线Γ上的任意三点(两两互异)且点A,B关于Γ的对称中心对称.若两条动直线CA,CB的斜率均存在,则它们的积是定值e2-1.
证法1 (1)当曲线Γ是椭圆时,可设曲线Γ的方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0).再设点A(x0,y0),B(-x0,
-y0),C(x1,y1)(x1≠±x0),得b2x2i+a2y2i=a2b2(i=0,1),所以两条直线CA,CB的斜率之积y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=b2y21-b2y20b2x21-b2x20=b2(y21-y20)-a2(y21-y20)=-b2a2=e2-1.
(2)当曲线Γ是双曲线时,可设曲线Γ的方程是x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).再设点A(x0,y0),B(-x0,-y0),C(x1,y1)(x1≠±x0),得b2x2i-a2y2i=a2b2(i=0,1),所以两条直线CA,CB的斜率之积y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=b2y21-b2y20b2x21-b2x20=b2(y21-y20)a2(y21-y20)=b2a2=e2-1.
综上所述,可得欲证结论成立.
证法2 可得当且仅当0<λ<μ时曲线Γ表示焦点在x轴上的椭圆,当且仅当μ<0<λ时曲线Γ表示焦点在x轴上的双曲线,还可得曲线Γ长半轴或实半轴长a=1λ、短半轴或虚半轴长b=1μ、半焦距c=1λ-1μ(详见拙文[1]的引理1(1)),所以曲线Γ的离心率e=1a·c=λ·1λ-1μ=1-λμ,得e2-1=-λμ.
可设点A(x0,y0),B(-x0,-y0),C(x1,y1)(x1≠±x0),得λx2i+μy2i=1(i=0,1),所以两条直线CA,CB的斜率之积y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=λy21-λy20λx21-λx20=λ(y21-y20)-μ(y21-y20)=-λμ=e2-1.
题2 (2021年清华大学强基计划数学试题第6题)已知双曲线x24-y2=1的左、右顶点分别是A,B,I是该双曲线上不是顶点的任意一点.若∠IAB=α,∠IBA=β,△IAB的面积是S,则().
A.tanαtanβ是定值B.tanα2tanβ2是定值
C.Stan(α+β)是定值
D.Scot(α+β)是定值
解析 不妨设点I(x,y)(x>0,y>0),所以由定理可得直线IA,IB的斜率之积是tanαtan(-β)=522-1=14,因而tanαtanβ=-14.
当点I→B时,可得IB→0,α→0,再由双曲线的定义可得ΔIAB趋向于顶角的大小为0的等腰三角形,因而β→π2,β2→π4,得tanα2tanβ2→0,进而可得tanα2tanβ2不是定值.
还可得两点A(-2,0),B(2,0),所以
tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=54yx+2-yx-2=16y5(4-x2)=-45y.
再由S=12ABy=2y,可得Stan(α+β)=-85(是定值),Scot(α+β)=-52y2(不是定值).
因而答案是AC.
参考文献:
[1]甘志国.圆锥曲线焦点弦的一类性质[J].数学教学研究,2021,40(03):58-62.
[责任编辑:李 璟]