中心二次曲线的两条关于定值的性质及其应用

摘 要：本文研究了中心二次曲线的两条关于定值的性质，它们在解决强基计划笔试试题及编拟习题中均有广泛应用.

关键词：中心二次曲线;性质;定值;编拟习题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0078-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：甘志国（1971-），男，湖北省竹溪人，研究生，正高级教师，特级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（项目编号FT2017GD003）.

定理1 设中心二次曲线Γ：x2λ2+μy2=1（λ>0，μ≠0）的左顶点是A（-λ，0）.若动直线y=k（x-h）（k≠0）（其中h是定值且h≠±λ）与曲线Γ交于两点M，N，直线AM，AN与直线x=h分别交于点B，C，则k的取值范围由不等式μ（λ2-h2）k2+1>0（k≠0）确定，PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）.

证明 联立y=k（x-h），x2λ2+μy2=1，，得（λ2μk2+1）x2-2λ2μk2hx+λ2μk2h2-λ2=0.

解得x=λ2μk2h±λλ2μk2-μk2h2+1λ2μk2+1.

所以xM-xN=2λμ（λ2-h2）k2+1λ2μk2+1（μ（λ2-h2）k2+1>0，k≠0）.①

由一元二次方程根与系数的关系，得xM+xN=2λ2μk2hλ2μk2+1，xMxN=λ2μk2h2-λ2λ2μk2+1.

②

可求得直线AM：y=k（xM-h）xM+λ（x+λ），进而可求得它关于直线x=h的交点Bh，k（λ+h）1-λ+hxM+λ.同理，可得点Ch，k（λ+h）1-λ+hxN+λ.

所以PB+PC=k（λ+h）1-λ+hxM+λ-k（λ+h）1-λ+hxN+λ=（λ+h）2kxM-xNxMxN+λ（xM+xN）+λ2.

再由①②，得

PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2.

還可得

PB·PC=k（λ+h）1-λ+hxM+λ·k（λ+h）1-λ+hxN+λ=（λ+h）2k2（xM-h）（xN-h）（xM+λ）（xN+λ）=（λ+h）2k2xMxN-h（xM+xN）+h2xMxN+λ（xM+xN）+λ2.

再由②，可得PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）.

综上所述，可得欲证结论成立.

推论 设中心二次曲线Γ：x2λ2+μy2=1（λ>0，μ≠0）的左顶点是A（-λ，0）.若动直线y=k（x-h）（k≠0）（其中h是定值且h≠±λ）与曲线Γ交于两点M，N，直线AM，AN与直线x=h分别交于点B，C，则

（1）当μ（λ2-h2）>0时，则k的取值范围是（-SymboleB@，0）∪（0，+SymboleB@）;PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）;当k取遍非0实数时，PB+PC的取值范围是[2|1-（hλ）2|，+∞）;

（2）当μ（h2-λ2）>0时，则k的取值范围是-1μ（h2-λ2），0∪0，1μ（h2-λ2）;PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=h2-λ2λ2μ（是定值）;当k取遍-1μ（h2-λ2），1μ（h2-λ2）中的非0实数时，PB+PC的取值范围是（0，+SymboleB@）.

题1 （2021年清华大学强基计划笔试数学试题）已知椭圆x24+y2=1及其左顶点A（-2，0）.若过点P（1，0）的直线l与该椭圆交于两点M，N，直线AM，AN与直线x=1分别交于点B，C，则（）.

A.PB+PC是定值

B.PB·PC是定值

C.PB+PC的值可以是2

D.PB·PC的值可以是2

解析 由推论（1），得PB+PC=3+1k2，PB·PC=34，进而可得答案BC.

定理2 设Γ：λx2+μy2=1是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，其离心率是e，A，B，C是曲线Γ上的任意三点（两两互异）且点A，B关于Γ的对称中心对称.若两条动直线CA，CB的斜率均存在，则它们的积是定值e2-1.

证法1 （1）当曲线Γ是椭圆时，可设曲线Γ的方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0）.再设点A（x0，y0），B（-x0，

-y0），C（x1，y1）（x1≠±x0），得b2x2i+a2y2i=a2b2（i=0，1），所以两条直线CA，CB的斜率之积y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=b2y21-b2y20b2x21-b2x20=b2（y21-y20）-a2（y21-y20）=-b2a2=e2-1.

（2）当曲线Γ是双曲线时，可设曲线Γ的方程是x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.再设点A（x0，y0），B（-x0，-y0），C（x1，y1）（x1≠±x0），得b2x2i-a2y2i=a2b2（i=0，1），所以两条直线CA，CB的斜率之积y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=b2y21-b2y20b2x21-b2x20=b2（y21-y20）a2（y21-y20）=b2a2=e2-1.

综上所述，可得欲证结论成立.

证法2 可得当且仅当0<λ<μ时曲线Γ表示焦点在x轴上的椭圆，当且仅当μ<0<λ时曲线Γ表示焦点在x轴上的双曲线，还可得曲线Γ长半轴或实半轴长a=1λ、短半轴或虚半轴长b=1μ、半焦距c=1λ-1μ（详见拙文[1]的引理1（1）），所以曲线Γ的离心率e=1a·c=λ·1λ-1μ=1-λμ，得e2-1=-λμ.

可设点A（x0，y0），B（-x0，-y0），C（x1，y1）（x1≠±x0），得λx2i+μy2i=1（i=0，1），所以两条直线CA，CB的斜率之积y1-y0x1-x0·y1+y0x1+x0=y21-y20x21-x20=λy21-λy20λx21-λx20=λ（y21-y20）-μ（y21-y20）=-λμ=e2-1.

题2 （2021年清华大学强基计划数学试题第6题）已知双曲线x24-y2=1的左、右顶点分别是A，B，I是该双曲线上不是顶点的任意一点.若∠IAB=α，∠IBA=β，△IAB的面积是S，则（）.

A.tanαtanβ是定值B.tanα2tanβ2是定值

C.Stan（α+β）是定值

D.Scot（α+β）是定值

解析 不妨设点I（x，y）（x>0，y>0），所以由定理可得直线IA，IB的斜率之积是tanαtan（-β）=522-1=14，因而tanαtanβ=-14.

当点I→B时，可得IB→0，α→0，再由双曲线的定义可得ΔIAB趋向于顶角的大小为0的等腰三角形，因而β→π2，β2→π4，得tanα2tanβ2→0，进而可得tanα2tanβ2不是定值.

还可得两点A（-2，0），B（2，0），所以

tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=54yx+2-yx-2=16y5（4-x2）=-45y.

再由S=12ABy=2y，可得Stan（α+β）=-85（是定值），Scot（α+β）=-52y2（不是定值）.

因而答案是AC.

参考文献：

[1]甘志国.圆锥曲线焦点弦的一类性质[J].数学教学研究，2021，40（03）：58-62.

[责任编辑：李 璟]