基本不等式在解题中的应用

摘 要：本文以应用的视角，探讨基本不等式在求最值、证明不等式、解决恒成立问题、实际问题以及与其他知识点交汇的问题中的应用.

关键词：基本不等式;条件;高考;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0064-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中學高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

基本不等式结构简单，形式优美，它是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考点.应用时要依次满足条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.基本不等式是解决最值问题的有力工具，在解题中有着广泛的应用.

一、求最值

应用基本不等式求最值，关键在于构造两个正数之和（积）为定值，常用的方法有拆分法、配凑法、消元法和常数代换法等.基本不等式常用的变式有：（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R）;（2）2（a2+b2）≥（a+b）2（a，b∈R）;

（3）（a+b2）2≥ab（a，b∈R）;（4）2（a+b）≥（a+b）2（a，b∈R+）等，灵活应用这些变式，有事半功倍之效.

例1 （2020·江苏）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是.

分析 思路一：由条件等式消去x2，可得x2+y2=15y2+45y2，符合两个正数15y2、45y2之积为定值，应用基本不等式可解.

思路二：由条件等式可得4=（5x2+y2）·4y2，它表明两个正数5x2+y2、4y2之积为定值，根据基本不等式的变式ab≤（a+b2）2（a，b∈R），可知5x2+y2与4y2之和有最小值.解法一（消元法） 由5x2y2+y4=1，得x2=1-y45y2.∵x2≥0，∴y2∈（0，1].

∴x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+45y2≥215y2·4y25=45.

当且仅当15y2=45y2，即y2=12时，上式取“=”.

这时x2=1-y45y2=310，x2+y2的最小值为45.

解法二 （配凑法）∵4=（5x2+y2）·4y2≤（5x2+y2+4y22）2=254（x2+y2）2，∴x2+y2≥45.

当且仅当5x2+y2=4y2=2，即y2=12，x2=310时，上式取“=”.

∴x2+y2的最小值为45.故答案为45.

点评 本题考查应用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力.解法一思路朴实，过程直接.解题关键是消元.把目标代数式表示成关于y的函数，直接应用基本不等式求解;解法二构思巧妙，方法灵活，解题关键是由条件等式构造出两个正数5x2+y2与4y2之积为定值，进而可用基本不等式的变式求解，属于中档题.

二、证明不等式

应用基本不等式证明不等式，常常与分析法、综合法、作差（商）法等结合使用，解题关键依然是构造两个正数之和（积）为定值，使之符合基本不等式的三个条件.

例2 （2020·全国卷Ⅲ（理））设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1.

（1）证明：ab+bc+ca<0;

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34.

分析 （1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0结合不等式的性质，即可得出证明;（2）不妨设max{a，b，c}=a，由题意得出a>0，b，c<0，由a3=a2·a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc，结合基本不等式，即可得出证明.

解答 （1）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，

∴ab+bc+ca=-12a2+b2+c2.

∵abc=1，∴a，b，c均不为0，则a2+b2+c2>0，

∴ab+bc+ca=-12a2+b2+c2<0.

（2）不妨设max{a，b，c}=a，由a+b+c=0，abc=1可知，a>0，b<0，c<0.

∵a=-b-c，a=1bc，∴a3=a2·a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.

当且仅当b=c时，上式取“=”，∴a≥34，即max{a，b，c}≥34.

点评 本题主要考查不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

三、恒成立问题

对于含参数的不等式恒成立问题，常常将它转化为函数的最值问题求解.常用的结论有：（1）任意x∈D，f（x）>m恒成立f（x）min>m;（2）对任意x∈D，f（x）

例3 （2017·天津（理））已知函数f（x）=x2-x+3，x≤1，x+2x，x>1.设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|x2+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）.

A.[-4716，2]B.[-4716，3916]C.[-23，2]D.[-23，3916]

分析 关于x的不等式f（x）≥x2+a在R上恒成立等价于-f（x）-x2≤a≤f（x）-x2在R上恒成立，于是问题转化为函数的最值问题.

解答 关于x的不等式f（x）≥x2+a在R上恒成立等价于-f（x）≤a+x2≤f（x），即-f（x）-x2≤a≤f（x）-x2在R上恒成立.

设g（x）=-f（x）-x2，h（x）=f（x）-x2，则g（x）max≤a≤h（x）min.

当x≤1时，g（x）=-x2+x2-3=-（x-14）2-4716，当x=14时，g（x）max=-4716;

h（x）=x2-32x+3=（x-34）2+3916，当x=34时，h（x）min=3916.所以-4716≤a≤3916.

当x>1时，g（x）=-32x-2x=-（32x+2x）≤-23，当且仅当32x=2x，即x=233时，“=”成立，故

g（x）max=-23;

h（x）=x2+2x≥2x2×2x=2，当且仅当x2=2x，即x=2时，“=”成立，故h（x）min=2.

所以-23≤a≤2.

综上，-4716≤a≤2.故选A.

点评 本题考查绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的解法，考查二次函数最值的求法，考查利用基本不等式求函数的最值.解题关键是如何把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，属中档题.

四、实际问题

应用基本不等式解决实际问题时，一般把要求最值的变量定义为因变量，根据实际问题抽象出函数的解析式后，利用基本不等式求出函数的最值，注意检验解是否在定义域内.

例4 （2017·江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.

分析 写出一年的总运费与总存储费用之和y=600x×6+4x（0

解答 依題意，一年的总运费与总存储费用之和y=600x×6+4x（0

∵y=600x×6+4x≥2600x×6×4x=240（万元），

∴当且仅当600x×6=4x，即x=30时，上式取“=”.故答案为30.

点评 本题考查基本不等式的实际应用，考查推理与运算能力，属中档题.

五、与其它知识点交汇的问题

与其它知识点交汇的问题是高考的热点，解决这类问题一般从这些知识点出发，建立变量之间的等量关系，再选用适当的方法求解.

例5 （2018·江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为.

分析 根据面积关系建立a，c的方程，再用基本不等式求解.

解答 由题意可知，S△ABC=S△ABD+S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°.

化简，得ac=a+c，1a+1c=1.

因此4a+c=（4a+c）（1a+1c）=5+ca+4ac≥5+2ca·4ac=9.

当且仅当ca=4ac，即c=2a=3时，上式取“=”.所以4a+c的最小值为9.

点评 本题考查三角形的面积公式，考查基本不等式的应用，利用常数代换法是解决本题的关键，属中档题.

例6 （2020·全国卷Ⅱ（理））设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）.

A.4B.8C.16D.32

分析 根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据△ODE的面积为8，可得ab的值，再结合基本不等式，即可求得答案.

解答 由题意可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，分别将x=a代入上式得y=±b，即D（a，b），E（a，-b）.∴△ODE的面积为S△ODE=12a·2b=ab=8.

∴C的焦距2c=2a2+b2≥22ab=8.

当且仅当a=b=22时，上式取“=”.∴C的焦距的最小值为8.故选B.

点评 本题主要考查双曲线的性质和渐近线方程，考查基本不等式的应用，解题关键是应用a2+b2≥2ab建立双曲线的焦距与△ODE的面积之间的关系，属于中档题.

从上述例子可以看出，应用基本不等式解题要注意以下两点：一是注意基本不等式成立的条件;二是合理构造基本不等式中的和或积.

练习

1.（2020·海南）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）.

A.a2+b2≥12 B.2a-b>12

C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2

2.（2020·天津）已知a>0，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为.

3.（2013·上海）设常数a>0，若9x+a2x≥a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为.

4.（2014·湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=76000vv2+18v+20l.

（1）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为辆/小时;

（2）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时.

5.（2020·全国卷Ⅱ（理））△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A;（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.

答案：1.ABD 2.4 3.[15，+SymboleB@） 4.1900，100

5.（1）2π3;（2）3+23.

参考文献：

[1]邓清.基本不等式解高中数学问题探析[J].数学学习与研究，2019（19）：139.

[2]叶珊.基本不等式的应用问题例谈[J].数理化解题研究，2019（34）：31-32.

[责任编辑：李 璟]