端点效应解题举隅

摘 要：解决导数含参数恒成立问题的常用方法是字母讨论、分离参数等，如果能够变换思考角度，创新思维方向往往能找到新的有效方法，端点效应是解决导数含参数恒成立问题的有效方法，在实际问题的解决中把端点效应分为：连续型端点效应、离散型端点效应、二次型端点效应，并在数学活动中培养学生的创新思维与核心素养.

关键词：端点效应;参数;恒成立问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0032-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：蒋满林（1975-），男，福建省古田人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：本文为福建省中小学名师名校长培养工程专项课题《高中数学变式教学微设计研究》（课题批准号：DTRSX2017009）的后续成果.[FQ）]

导数含参数恒成立问题的常用方法是字母讨论、分离参数等，但对于分类讨论往往比较繁杂而半途而废，分离参数对于分离函数的导数很难把握.利用端点函数值的特殊性，先得到必要条件，再证充分性，因其思路简洁方法实效，我们把它称为端点效应，下面以例示之，与大家交流.

一、端点效应

1.连续型端点效应

例1 （2017全国Ⅱ文21）设函数f（x）=（1-x2）ex.

（1）略;

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围.

解析 （2）令gx=1-x2ex-ax-1x≥0，

g′x=1-x2-xex-a，由于g0=0，

所以必有g′0=1-a≤0，可得a≥1 （必要条件），下面去证明 a≥1满足题意（充分性证明）.

当a≥1时，g′x=1-x2-xex-a≤1-x2-xex-1，记hx=1-x2-xex-1x≥0，h′x=-x2-4x-1ex<0，所以g′x≤0，gx在0，+SymboleB@上单调递减，gx≤g0=0.

综上所述， a的取值范围为1，+SymboleB@.

评注 所求参数为连续实数的端点效应我们称之为连续型端点效应，连续型端点效应的解题步骤.

（1）取端點或特殊点的函数值;

（2）求出满足参数的必要条件;

（3）证明参数范围满足充分条件.

2016年全国Ⅱ文20题等，也可以用此法解答.

2.离散型端点效应

例2 已知函数fx=1+ln（x+1）x，当x>0时，fx>kx+1恒成立，求正整数k的最大值.

解析 由fx>kx+1得x+1[lnx+1-kx+1]>0，记 gx=x+1lnx+1-kx+1x>0，

gx>0在0，+SymboleB@上恒成立，又g1=21+ln2-k>0，得k<21+ln2∈3，4，所以取k=3（必要性） .

下面去证k=3 满足题意（充分性证明）.

当k=3时，gx=x+1

[lnx+1-3x+1]x>0，g′x=lnx+1-1x>0，令g′x=0，得x=e-1，gx在0，e-1 上单调递减，在e-1，+SymboleB@ 上单调递增，gx≥ge-1=2e-3e-1=3-e>0 .

综上所述，k=3满足题意.

评注 所求参数为整数的端点效应我们称之为离散型端点效应，离散型端点效应的解题步骤

.

（1）取端点或端点附近的特殊点如f1，f2，fe等;

（2）求出满足参数最值整数的必要条件;

（3）证明参数的最值整数满足充分条件.

其中离散型端点效应，端点选点不唯一，只要便于计算又能确定参数整数的必要条件均可.

3.二阶型端点效应

例3 已知a∈R，函数fx=ex-ex-axlnx-x+1 的导函数为gx.

（1）略;

（2）略;

（3）若x≥1时，fx≥0恒成立，求a的最大值.

解析gx=f ′x=ex-e-alnx，f1=0，g1=0，g′x=ex-ax，g′1=e-a≥0，a≤e，a 最大值取a=e（必要条件），下面去证a=e满足题意（充分条件证明）.

fx=ex-ex-axlnx-x+1≥ex-ex-exlnx-x+1，gx=f ′x=ex-e-elnx，g′x=ex-ex≥0x≥1，所以gx在1，+SymboleB@上单调递增，gx≥g1=0，fx在1，+SymboleB@上单调递增，fx≥f1=0.

所以，a=e满足题意.

评注 原函数与一阶导函数均应用端点效应，我们称之为二阶型端点效应，二阶型端点效应的解题步骤.

（1）原函数端点函数值为0;

（2）一阶导函数端点函数值为0;

（3）取二阶导函数端点或特殊点的函数值，求出满足参数的必要条件;

（4）证明参数范围满足充分条件.

二、变式训练

例1 （2020年3月厦门市质检理21题）已知函数fx=aex+2e-x+a-2x （a∈R，e是自然对数的底数）.

（1）略;

（2）当x≥0时，求fx≥a+2cosx，求a的取值范围.

解析 （连续型端点效应）记gx=fx-a+2cosx=aex+2e-x+a-2x-a+2cosxx≥0，

g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinxx≥0，由g0=a+2-a+2=0， g′0=a-2+a-2≥0，得a≥2 （必要性），下证，a≥2成立（充分性）.

当a≥2时，x∈0，π 时，

g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinx≥2ex-e-x+a-2+a+2sinx≥0，gx≥g0=0，成立;

当a≥2时，x∈π，+SymboleB@ 时，

g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinx≥2eπ-e-π+a-2-a+2=2eπ-2e-π-4>0.

综上所述，a≥2成立.

注：导函数中含有三角函数sinx，对x∈0，π与x∈π，+SymboleB@进行分段讨论，这种对三角函数取值进行讨论是近年考试的热点，要引起大家的关注.

例2 已知函数f（x）=lnx-mx2，g（x）=12mx2+x（m∈R），F（x）=f（x）+g（x）.

（1）略;

（2）若关于x 的不等式Fx≤mx-1 恒成立，求整数m的最小值.

解析 （离散型端点效应）由Fx≤mx-1化为lnx-12mx2+1-mx+1≤0，记

hx=lnx-12mx2+1-mx+1≤0，由于h1=-12m+1-m+1=-32m+2≤0 ，即有m≥43 （注此處为命题成立的必要条件），又m为整数，当m=2时，hx=lnx-x2-x+1，下面去证hx满足要求（即证充分性）.

因为h′x=1x-2x-1=-2x2-x+1x=x+1-2x+1x，故hx在0，12 内单调递增，在12，+SymboleB@内单调递减，hx≤h12=-ln2-14-12+1=-ln2+14=ln4e2<0.

故m=2时，不等式成立.即整数m的最小值为2.

注：离散型端点效应，端点选点不唯一，如选he≤0也可以.

例3 若关于x的不等式ax2ex+xex+1≥ex 在区间0，+SymboleB@上恒成立，求实数a的取值范围.

解析 （二阶型端点效应）记gx=ax2+x-1+e-xx≥0，g′x=2ax+1-e-xx≥0，g″x=2a+ex，由g0=0，g′0=0，g″0=2a+1≥0，得a∈-12，+SymboleB@（必要性）.

下面去证a≥-12成立（充分性证明）.

当a≥-12时，由g″x=2a+ex≥ex-1≥e0-1=0x≥0，有g′x=2ax+1-e-x≥g′0=0x≥0，

gx=ax2+x-1+e-x≥g0=0x≥0，成立，又ax2+x-1+e-x≥0ax2ex+xex+1≥exx≥0，所以实数a的取值范围-12，+SymboleB@.

注 对所证不等式ax2ex+xex+1≥ex进行适度变形，转化为等价的不等式，便于求导与计算，也是对导数证明试题的一种常用技能，平时应加强导数不等式等价变形的训练.

参考文献：

[1]蒋满林.关于简易逻辑中几个典型易错问题的解答[J].理科考试研究，2018，25（11）：34-36.

[责任编辑：李 璟]