摘 要:解决导数含参数恒成立问题的常用方法是字母讨论、分离参数等,如果能够变换思考角度,创新思维方向往往能找到新的有效方法,端点效应是解决导数含参数恒成立问题的有效方法,在实际问题的解决中把端点效应分为:连续型端点效应、离散型端点效应、二次型端点效应,并在数学活动中培养学生的创新思维与核心素养.
关键词:端点效应;参数;恒成立问题
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0032-02
收稿日期:2021-09-05
作者简介:蒋满林(1975-),男,福建省古田人,中学高级教师,从事高中数学教学研究.
基金项目:本文为福建省中小学名师名校长培养工程专项课题《高中数学变式教学微设计研究》(课题批准号:DTRSX2017009)的后续成果.[FQ)]
导数含参数恒成立问题的常用方法是字母讨论、分离参数等,但对于分类讨论往往比较繁杂而半途而废,分离参数对于分离函数的导数很难把握.利用端点函数值的特殊性,先得到必要条件,再证充分性,因其思路简洁方法实效,我们把它称为端点效应,下面以例示之,与大家交流.
一、端点效应
1.连续型端点效应
例1 (2017全国Ⅱ文21)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)略;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
解析 (2)令gx=1-x2ex-ax-1x≥0,
g′x=1-x2-xex-a,由于g0=0,
所以必有g′0=1-a≤0,可得a≥1 (必要条件),下面去证明 a≥1满足题意(充分性证明).
当a≥1时,g′x=1-x2-xex-a≤1-x2-xex-1,记hx=1-x2-xex-1x≥0,h′x=-x2-4x-1ex<0,所以g′x≤0,gx在0,+SymboleB@上单调递减,gx≤g0=0.
综上所述, a的取值范围为1,+SymboleB@.
评注 所求参数为连续实数的端点效应我们称之为连续型端点效应,连续型端点效应的解题步骤.
(1)取端點或特殊点的函数值;
(2)求出满足参数的必要条件;
(3)证明参数范围满足充分条件.
2016年全国Ⅱ文20题等,也可以用此法解答.
2.离散型端点效应
例2 已知函数fx=1+ln(x+1)x,当x>0时,fx>kx+1恒成立,求正整数k的最大值.
解析 由fx>kx+1得x+1[lnx+1-kx+1]>0,记 gx=x+1lnx+1-kx+1x>0,
gx>0在0,+SymboleB@上恒成立,又g1=21+ln2-k>0,得k<21+ln2∈3,4,所以取k=3(必要性) .
下面去证k=3 满足题意(充分性证明).
当k=3时,gx=x+1
[lnx+1-3x+1]x>0,g′x=lnx+1-1x>0,令g′x=0,得x=e-1,gx在0,e-1 上单调递减,在e-1,+SymboleB@ 上单调递增,gx≥ge-1=2e-3e-1=3-e>0 .
综上所述,k=3满足题意.
评注 所求参数为整数的端点效应我们称之为离散型端点效应,离散型端点效应的解题步骤
.
(1)取端点或端点附近的特殊点如f1,f2,fe等;
(2)求出满足参数最值整数的必要条件;
(3)证明参数的最值整数满足充分条件.
其中离散型端点效应,端点选点不唯一,只要便于计算又能确定参数整数的必要条件均可.
3.二阶型端点效应
例3 已知a∈R,函数fx=ex-ex-axlnx-x+1 的导函数为gx.
(1)略;
(2)略;
(3)若x≥1时,fx≥0恒成立,求a的最大值.
解析gx=f ′x=ex-e-alnx,f1=0,g1=0,g′x=ex-ax,g′1=e-a≥0,a≤e,a 最大值取a=e(必要条件),下面去证a=e满足题意(充分条件证明).
fx=ex-ex-axlnx-x+1≥ex-ex-exlnx-x+1,gx=f ′x=ex-e-elnx,g′x=ex-ex≥0x≥1,所以gx在1,+SymboleB@上单调递增,gx≥g1=0,fx在1,+SymboleB@上单调递增,fx≥f1=0.
所以,a=e满足题意.
评注 原函数与一阶导函数均应用端点效应,我们称之为二阶型端点效应,二阶型端点效应的解题步骤.
(1)原函数端点函数值为0;
(2)一阶导函数端点函数值为0;
(3)取二阶导函数端点或特殊点的函数值,求出满足参数的必要条件;
(4)证明参数范围满足充分条件.
二、变式训练
例1 (2020年3月厦门市质检理21题)已知函数fx=aex+2e-x+a-2x (a∈R,e是自然对数的底数).
(1)略;
(2)当x≥0时,求fx≥a+2cosx,求a的取值范围.
解析 (连续型端点效应)记gx=fx-a+2cosx=aex+2e-x+a-2x-a+2cosxx≥0,
g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinxx≥0,由g0=a+2-a+2=0, g′0=a-2+a-2≥0,得a≥2 (必要性),下证,a≥2成立(充分性).
当a≥2时,x∈0,π 时,
g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinx≥2ex-e-x+a-2+a+2sinx≥0,gx≥g0=0,成立;
当a≥2时,x∈π,+SymboleB@ 时,
g′x=aex-2e-x+a-2+a+2sinx≥2eπ-e-π+a-2-a+2=2eπ-2e-π-4>0.
综上所述,a≥2成立.
注:导函数中含有三角函数sinx,对x∈0,π与x∈π,+SymboleB@进行分段讨论,这种对三角函数取值进行讨论是近年考试的热点,要引起大家的关注.
例2 已知函数f(x)=lnx-mx2,g(x)=12mx2+x(m∈R),F(x)=f(x)+g(x).
(1)略;
(2)若关于x 的不等式Fx≤mx-1 恒成立,求整数m的最小值.
解析 (离散型端点效应)由Fx≤mx-1化为lnx-12mx2+1-mx+1≤0,记
hx=lnx-12mx2+1-mx+1≤0,由于h1=-12m+1-m+1=-32m+2≤0 ,即有m≥43 (注此處为命题成立的必要条件),又m为整数,当m=2时,hx=lnx-x2-x+1,下面去证hx满足要求(即证充分性).
因为h′x=1x-2x-1=-2x2-x+1x=x+1-2x+1x,故hx在0,12 内单调递增,在12,+SymboleB@内单调递减,hx≤h12=-ln2-14-12+1=-ln2+14=ln4e2<0.
故m=2时,不等式成立.即整数m的最小值为2.
注:离散型端点效应,端点选点不唯一,如选he≤0也可以.
例3 若关于x的不等式ax2ex+xex+1≥ex 在区间0,+SymboleB@上恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (二阶型端点效应)记gx=ax2+x-1+e-xx≥0,g′x=2ax+1-e-xx≥0,g″x=2a+ex,由g0=0,g′0=0,g″0=2a+1≥0,得a∈-12,+SymboleB@(必要性).
下面去证a≥-12成立(充分性证明).
当a≥-12时,由g″x=2a+ex≥ex-1≥e0-1=0x≥0,有g′x=2ax+1-e-x≥g′0=0x≥0,
gx=ax2+x-1+e-x≥g0=0x≥0,成立,又ax2+x-1+e-x≥0ax2ex+xex+1≥exx≥0,所以实数a的取值范围-12,+SymboleB@.
注 对所证不等式ax2ex+xex+1≥ex进行适度变形,转化为等价的不等式,便于求导与计算,也是对导数证明试题的一种常用技能,平时应加强导数不等式等价变形的训练.
参考文献:
[1]蒋满林.关于简易逻辑中几个典型易错问题的解答[J].理科考试研究,2018,25(11):34-36.
[责任编辑:李 璟]