饱和多孔黏弹地基热−水−力耦合动力响应分析1)

郭 颖 李文杰 马建军 梁 斌,3) 熊春宝

∗(河南科技大学土木工程学院,河南洛阳 471023)

†(天津大学建筑工程学院,天津 300072)

引言

1956 年,Biot[1]首次提出了耦合的热弹性理论,该理论依旧认为热在介质中的传输速度是无限大的,这与事实不符.为了消除这一悖论学者们纷纷提出了可解释热的波动效应的热传导理论以及相应的数学模型.目前,学者们广泛应用的理论主要有:Lord-Shulman(L-S)[2]广义热弹性理论、Green-Lindsay(GL)[3]广义热弹性理论以及Green-Naghdi(G-N)[4-6]广义热弹性理论.上述几种广义热弹性理论均能很好地可描述热的“次声效应”.除上述常用的广义热弹性理论外,还有多种不同的热弹性理论,适用于不同的环境、初始条件、边界条件等[7-9].Hetnarski 和Ignaczak[10]基于多种广义热弹性理论研究和探讨了热弹性问题解的唯一性.

王颖泽等[11]借助于Laplace 积分变换及柱函数的渐近性质,推导了循环热冲击作用时温度场、位移场和应力场的渐近表达式.许新和李世荣[12]基于Euler-Bernoulli 梁理论和单向耦合的热传导理论,定量分析了材料梯度指数、频率阶数、几何尺寸以及边界条件对热弹性阻尼的影响,随后,李世荣团队[13]又对Mindlin 矩形微板的热弹性阻尼问题进行了研究.李妍等[14]基于L-S 型广义热弹扩散理论,建立了考虑材料记忆依赖效应和空间非局部效应非局部广义热弹扩散耦合理论.胡克强等[15]利用Hankel 积分变换法得到了表面受到轴对称热载荷作用的半无限大介质力−电−磁−热耦合问题.王现辉等[16]采用一种改进的勒让德正交多项式和分数阶积分相结合的方法,详细分析了热弹性波在板中传播的问题.上述研究没有考虑孔隙水的作用,国内学者白冰[17]基于饱和多孔介质理论推导了热−水−力全耦合方程,对不同耦合项的物理意义进行了解释.随后,学者们研究了外载荷作用下空腔球壳、地基和隧道等不同介质的热−水−力耦合问题[18-20].熊春宝等[21]研究地基上表面受温度载荷和机械载荷时,孔隙率各向异性参数变化对热−水−力耦合下饱和多孔弹性地基的影响.

上述研究考虑了介质的热−力耦合和热−水−力耦合问题,但均是在弹性介质中进行研究的,不能反映土体的流变特性.黏弹性是材料的一种本构属性,一般情况下,往往认为其不仅具有弹性固体的性质,还具有某些黏性流体的性质[22].黏弹性介质的固有属性使其不仅会像固体一样对突发外载荷有明显的瞬态响应,还也会像黏性流体那样受到动载荷作用后出现滞后现象,这种现象所引起的滞后时间是介于弹性固体和黏性流体之间的.基于上述几种广义热弹性理论,结合常用的黏弹性模型,学者们研究了一些关于黏弹性材料的热弹动力响应问题.采用Laplace-Fourier 双重变换的方法,Ezzat 等[23]推导了材料的二维热黏弹基本方程,在已有方程的基础上Ezzat 和El-Bary[24]又结合Kirchhoff 理论研究了热导率变换对无限长黏弹性中空圆柱的影响.随后,Ezzat 和El-Karamany[25]采用Laplace 正、反变换的方法推导出了考虑两个热松弛时间的广义热黏弹理论,并证明了方程的唯一性.何天虎和井绪明[26-27]基于L-S 理论和G-L 理论研究了两端固定有限长杆和半无限长杆的热黏弹问题.李吉伟和何天虎[28]结合热松弛和应变松弛现象,分析了黏弹性介质的压电热弹问题.Kar和Kanoria[29]在广义热黏弹理论下,研究了边界受到温度载荷作用的均质各向同性黏弹性球壳动力响应问题,对比和分析了两种不同理论中考虑黏弹性与不考虑黏弹性时各物理量之间的差异.Andreea[30]选择了适当的时间加权值解决了与空间线弹性材料理论相关的时空问题,最终建立了圣维南类型的空间估计方程.基于双温度理论,Othman 和Abouelregal[31]采用Laplace 正、反变换法描述了边界受到非高斯激光脉冲作用的均质各向同性黏弹半无限大体的动力响应问题.Sherief 和Allam[32]研究了外表面受到轴对称温度载荷作用时黏弹性实心球体的热黏弹问题.Zenkour 和Abouelregal[33]采用正则模态法研究了考虑四种不同黏弹松弛系数,受温度载荷作用时的三维黏弹性板的热黏弹问题.康建宏和谭文长[34]的通过线性稳定性理论,分析计算了多孔介质几何形状、热边界条件等因素对黏弹性流体热对流失稳的临界Rayleigh 数的影响.Iesan[35]基于Kelvin-Voigt 黏弹性模型结合广义Darcy 定律推导了可描述二元混合黏弹性介质的理论方程,并证明了其唯一性.Fern´andez和Masid[36]从数值分析角度出发,研究了一个多孔混合黏弹性材料的热黏弹问题,最终得到了该问题的一维和二维通解.Elhagary[37]采用边界积分法和Laplace 积分变换法研究了瞬态广义热黏弹问题,并证明了其互易性.上述研究虽然分析了黏弹性介质的一系列性质,但是同样没有考虑孔隙水的作用,徐长节和马晓华[38]利用Laplace 正、反变换的方法研究了考虑土骨架的黏性及流体与固体之间的耦合作用的黏弹性准饱和土中空腔球壳的动力响应问题.祝彦知等[39]借助Fourier 展开、Laplace 和Hankel 积分变换方法推导出了考虑土骨架黏弹性的横观各向同性饱和土体的动力解析解,结果表明在进行横观各向同性饱和土体动力分析时,考虑土骨架的黏弹性十分有必要.

通过上述已有研究发现,目前考虑孔隙水的研究主要在弹性介质中进行,而考虑黏弹性介质的动态响应时一般都是忽略孔隙水的影响,这样的研究仅适合在弹性介质中,而对于具有流变性的天然地基来说并不适用,为了能够更好研究外载荷作用下孔隙水对饱和多孔黏弹性半无限大地基的影响,本文在Lord-Shulman 广义热弹性理论的基础上引入考虑了黏弹性松弛时间因子的Kelvin-Voigt 黏弹性地基模型,从而建立了可以描述黏弹性地基渗流场、温度场和应力场多物理场耦合的数学模型,采用更适合描述波的传播特性的正则模态法分析了热源和力源作用于半无限大地基上表面时无量纲超孔隙水压力、竖向位移、竖向应力以及温度的变化规律,着重分析了渗透系数和孔隙率变化对饱和多孔黏弹性地基中各物理的影响,地基模型详见图1.

图1 饱和多孔黏弹性地基热−水−力耦合问题模型示意图Fig.1 Schematic diagram of the coupled thermo-hydro-mechanical problem of saturated porous viscoelastic foundation

1 基本方程

本文引入Kelvin-Voigt 黏弹性模型同时考虑了温度和渗流作用从而建立了饱和多孔黏弹性地基热−水−力耦合动力模型,分析了饱和多孔黏弹性地基的热−水−力耦合问题.该模型中所有物理量均可以表达为坐标x和z以及时间t的函数形式.x轴方向为波的传播方向,z轴为地基深度方向,假设外载荷在z→∞完全消失(详见图1).其基本控制方程如下:

2 正则模态分析

正则模态法不仅可直接对多场耦合方程进行快速解耦,使得公式推导过程更简便;还可以消除积分变换时数值反变换中离散误差和截断误差的存在而不能全面反映热的“次声效应”的局限[44].为了确定Ri(i=1,2,3)和F的表达式,必须引入边界条件,根据上述对问题的描述,可以得到以下的边界条件.

式中,q为力源的大小,ψ(x,t)为x轴上力源的分布函数.结合方程(24),ψ(x,t)可以改写成:

式中,Q为热源的大小.

根据上述边界条件,可以得到Ri(i=1,2,3)和F的表达式,Ri(i=1,2,3)的表达式比较繁杂,需要借助Maple 软件计算得到,在此处不在列出,F的表达式如下

3 算例及结果讨论

本文以饱和多孔半无限大黏弹性地基为例,分别在地基的上表面施加了力源和热源等外载荷作用.结合边界条件最终得到了渗透系数和孔隙率变化等对该地基中无量纲竖向应力、超孔隙水压力、竖向位移以及温度的影响.本算例中所需参数同参考文献[45-47].

表1 考虑三场耦合效应的饱和多孔黏弹性地基计算参数Table 1 Calculation parameters of saturated porous viscoelastic foundation considering the coupled three-fields effect

由于载荷频率满足ω=ω0+iς,式中i 为虚数单位,则eωt=eω0t(cos ςt+i sin ςt),当作用时间t很小时,即可取ω=ω0.其他参数a=1.2,ψ∗=1.

3.1 力源作用时地基响应特性分析

地基上表面考虑力源作用时,取载荷频率非常小(ω=0.002),波数a=1 时,THMVD 模型和THMD模型(饱和多孔弹性地基的热−水−力耦合动力模型)均可以认为是准静态地基模型.设地基上表面受到了与力源波长幅值大小相同的静力载荷作用,将静力载荷沿x轴方向等分成若干小份,每份视为均布载荷,根据Boussinesq 解推出的均布载荷作用时土中的应力计算公式求出每一份均布载荷作用下土的应力,并将所有应力结果叠加,用以验证本文中解析方法的适用性.三条曲线都吻合的很好,从而验证了正则模态法计算结果的可靠性.

从图3 ∼图6 可以看出,当载荷频率相同时,文中饱和多孔黏弹性地基中超孔隙水压力、竖向应力、竖向位移和温度曲线与文献[48]的相应结果分布趋势一致,从而证明了方法的合理性和结果的可靠性.

图7 ∼图10 描述了饱和多孔黏弹地基上表面受到不同频率的力源作用时,孔隙率和渗透系数变化对地基中各量纲量的影响.

图2 不同方法计算水平方向上竖向应力分布情况的对比验证Fig.2 Comparison and verification of vertical stress distribution in horizontal direction calculated by different methods

图3 力源作用下THMVD 模型中超孔隙水压力与文献[48]对比Fig.3 Comparison of the excess pore water pressure in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

图4 力源作用下THMVD 模型中竖向应力与文献[48]对比Fig.4 Comparison of the vertical stress in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

图5 力源作用下THMVD 模型中竖向位移力与文献[48]对比Fig.5 Comparison of the vertical displacement in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

图6 力源作用下THMVD 模型中温度力与文献[48]对比Fig.6 Comparison of the temperature in THMVD model under mechanical force with the work in Ref.[48]

图7 中无量纲超孔隙水压力从零开始随地基深度增大而逐渐增大,达到峰值后再逐渐减小,这是因为假设上边界处可透水.在ω=5 时,靠近地基上表面的一定区域内,三条曲线基本重合,主要是由于孔隙水可以快速排出而造成的.载荷频率增大使超孔隙水压力快速变大,且峰值向着地基更深处移动.此外,随着载荷频率增大,两不同渗透系数和不同孔隙率引起的超孔隙水压力曲线间差异明显增大.

图7 力源作用下渗透系数和孔隙率变化对超孔隙水压力的影响Fig.7 Variations of the excess pore water pressure with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

孔隙率和渗透系数变化对无量纲竖向应力和竖向位移(图8 和图9) 并没有明显的影响,而载荷频率对这两个物理量有较为明显的影响,载荷频率大的曲线衰减的速度更快.在本研究中,正负值与大小无关,正值表示处于受拉状态,负值表示处于受压状态.图8 中无量纲竖向应力处于压缩状态,渗透系数和孔隙率变化对竖向应力的影响主要体现在深度达到z=0.5 后到应力扰动完全消失之前的区域,在这个区域中,渗透系数和孔隙率较小的曲线衰减的速度更快,随着载荷频率增大,这个差异更明显一些.

图8 力源作用下渗透系数和孔隙率变化对竖向应力的影响Fig.8 Variations of the vertical stress with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

图9 力源作用下渗透系数和孔隙率变化对竖向位移的影响Fig.9 Variations of the vertical displacement with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

图10 中无量纲温度曲线趋势与超孔隙水压力类似,曲线随载荷频率增大而逐渐变大,但随孔隙率和渗透系数增大逐渐减小.无论是载荷频率变化还是孔隙率亦或是渗透系数变化,温度曲线的峰值都基本在地基同一深度出现.载荷频率大的曲线衰减的速度更快.随着载荷频率增大,两不同孔隙率的温度曲线间的差异逐渐增大,但随着载荷频率的增大,两不同渗透系数的温度曲线之间的差异基本一致.此外,当载荷频率一定,在接近地基上表面处,三条曲线基本重合,这主要是因为研究时假设地基上表面可透水,在地基深度较浅时,地基中的孔隙水更容易排出,所以差异不太明显,随着深度增大,孔隙水不再容易排出,曲线间差异就愈发明显.虽然仅有单位力源作用所引起的无量纲温度的数值不大,但是仍然能看出孔隙水的存在对温度的影响很明显.

图10 力源作用下渗透系数和孔隙率变化对温度的影响Fig.10 Variations of the temperature with different porosity and permeability coefficient under mechanical force

3.2 热源作用时地基响应特性分析

图11 ∼图14 分析了上表面受到热源作用时,不同载荷频率(ω=1.6 和ω=5) 和不同孔隙率(n0=0.3 和n0=0.4)以及不同渗透系数(kd=10−7和kd=10−8)对无量纲超孔隙水压力、竖向应力、竖向位移和温度的影响.

图11 热源作用下渗透系数和孔隙率变化对超孔隙水压力的影响Fig.11 Variations of the excess pore water pressure with different porosity and permeability coefficient under thermal load

图11 和图12 中,无量纲超孔隙水压力、竖向应力曲线均是从零开始,先逐渐增大,达到峰值后再逐渐减小.无论是随载荷频率增大还是随孔隙率亦或者渗透系数增大,无量纲超孔隙水压力和竖向应力均随之增大.随着载荷频率增大,不同渗透系数和孔隙率所引起的无量纲超孔隙水压力曲线间的差异也越发明显.在载荷频率一定时,随着渗透系数和孔隙率的增大,曲线峰值均向着地基上表面方向移动.

图12 热源作用下渗透系数和孔隙率变化对竖向应力的影响Fig.12 Variations of the vertical stress with different porosity and permeability coefficient under thermal load

图13 中,无量纲位移一开始处于压缩状态,随着地基深度逐渐增大,慢慢进入膨胀状态.渗透系数和孔隙率变化对无量纲竖向位移的影响不太明显,主要在曲线进入膨胀区域的附近以及曲线峰值处影响较为明显.在载荷频率一定时,渗透系数小的曲线在地基上表面处和曲线峰值处均略大一些,随着孔隙率增大,无量纲位移逐渐增大.

图13 热源作用下渗透系数和孔隙率变化对竖向位移的影响Fig.13 Variations of the vertical displacement with different porosity and permeability coefficient under thermal load

图14 中无论是孔隙率变化还是渗透系数变化均对无量纲温度没有明显影响,随着载荷频率增大,温度曲线在地基上表面处明显增大,随地基深度增大,其衰减速度明显增大.

图14 热源作用下渗透系数和孔隙率变化对温度的影响Fig.14 Variations of the temperature with different porosity and permeability coefficient under thermal load

4 结论

本文旨在基于研究饱和多孔黏弹性地基中渗透系数和孔隙率变化对地基中各无量纲量的影响.建立了黏弹性地基的热−水−力耦合动力模型.详细的分析和探讨了饱和多孔黏弹性地基上表面受到外载荷作用时无量纲超孔隙水压力、竖向位移、竖向应力以及温度等物理量的分布情况和变化规律.主要结论如下:

(1)正则模态法作为一种加权残差法,能够快速对多场耦合方程进行解耦,最终得到了所考虑的各物理量的变化规律,该方法的引入为多孔黏弹性地基的热−水−力耦合问题的求解提供了有效的计算方法.

(2)地基上表面受到力源作用时,孔隙率变化仅对无量纲超孔隙水压力和温度有明显的影响;地基上表面受到热源作用时,孔隙率变化对无量纲超孔隙水压力和竖向应力的影响更为明显一些.总体而言,无论何种载荷作用,孔隙率变化对无量纲超孔隙水压力影响比较明显,而对无量纲竖向位移却没有明显的影响.

(3)地基上表面受到力源作用时,渗透系数变化同样仅对无量纲超孔隙水压力和温度有明显影响,尤其是在峰值处.当地基上表面受到热源作用时,渗透系数变化对除无量纲温度外的各物理量均有一定的影响,但对无量纲竖向应力和超孔隙水压力的影响更为明显.