促进概念理解的数学表征

黄芬 周云霞

摘要：为了让学生获得真正的数学理解，教师应帮助他们通过多种表征，促进概念理解。可引导学生通过动作表征、实物表征、图式表征、算式表征等，多角度深入理解数学概念。

关键词：小学数学;数学表征;概念理解;可视化

数学概念是数学知识的“细胞”，也是学生学习的基础。学生对概念的理解和掌握，直接关系到学生数学素养的发展。教师可引导学生通过动作表征、实物表征、图式表征、算式表征等，多角度深入理解数学概念。

一、动作表征

动作表征是指使用动作反应来表示知识。小学生处于从具体形象思维向抽象思維过渡的阶段，动作表征能让他们观察和感知到隐藏在动作中的数学概念，并直观表示该概念。

例如，教学苏教版小学数学二年级上册《认识厘米》时，教师设计动手活动，让学生在动作中感知，在经历中体验，进而建立1厘米的概念意象。首先，观察1厘米的小棒，初步感知1厘米的长度。然后，开展“花儿开”游戏——边说“花儿开，花儿开，花儿开开，1厘米”，边比画1厘米的长度，在反复比画中，让花儿开出的长度接近1厘米。

二、实物表征

受年龄、知识、生活经验等的限制，学生在理解事物时通常会先感知事物的具体形象。实物表征是指用具象化的实物或实物图形来表示抽象的文字，帮助学生更好地理解概念。

例如，教学苏教版小学数学三年级上册《倍的认识》时，在初步认识“倍”的阶段，借助红花和绿花、桃子和苹果、红糖和绿糖以及不同颜色的正方形等实物图形，让学生通过圈一圈的方式理解“倍”，从而更清晰地理解倍的内涵。

三、图式表征

图式表征是指借助可视的、易理解的图式来表征抽象深奥的数学知识。在课堂教学过程中，教师可以借助图式表征，丰富学生的感知，发挥学生的主观能动性，促进概念理解。

例如，《小数的意义》的教学，教师通过问题“0.4元表示什么意思？你能不能运用以前学过的知识和获得的经验把这个小数表示出来”，引导学生尝试用画图的方式表达自己对于小数意义的理解。学生呈现了如图1—图3所示的多元化表达。利用图式表征，学生沟通了小数和十进制分数之间的关系，进一步深化了对概念的理解。

四、算式表征

算式表征是指借助不同的正例与反例的算式，抽象出概念本质的一种表征方式。抽象是人们在分析、比较和综合客观事物的属性和特征的基础上，抛弃非本质属性并提取其本质属性的思维过程。借助算式表征，可以帮助学生进行概念抽象，加深对概念的理解。

以《倍数和因数》一课为例，教学片段如下——

师把12个人分成若干小组，每组人数相同，可以怎么分？

（教师拿出12支粉笔请学生演示，一位学生演示，一位学生记录。学生得到算式2×6=12、3×4=12、12÷2=6、12÷3=4。）

师把这四道算式分分类，可以怎么分？

生乘法算式一类，除法算式一类。

师在算式2×6=12中，2和6是12的因数，12是2和6的倍数。谁来说一说算式3×4=12中的因数和倍数？

生3和4是12的因数，12是3和4的倍数。

师12÷2=6、12÷3=4 这两个除法算式中，有因数和倍数吗？

生除法算式中也有因数和倍数。

师因数和倍数在加法算式和减法算式中存在吗？你能举例说明吗？

生不存在。如算式7+5=12，7和5不是12的因数，12也不是7和5的倍数。同理，算式12-5=7，7和5不是12的因数，12也不是7和5的倍数。因此，因数和倍数只在乘法算式和除法算式里有。

师因数和倍数在所有的乘法算式和除法算式中都有吗？

生不是的。有余数的除法算式，如12÷5=2……2，就不能说5和2是12的因数，12也不是5和2的倍数。倍数和因数所指的都是大于0的整数。

师那到底什么是因数？什么是倍数？

（学生总结。）

学生是一个个独立的个体，不同的学生个体对概念的定义有个性化的理解或表达，他们对于概念的表示也有不同的选择。为了让学生获得真正的数学理解，教师应帮助他们借助多种表征，深化概念理解。

参考文献：

[1] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[2] 袁慧娟.借助多元表征理解概念本质——基于表征理论的“倍的认识”教学研究[J].小学教学研究，2019（25）.