彩票悖论与序言悖论的同构性与统一解

李章吕，詹 莹

(西南大学 逻辑与智能研究中心， 重庆 400715)

彩票悖论和序言悖论是关于合理接受的两个重要悖论。许多学者认为这两个悖论存在本质差异。例如，弗雷(Foley)认为：“尽管彩票悖论和序言悖论表面上相似，但它们……是非常不同的。”[1]70陈波则将它们归属于不同的悖论类型[2]。基于此，很少有学者研究它们的统一解。不过，也有学者认识到这两个悖论之间存在相似性。比如，霍桑(Hawthorne)认为：“显然，序言悖论和彩票悖论是类似的……它们分别阐明了定性信念和定量信念之间的关系。”[3]顿新国则更进一步认为这两个悖论具有同构性[4]。但是，霍桑并没有详细阐述这两个悖论到底在何种程度上相似，顿新国也没有对“同构性”给出明确定义，仅论证了两个悖论外在形式上的直观相似。实际上，彩票悖论与序言悖论除了外在形式上相似，在悖论结构上也相同，并且可以归属为同一悖论类型。借用顿新国的概念，我们将彩票悖论和序言悖论之间的这种相似性称为“同构性”，并把具有同构性的一组悖论称为同构悖论。

一、彩票悖论与序言悖论对归纳接受规则的质疑

如何接受归纳结论，被称为归纳接受问题。有三条被广泛认同的归纳接受规则。

概率接受规则：如果一个命题为真的概率足够高，那么我们就可以接受它。

演绎闭合规则：应当接受所有已被接受的命题的逻辑后承。

一致性规则：知识集内部不应存在不一致的命题。

1961年，凯伯格(Kyburg)在《概率与合理信念逻辑》[5]一书中提出了彩票悖论(lottery paradox)，表明归纳接受规则在应用时会导致矛盾。该悖论的基本内容如下：

假设我们参加一次公平的抽奖活动，这次活动共有1 000 000张奖券，其中有且仅有一张会中奖，那么我们抽的第一张彩票会不会中奖呢？考虑到它的中奖率只有百万分之一，基于概率接受规则，我们接受它的否定命题，即“第一张彩票不会中奖”。以此类推，之后抽的每一张彩票，我们都会接受“这张彩票不会中奖”这一命题。基于演绎闭合规则，我们应该接受这些命题的合取，即“所有的彩票都不会中奖”。这就与我们接受的前提“有一张彩票会中奖”矛盾，故违背一致性规则。

1965年，麦金森(Makison)在《关于序言的悖论》[6]一文中提出了序言悖论(preface paradox)。该悖论也表明归纳接受规则存在问题。该悖论的基本内容如下：

假设我是一个负责任的作者，即将出版一本新作，对于书中的每个观点，我都相信它是正确的。但根据过往的经验，自己难免会犯一些错误，于是我又在序言中写道：“我相信书中不可避免地存在一些错误。”这就导致一个问题：由于书中的每个观点我都相信它是正确的，根据演绎闭合规则，就有“我相信这本书中所有的观点都是正确的”。这与“我相信书中有些观点是错误的”相矛盾，违反了一致性规则。

20世纪60年代，出现了归纳悖论的量化解悖方案，即通过概率来刻画主体的确证度或信念度，并规定主体在何种情况下可以基于证据相信某个归纳结论。彩票悖论与序言悖论就是在这一背景下诞生的。彩票悖论的解悖方案主要有三类：(1)修改演绎闭合规则，其代表成果是凯伯格放弃合取的解悖方案[7]55-62；(2)修改概率接受规则，代表成果是都汶的“概率自毁集”(probabilistically self-undermining set)解悖方案[8]；(3)放弃概率接受规则，代表成果是莱维的认知效用理论[9]。序言悖论的解悖路径主要有两条：“一些哲学家用它来证明一个主体的正当信念集不必是演绎一致的，而另一些哲学家则用它来论证你不该与概率论者为伍。”[10]不过，学界对这两个悖论各自的解悖方案至今仍莫衷一是，更遑论给出它们的统一解了。

二、彩票悖论与序言悖论具有相同的悖论结构

根据张建军的界定，严格的逻辑悖论应当包含三个要素：公认正确的背景知识，严密无误的逻辑推导，可以建立矛盾等价式[11]7。这三个要素共同构成了一个逻辑悖论的“骨架”(我们将之称为悖论结构)。

(一)彩票悖论与序言悖论要求相同的背景知识

张建军指出：“公认正确的背景知识是一个涉及认知主体并且具有一定模糊性的语用学概念。”[11]9彩票悖论与序言悖论都要求认知主体具备以下背景知识：

一是主体要信奉归纳法，也即主体会接受归纳结论，并将其纳入信念集。如果主体不接受任何归纳结论，那么彩票悖论和序言悖论都将不再是悖论。

二是主体要信奉演绎闭合规则。如果没有演绎闭合规则，当知识集中出现φ和﹁φ这样的命题时，就无法得到矛盾式φ∧﹁φ，也就无法认识到矛盾的存在。

三是主体不会严格区分信念与知识(1)这里所谈论的“知识”指确信度为1的命题，“信念”指确信度小于1的命题。。归纳结论在得到验证之前只能算作“信念”而非“知识”，但彩票悖论和序言悖论都要求主体把归纳结论应用于推理。

(二)彩票悖论与序言悖论拥有相同的逻辑推导

考虑这样一个一阶逻辑模型：论域是{a1,a2,…,an}，其中，ai(1≤i≤n)是不含量词的命题，我们在这里将它视作个体词；谓词Pa表示“接受a”。我们有如下推导过程：

(1) 对于任意i，ai具有很高的主观概率。

[前提]

(2) 主体S接受ai这一命题，即Pai

[(1)概率接受规则]

(3) 主体S接受所有ai的合取，即Pa1∧Pa2∧…∧Pan

[(2)合取引入规则]

(4) 因此，∀xPx

[(3)全称量词引入规则]

(5) 又已知必定存在一个j，﹁aj有很高的主观概率。

[前提]

(6) 主体S接受﹁aj这一命题，即P﹁aj或﹁Paj

[(5)概率接受规则]

(7) 因此，∃y﹁Py

[(6)存在量词引入规则]

(8) 因此，∀xPx∧∃y﹁Py

[(4)(7)合取引入规则]

(9) 矛盾。

[(8)一致性规则]

其中，“合取引入规则”“全称量词引入规则”和“存在量词引入规则”都是自然演绎系统中的推导规则，它们都属于演绎闭合规则。

如果将论域中的ai替换为“第i张彩票不会中奖”，上述推导过程就是彩票悖论的推导过程；而如果将它们替换为“书中第i个观点是正确的”，上述推导过程就是序言悖论的推导过程。因而，彩票悖论与序言悖论的逻辑推导过程是相同的。虽然彩票悖论推导过程的第(5)步要求完全确信而非高概率，但由于完全确信只是高概率的一种特殊情况，所以这一差异并不会影响结论。

(三)彩票悖论与序言悖论可以建立相同的矛盾等价式

悖论的矛盾等价式一般表示为φ↔﹁φ这样的形式，但它在不同的逻辑系统或不同的刻画方式下往往会呈现出不同的形式。对于一组悖论而言，只有当它们的矛盾等价式在不同的逻辑系统或不同的刻画方式下都能保持一致，才能说它们可以建立相同的矛盾等价式。例如，意外考试悖论和理发师悖论就不能建立相同的矛盾等价式。在命题逻辑中，意外考试悖论和理发师悖论的矛盾等价式都可以表示为φ↔﹁φ。然而，在认知逻辑中，意外考试悖论的矛盾等价式可以表示为B(ψ1∧ψ2∧…∧ψ5)↔B﹁ (ψ1∧ψ2∧…∧ψ5)，但理发师悖论却无法建立该矛盾等价式。相比之下，彩票悖论与序言悖论却没有这一“缺陷”。下面以命题逻辑、一阶逻辑和模态逻辑这三种常见的逻辑系统为例来表明这一点。

在命题逻辑中，除了φ↔﹁φ之外，彩票悖论和序言悖论的矛盾等价式都可以表示为(ψ1∧ψ2∧…∧ψn)↔﹁ (ψ1∧ψ2∧…∧ψn)。其中，ψi分别表示“第i张彩票不会中奖”和“书中第i个观点是正确的”。

在一阶逻辑中，彩票悖论和序言悖论的矛盾等价式都可以表示为∀xPx↔∃y﹁Py或∀xPx↔﹁ ∀xPx。其中，谓词P分别表示“这一彩票不中奖”与“书中这一观点是正确的”这两种性质。

三、彩票悖论与序言悖论可以归为同一悖论类型

陈波认为，彩票悖论属于归纳悖论(与乌鸦悖论、绿蓝悖论并列)，而序言悖论属于认知悖论(与美诺悖论、意外考试悖论并列)[2]。这种分类直接点出了悖论的主要解悖方向，对人们理解悖论有着很大帮助。但是，这种分类忽略了序言悖论的归纳要素。

首先，根据前面的分析可知，序言悖论也可以视为由归纳接受规则所导致的悖论，它也涉及“信念的合理接受”问题。正如陈波所指出的：“序言悖论的关键在于(Bp∧Bq)→B(p∧q)这个信念原则是否成立，以及信念Bp或Bq是否得到证成。”[2]因而，虽然序言悖论主要反映的是信念集内部的一致性问题，但和彩票悖论一样，都反映了主体在归纳接受过程中对信念的“选择”问题，也即如何在众多归纳结论中选择接受哪个不接受哪个的问题。

其次，彩票悖论与序言悖论都反映了完全信念(信或者不信)与部分信念(主观置信度)在主体认知中的矛盾。在这两个悖论中，认知主体都对命题的主观置信度进行了赋值，以部分信念来接受归纳结论，但在推导过程中，主体却忽略这些命题在信念程度上的差异，都将其视为了完全信念。

根据张建军的定义，归纳悖论是“根据通用的归纳逻辑原则导出反直觉结论的疑难”，而且，“归纳悖论的症结集中于‘信念的合理接受’”[12]，因此序言悖论和彩票悖论一样，亦可归属于归纳悖论。

四、寻找彩票悖论与序言悖论统一解的两个误区

彩票悖论和序言悖论具有相同的悖论结构，且可归属于同一悖论类型，因而根据同构性的定义，它们是同构的悖论。基于同构性可以发现，彩票悖论和序言悖论的现有解悖方案存在两个误区，它们在一定程度上会阻碍我们寻求统一解。

误区一：情境依赖。当用知道算子而非信念算子刻画彩票悖论时，由于主体不可能“知道”某一张彩票是否会中奖，那么就不可能得到“第i张彩票不会中奖”这样的知识，于是他的知识集当中就不会有“所有的彩票都不会中奖”这样的知识，悖论得以消解。由于这类解悖方案只能在特定情境下起作用，我们将之称为“情境依赖”型方案。序言悖论的解悖方案同样面临这一问题，比如，一些学者用“知道”或“意向”(intention)来刻画序言悖论从而使其不成立。实际上，情境依赖型方案只是回避了矛盾，并没有解决我们关于归纳接受过程或者主体信念的困惑，因为可以轻易构建一个同构的新悖论来表明该类方案的解悖功能有限。以“理发师悖论”为例，它的一个情境依赖型解悖方案即声称理发师的规定在现实中不合理，从而在现实层面消解该悖论。但是，下述同构的新悖论却表明，即便没有“理发师”这一要素，悖论依然成立。

有些形容词可以用来形容自身，有些却不能。前者称为“自谓的”，后者称为“非自谓的”。例如，“三个字的形容词”这一词就是非自谓的，而“七个字的形容词”这一词就是自谓的。那么，“非自谓的形容词”这一词是否是自谓的？(3)这一悖论是“格雷林悖论”的变体。格雷林悖论是格雷林(Grelling)1908年提出的一个关于自指的形容词悖论，也被称为“异己词悖论”。

类似地，我们也可以对彩票悖论与序言悖论进行同构变形，使其不涉及“知道”或“意向”等要素，那么前文所述的那些依赖“知道”“意向”等特定情境的解悖方案就无法应用于这些同构悖论。由此可知，为了追求彩票悖论与序言悖论的统一解，我们需要摆脱情境依赖这一解悖误区。

误区二：概率倾向。惠勒(Wheeler)在回顾彩票悖论的研究时指出：“尽管人们普遍认为，彩票悖论源于合理接受所导致的困惑……造成这一困惑的部分原因在于，当代大多数研究都脱离了凯伯格关于合理接受理论的最初动机。”[13]惠勒所说的最初动机就是对合取闭合规则的反思。如果从概率角度来研究彩票悖论，将会偏离这一研究动机，不利于找到彩票悖论与序言悖论的统一解。在彩票悖论中，每张彩票的中奖概率都是百万分之一，这是没有开奖时主体的主观置信度。但是，假设主体已经知道前999 999张彩票没有中奖，那么最后一张彩票应该指派怎样的中奖概率呢？如果主体认为中奖概率是1，那么悖论不会成立；如果主体认为中奖概率是百万分之一，那么说明主体的主观概率没有更新，进而表明主体并没有将之前接受的信念用于后续推理。因此，从概率角度看，彩票悖论反映的是人们在赋予非独立事件以主观概率时存在的问题。然而，这样的问题在序言悖论中并不存在，因为序言悖论的各个命题在概率上是独立的。可见，寻找彩票悖论与序言悖论的统一解时，也需要防止概率倾向这一解悖误区。

五、基于同构性的彩票悖论与序言悖论统一解

上述两个误区表明，要想找到彩票悖论和序言悖论的统一解，必须关注它们的同构性，即从它们共同的解悖要素出发来寻找解悖方案。其中，“信念不一致”就是它们所共有的解悖要素之一。

切沃拉尼与舒尔兹在《概率、逼真度与似真度：序言悖论的更多出路》[14]一文中，提出过一种基于“信念不一致”的序言悖论解悖方案。令W是这本书(指导致序言悖论的那本书)所涉及领域的所有正确观点所构成的集合，即W={a1，a2，a3，…，an}；W′是作者在这本书中所做的m(m≤n)个观点所构成集合，即W′={b1，b2，b3，…，bm}，其中正确的观点有t个，错误的观点有f个。显然，W′中有t个元素与W中的元素相同。令h是作者在这本书中所有观点的合取，即h=b1∧b2∧…∧bm。P(bi)表示bi为真的概率。

h的似真度(truthlikeness)为这本书中的正确观点数t与本书所涉及领域的所有正确观点数n的比值，并减去错误观点带来的惩罚，记为：

其中，φ是谨慎系数，它反映了主体对犯错的谨慎程度。

h相对于证据e的预期似真度(expected truthlikeness)是对其所有子命题为真时的似真度与子命题为真概率的乘积之和，记为：

ETrφ(h,e)=∑iP(bi)×Trφ(bi)

预期似真度是判定主体信念合理性的标准，命题的预期似真度越大，说明主体信念的合理性越高。

通过对序言悖论中的信念进行量化，并计算出主体不同信念的预期似真度，切沃拉尼与舒尔兹得出如下结论：在序言悖论中，主体同时相信“书中所有观点是正确的”和“书中至少有一个观点是错误的”这两个命题看似矛盾，但是这两个命题作为整体的预期似真度是最高的，即同时相信它们是最合理的。相比之下，无论是选择相信“书中第i个观点是错的”，或者放弃相信“书中至少有一个观点是错的”，都不能实现信念集的最大理性[14]。

与序言悖论不同，彩票悖论中主体面对的是信念与知识之间的冲突，因此很少有学者会从“信念不一致”角度来思考彩票悖论。然而，通过对彩票悖论进行同构变形，可以构建出与序言悖论类似的“彩票悖论2.0”：

假设你参加一次抽奖活动，主办方宣称，这次抽奖活动共有1 000 000张彩票，其中有且仅有一张彩票会中奖。实际上这次活动总共发行了1 000 001张彩票，但是主办方弄丢了其中一张。由于他们隐瞒了这一消息，故你并不知道这一点。

在这个悖论中，作为不知情主体(参与者)，你有“这100万张彩票都不会中奖”这一信念，以及“这100万张彩票中必定有一张会中奖”这一知识。考虑到知识的确信度为1，在面对信念与知识之间的冲突时，你应该放弃自己的信念。但是，在知情主体(主办方)看来，“这100万张彩票中必定有一张会中奖”这一命题只是一个置信度很高的信念，它有可能被证否，因此你不应轻易地放弃“这100万张彩票都不会中奖”这一信念。

根据上述分析可知，彩票悖论中信念与知识的冲突本质上是信念之间的冲突，因此可以从“信念不一致”角度进行解悖，而且上述基于似真度的序言悖论解悖方案亦可用于彩票悖论。比如，在谨慎系数φ=1的情况下，令h1=只有彩票i中奖，h2=只有彩票i和彩票j中奖，h3=所有彩票都不中奖。通过计算可知，h1、h2和h3的预期似真度分别为999 996、999 994和999 998(4)为方便讨论，这些结果仅精确到了个位。具体计算过程略。。因此，主体相信“所有彩票都不中奖”(h3)比相信“只有彩票i中奖”(h1)或“只有彩票i和彩票j中奖”(h2)更具合理性。实际上，主体相信中奖彩票的数量越多，主体信念的预期似真度越低。

综上所述，如果认可切沃拉尼与舒尔兹的相关预设，那么预期似真度解悖方案就是彩票悖论和序言悖论的一个统一解。但这种解悖方案也存在一些哲学上的缺陷，比如，如何知道一个领域内的所有正确观点、如何比较错误命题之间的似真度等。即便如此，预期似真度解悖方案同样为寻找彩票悖论和序言悖论的统一解提供了很好的思路，即从主体的认知需求出发制定新的归纳接受标准，并对归纳结论进行量化比较，从而帮助主体在不一致的信念之间做出取舍，或判定这种不一致是否合理。

六、结语

通过比较悖论结构和悖论类型，我们论证了彩票悖论与序言悖论具有同构性。同构性是统一解悖的重要基础，同时也是判定解悖方案好坏的重要标准，即一个好的解悖方案应该能够应用于所有同构悖论。不满足这一标准的解悖方案容易陷入“情境依赖”或“概率倾向”误区。通过对彩票悖论进行同构变形，序言悖论的预期似真度解悖方案亦可应用于彩票悖论，从而找到了这两个悖论的一种统一解。当然，这一方案并不完美，或许还存在更优方案，这有待于进一步研究。