井口究竟变大还是变小？

贾艳萍 江舟军 洪和森

(浙江省舟山中学 浙江 舟山 316021)

1 问题的提出

在学习人教版选修3-4“光的反射和折射”时，学生做到这样一道题目：如图1所示，井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底部各有一只青蛙，则( )

图1 题图

A.水井中的青蛙觉得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

B.枯井中的青蛙觉得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

C.水井中的青蛙觉得井口小些，晴天的夜晚，枯井中的青蛙能看到更多的星星

D.两只青蛙觉得井口一样大，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

此题正确答案为选项A，然近一半的学生选择了选项B．为了了解学生错误的原因，笔者请几位选择选项B的学生说出自己的解题思路．其中一典型的解释是这样的：学生画了一光路图(图2)，认为AB长度是枯井中的青蛙看到的井口真实的大小，折射光线反向延长线上A′B′的长度为水井中的青蛙看到的井口大小，因此枯井中的青蛙觉得井口大些．

图2 学生作光路图

笔者发现一些权威性的资料中也是这样解释的．问题是这种作图法画出的A′，B′是A，B的像吗？井口究竟是变大还是变小呢？下面笔者利用物理规律结合数学方法推导水井中的青蛙看到的井口位置和实际井口位置的关系．

2 理论推导

2.1 构建模型

如图3所示，设A为井口左边缘一点，根据折射定律，两条折射光线反向延长线的交点A′即为A点的像．假设两条折射光线均能进入青蛙的眼睛，由于青蛙的瞳孔很小，因此，M，N两点的距离必须非常小，这样两入射角大小差别很小，我们记为γ和γ+dγ．两折射角的差别也很小，我们记为θ和θ+dθ[1～4]．为了讨论方便，取空气的折射率为1，水的折射率用n表示．光在水中的临界角用C表示，则

A点距水面的高度为h，A′距水面的高度为h′，A和A′的水平距离用d表示(图3)．

图3 构建模型

2.2 数学推导

由折射定律可知

(1)

nsinθ=sinγ

ncosθdθ=cosγdγ

得

(2)

由几何关系知

MN=h[tan(γ+dγ)-tanγ]=

h′[tan(θ+dθ)-tanθ]

得

(3)

由式(1)、(2)、(3)得

讨论：由已知信息可知，h′>0，说明A′在A的上方，如图3所示．当θ=0时，h′=nh，即青蛙在A点正下方观察到A′在其正上方(n-1)h位置．当θ增大且小于临界角C时，h′也将增大，即当青蛙从A点正下方向右移动时，它看到的A′点将上移．

由几何关系知

d=h′tanθ-htanγ=

化简得

讨论：由已知信息可知，d>0,说明A′在A点左侧，正如所作图像．当θ=0时，d=0，即A′和A点在同一竖直线上．当θ增大且小于临界角时，d也将增大，即当青蛙从A点正下方向右移动时，它看到的A′点将向左侧移．

2.3 结论

从以上讨论可知，青蛙从水面下方看井口左边缘A点时，看到的A′点在A点上方且向左偏离观察者．同样道理，青蛙观察井口右边缘的B点，看到的像B′点在B点上方且向右偏离观察者．由此可知，水井中的青蛙看到的井口大小A′B′大于枯井中青蛙看到的井口大小AB．

2.4 释疑解惑

学生之所以像图2那样分析问题，实际上是犯了“想当然”的错误．知道利用折射定律分析问题，但是又没有规范地根据成像原理画光路图．在关键时刻，凭自己的感觉找到了自认为正确的答案．从对物理问题的认识角度分析，学生混淆了青蛙眼中井口大小和天的大小的区别．青蛙眼中天的大小取决于视角，枯井中青蛙的视角为α，水井中青蛙的视角为β(图4)．因为α>β，所以枯井中青蛙看到的天比较大．虽然枯井中的青蛙觉得天比较大，但是，在晴朗的夜晚，它只能看到光线3到光线4范围内的星星，而水井中的青蛙看到光线1到光线2范围内的星星．因此，水井中的青蛙看到的星星更多．

图4 青蛙的视角

3 实验验证

3.1 实验器材

水下摄像机，内径高8.70 cm的饭桶，手机，刻度尺，水等．

3.2 实验过程

步骤一：打开摄像机自带的wifi,用手机连接其wifi．将水下摄像机放在饭桶中心，打开其拍照功能．打开手机中GoPlus Cam软件，调整摄像机的位置，确保看到的井口是圆形的，并在屏幕中心．最后打开手机的录屏功能．

步骤二：开始往饭桶中加水，感受到井口的大小有明显变化时，测量水的高度约为3.40 cm．继续往桶中加水，大约水的高度为8.00 cm时，停止加水．录屏结束．

步骤三：借助暴风影音的截屏功能，截取未加水时，水高约3.40 cm时和水高约8.00 cm时的图片．

3.3 实验结果

未加水、水高3.4 cm、水高8.00 cm时截取的图片如图5所示.

图5 截取的图片

3.4 实验结论

图5为视频中截取的3幅图片，对比可以发现桶口的大小随着水位的升高，逐渐变大．参考天花板上灯的位置，可以看出桶外的视野也逐渐变大．因此选项A是正确的．

4 总结

要想解决因为“想当然”导致的错误，最有效的方法就是规范化做题．物理课堂上，不仅要熟练掌握每个知识点，对于教师强调的如何规范化答题也要作为重点内容．这样才能提高解题能力和应试能力，才能削弱所谓的“物理题一听就懂，一做就错”的魔咒．另一方面，物理有趣的原因之一就是实验，因此，对于一些易错题，如果可以做实验的话，教师应该通过实验突破学生的错误点．不仅效果好，而且还可以增强学生学习物理的兴趣．