基于Lagrange数乘法的CFG桩复合地基优化设计

宋宝宏

北京市市政工程设计研究总院有限公司 100082

引言

对软弱土层地基进行处理是工程中常见的问题，通常可采用桩基础或者复合地基形式，以提高地基承载力。CFG桩是近年来兴起的一种复合地基处理模式，对于软弱土层的处理较为常见，因为有着经济方便的特性，有着较为广泛的应用［1］。

复合地基的地基承载力由桩间土及桩本身共同作用，CFG桩布桩时采用桩径、桩间距、桩长及褥垫层厚度等不同参数组合［2］，会得到不同的设计承载力。在工程应用中，通常选用常见的布桩参数，经计算满足设计承载力即可，这样往往导致没有选择出最佳的设计方案，造成材料不必要的浪费。在讲究安全性的同时，应采用合理的计算方法或模型，来得到最佳的设计方案，所产生的工程量最小，满足经济的要求。

Lagrange数乘方程在求解复杂的多元函数极值时，有着极为广泛的应用。基于此，本文引入Lagrange数乘方程，应用于CFG复合地基的优化设计，得到最佳的布桩设计参数。

1 Lagrange数乘法

Lagrange数乘法基本原理是在求解N 个变量的多元函数极值时，通过引入k 个变量限定条件，建立N+k 个联立方程组，从而求解方程组极值［3，4］。具体求解过程如下：

（1）建立需求解的极值目标u 与N个自变量（X1，X2，X3，…，XN）之间的函数关系，得到u ＝f（X1，X2，X3，…，XN）。

（2）确定k个自变量（X1，X2，X3，…，XN）集合的限定条件，并建立K 个方程gi（i ＝1，2，…k）（X1，X2，X3，…，XN）＝0。

（3）引入K个Lagrange系数λi（i ＝1，2，…，k），建立Lagrange数乘方程：

（4）再求Lagrange 数乘方程（1）各自变量的偏导数，并建立联立方程组：

求解方程组（2）得到的解（X1，X2，…XN）即为目标函数的极值。通过代入便可得到目标函数u ＝f（X1，X2，X3，…，XN）的最优解［5］。

2 CFG桩复合地基的Lagrange数乘法模型

2.1 CFG桩复合地基影响参数

CFG桩全称为水泥粉煤灰碎石桩，桩顶和基础之间设置有褥垫层，桩底端选择压缩模量和承载力较高的土层作为持力层，以提高复合地基的承载力，从而满足设计要求。其常见成桩方式有干成孔、长臂螺旋中心压灌及振动沉管、泥浆护臂钻孔以及钢筋混凝土预制桩等形式，不同的成桩形式有不同的桩径适用范围。在基础范围内，CFG桩根据建筑物荷载分布、地基土力学性质以及基础形状合理确定布桩参数。根据《建筑地基处理技术规范》（JGJ 79—2002）［6］及《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）［7］可知：

CFG桩单桩竖向承载力标准值计算公式为：

式中：up为CFG 桩周长（m）；qsi为CFG 桩长范围内第i层土的侧阻力特征值（kPa）；hpi为CFG桩长范围内第i层土厚度（m），桩长αp为桩端阻力发挥系数，按地区经验确定；qp为桩端阻力特征值（kPa）；Ap为桩的截面积（m2）。

复合地基的承载力标准值为CFG桩竖向承载力标准值及处理后桩间土承载力标准值之和，即：

式中：fspa为复合地基的承载力标准值；m为面积置换率，与布桩形式相关，等边三角形布桩m ＝d2／（1.05s）2，正方形布桩m ＝d2／（1.13s）2，矩形布桩m ＝d2／（1.13s1s2）2，d 为桩直径，s、s1、s2分别为桩间距、横向桩间距、纵向桩间距；fsa为处理后桩间土的承载力标准值；α 为单桩承载力发挥系数；β为桩间土承载力发挥系数。

假设建筑物在标准组合作用下地基处平均压力值为Pk，修整后的地基承载力特征值为fa，则当pk≤fa时地基满足设计要求。其中fa＝fspa+γm（H-0.5）。γm为基础底面以上土的有效重度，H为基础埋置深度。

根据以上公式可知，在处理后桩间土的承载力为固定值的情况下，由于面积置换率m与桩径d及桩间距s相关，所以桩径d、桩间距s及桩长L为影响复合地基承载力的三个主要参数。

2.2 Lagrange数乘法模型建立

将式（3）及式（4）联立，建立桩径d、桩间距s及桩长L与fa之间的方程式（5）：

在布桩形式一定的情况下，则面积置换率m确定，假定采用正方形布桩，m ＝d2／（1.13s）2，其中s为桩间距，则可得到式（6）：

CFG桩所需材料总量记为D，则：

n为所需CFG桩根数，与桩间距s成负相关。假设基础形式为筏板，长为A，宽度为B，则在等间距布桩且保证基础布满的情况下，桩根数与基础的长宽成负相关，即n ＝（A／s+1）（B／s+1）。

本文在此探讨在满足地基承载力且所需材料总量最小情况下的桩径d、桩间距s及桩长L。令桩径d、桩间距s 及桩长L 为三个自变量，则目标函数材料总量D可表示为：

地基承载力满足要求为限定条件函数，即：

再引入拉格朗日系数λ，则CFG桩复合地基的Lagrange数乘方程为：

通过对式（10）求解偏导数，可得方程组（11），即：

求解得到的（d，s，L）即为D 的极值点，再分别代入式（8）及式（9），根据实际情况进行验证即可。

3 Lagrange数乘模型在实际工程中的应用

3.1 工程概况

北京市某厂区一综合管理用房，采用框架结构，填充墙采用混凝土空心小砌块。地上共四层，地下一层，首层层高4.0m，2 ～5 层层高均为3.3m，地下室层高3.0m，外墙厚250mm，内墙厚200mm。地下室外墙为钢筋混凝土结构，厚250mm，室内地面高于室外地面300mm，各层楼板及屋面板均为120mm厚，屋顶为不上人楼面，平面布置如图1 所示。

图1 楼层平面布置Fig.1 Layout of floor plan

该楼采用筏板基础，根据地勘报告，地基土层第一层土为平均厚度7m 的杂填土及人工堆积层，且土体含水量较高，土体性质较差，故采用CFG复合地基进行处理，布桩形式为正方形布桩，地基土体各层力学性质如表1 所示。

表1 地基土力学参数Tab.1 Physical and mechanical indexes of subsoils

3.2 最优工程量计算

本节引入Lagrange数乘模型，对上述建筑物的复合地基进行优化设计，具体过程如下：

根据《建筑地基处理技术规范》（JGJ 79—2002）及《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011），以及表1 地基土岩土力学参数，对式（6）各项系数进行取值并进行适当简化。取参数α ＝1，β ＝0.9，fsa＝50kPa，αp＝1。考虑实际情况，本工程CFG桩桩底应位于粉土层②上，即桩长L≥9m，两层粉土层极限侧阻力标准值45（L -9）+35，综上可得式（12）：

根据PKPM计算结果，标准工况下，有地震作用情况下最大基底反力为190kPa，为保证安全，地基承载力留1.2 倍富裕量，使fa≥228kPa，即：

代入筏板基础的长A ＝33m，宽B ＝11m，则式（7）可简化为：

式（14）即为目标函数，式（13）为限制条件。

引入拉格朗日系数，式（15）即为本研究目标的Lagrange数乘方程，即：

再根据式（11）分别求四个变量的偏导数，联立方程组，并求解极值点，一一代入，即可得到最优的复合地基参数。

根据在实际工程的应用，CFG桩采用不同的成桩形式，有不同的适宜桩径。如长臂螺旋中心压灌桩桩径适用范围为400mm ～600mm，泥浆护臂桩桩径适用范围为600mm ～800mm，钢筋混凝土预制桩桩径适用范围为300mm ～600mm。同时受限于桩本身的强度，桩长不宜过长。基于此，在式（15）的基础上，得到不同桩径下的最优布桩参数，如表2 所示。

通过上述分析可得到桩径d ＝0.4，桩间距s ＝1.8，桩长L ＝15.9m 时，工程量最小。桩径的增加，虽然会减少CFG 桩的根数，但同时会增加桩长及工程量。

表2 不同桩径下的最优设计参数Tab.2 Optimal parameters under different pile diameters

3.3 布桩参数对工程量影响的函数分析

为更加直观理解桩径d、桩间距s 和桩长L对工程量D的影响，并判断三者哪个因素影响程度更大，借用3.2 节的数据，通过控制变量的方法，对各个因素对工程量的影响做出函数分析。

先在保证复合地基承载力满足要求且不变的情况下，即fa＝228kPa，并根据本地实际应用情况，桩长限制在不超过16m，对表2 的数据进行补充，得到表3。

表3 不同参数下的工程量Tab.3 Displacement load applied

1.桩间距s对工程量D的影响

根据表3 的数据，对在同一桩径下、不同桩间距与工程量之间的关系进行拟合，为更加直观观察二者之间的相关关系，采用线性拟合，如图2 所示。从图中可知，在保证复合地基承载力满足要求且不变情况下，在桩径d ＝0.4m、0.5m及0.6m时，其工程量D 与桩距s 所拟合的线性函数斜率依次为-229.6、-209.4 及-196.3。可见，桩径相同的情况下，随着桩间距增加，工程量减小，但随着桩径的增加，拟合的线性函数斜率绝对值减小，即这种工程量减少的趋势在减小。

2.桩长L对工程量D的影响

同理，如图3 所示，在保证复合地基承载力满足要求且不变的情况下，在桩径d ＝0.4m、0.5m及0.6m时，其工程量D与桩长L所拟合的线性函数斜率依次为-30.155、-29.034 及-36.621。可见，随着桩长增加，工程量减小。

3.桩径d对工程量D的影响

如图4 所示，保证复合地基承载力满足要求且不变的情况下，在桩间距s ＝1.6m、1.7m 及1.8m时，其工程量D 与桩径d 所拟合的线性函数斜率依次为1321、1215 及1133。可见，桩间距不变的情况下，随着桩径的增加，工程量增加，但随着桩间距的增加，拟合的线性函数斜率绝对值减小，即这种工程量增加的趋势在减小。

图2 s 与D 的函数关系Fig.2 The functional relationship between S and D

图3 L 与D 的函数关系Fig.3 The functional relationship between L and D

图4 d 与D 的函数关系Fig.4 The functional relationship between d and D

从以上的分析可知，桩径d、桩间距s 和桩长L共同作用影响工程量的大小，且影响的程度也不一致。在承载力满足要求且不变情况下，结合表3 中的数据可得知以下几点：

（1）不同桩间距采用同一桩径时，随着桩间距的增加，总工程量会减小，但减小的趋势也在减小。

（2）不同桩长采用同一桩径时，随着桩长的增加，总工程量会减小，减小的趋势与桩径变化无明显关系。

（3）不同桩径采用同一桩间距时，随着桩径的增加，总工程量会增加，但增加的趋势在减小。

由于在实际工程应用中，受限于桩本身强度，桩长会有限定值，如常用的CFG 桩桩长在20m范围内，所以也应考虑桩长的限制。

4 结论

本文根据《建筑地基基础设计规范》及《建筑地基处理设计规范》中的计算方法及限定条件，首先建立了CFG 桩复合地基的Lagrange 数乘方程，对其桩长、桩径、桩间距等布桩参数进行极限求值，从而得到在满足地基承载力情况下的最优布桩设计，以减小工程材料浪费。并在基底承载力保持不变的情况下，建立各变量与工程量的拟合函数关系，分析布桩参数对工程量的影响，本文的研究内容可为类似项目的桩优化设计提供思路。具体得到以下结论：

1.CFG 桩复合地基主要影响参数为桩长、桩径和桩间距，根据Lagrange数乘方程，可在限定地基承载力情况下，得到最佳布桩参数的设计值。根据本文实际工程应用，得到最优布桩参数为桩径d ＝0.4，桩间距s ＝1.8，桩长L ＝15.9m。此方法可推广至其他类型复合地基或桩基础的设计，方法同理。

2.不同的布桩参数对工程量的影响大小不一致，在满足地基设计承载力且不变的情况下，桩长L与工程量D、桩径d 与工程量D、桩间距s与工程量D之间拟合的线性函数斜率绝对值依次增大一个数量级，可见相比于桩长，桩径及桩间距对工程量的影响更大。

此外，本文尚存在不足之处，仅是将CFG桩的材料量等同于工程量的大小，这与实际工程量的计算有一定差异，需进一步分析实际造价问题。