张进华 朱树方
摘 要:在初中数学的教学中,解决问题的方法往往不止一种,例如,数学归纳法、建立数学模型法、数形结合、分类讨论,等等,而分类讨论的方法是一种解决数学问题上一种常用的方法,是一种重要的数学思想。学生在学习数学的过程中往往会因为杂乱的知识点,就认为数学学习起来很困难,而分类讨论思想可以将遇到的知识点分类,还可以解决一些问题,例如数字,可以将它细分为“自然数”“无限循环小数”“复数”等等。还有很多例如将代数式进行分类,分类讨论思想可以将数学中的复杂问题简单化,从而提高学生的学习兴趣,同时能够提高教师的教学有效性。
关键词:初中数学;分类讨论的思想;分类讨论的应用
一、 引言
分类讨论的思想就是,将一个复杂的难以解决的问题按照一定的规律拆成很多小问题,将这些小问题逐一分类,拆解的小问题肯定要比最开始的那个大问题简单,学生解决了每一个小问题,然后不管多难的问题学习都能够解决,而有一些问题,可能会有多种解决办法,教师应该引导学生尽可能地考虑周到一点。在教学初中数学时,分类讨论的思想的应用特别广泛,在平常的课后作业、考试试卷上都存在,教师应注重培养学生应用分类讨论的思想,将复杂的问题简单化,教师应该阅读足够的书籍,掌握在这一方面的知识,并结合自身的教学经验,将生活中的一些分类实例带到课堂上去,多样化丰富自己的初中数学教学过程,让学生在解决问题的同时获得喜悦感和成就感,从而提高对学习数学的兴趣,能够都积极主动地参与到老师安排的教学活动中去。让学生在学习数学的过程中进行分类讨论思想的培养,教师应该将书本上枯燥的例子转变出一个个生动的场景,好好把握培养学生分类讨论的思想的机会。
二、 教师培养学生分类讨论思想的策略
首先,对于一个学生从来没有接触过的题型,教师可以引导学生将这个陌生的题,拆成学生熟悉的题,而又应该怎么做呢?
(一)对比自己熟悉的题,充分发挥自己的联想能力
在解决陌生的题之前,学生应该对比自己做过的题目,充分发挥自己的联想能力,回忆做题用的知识点和方法,还有结论,解决现在能够解决的简单问题,在复杂问题中多解决一点自己能够解决的小问题,原来的复杂问题不就简单了。
(二)充分理解题给条件,多考虑几个方面
在数学中解决同一个问题的方法往往不止一个,可以通过很多种方法做出来。学生可以充分运用自己所学习过的知识和自己做题的经验,有助于学生更加了解这道题的题意,这样更有利于学生寻找适合这道题的分析和解决方法,从而更快地解决问题。
(三)适当设置辅助参数,降低题目难度
在初中数学题目中,同一种题目可以有很多种表现形式;而在题目条件和已知结论或问题之间,其实存在很多的联系。所以适当设置辅助参数,可以降低题目难度,建立问题、条件、已知结论的联系桥梁,将学生不熟悉的复杂题,转换为学生明白的简单题。
在学生将题目条件和问题从多个方面分析清楚后,教师可以引导学习进行独立解题,让学生寻找问题简单化的多条路径,告诉学生简单化的一种好办法是“寻找中间环节”,在解题过程中学生可以去寻找一个复杂过程中的简单的中间过程,教师可以引导学生多去寻找题目的中间过程,去分类讨论中间过程。
三、 分类讨论法在实际教学的应用
(一)在求解方程系数时,运用分类讨论思想
(二)在求解代数式时,运用分类讨论思想
代数式在初中数学的教学中是一大难点,代数式比解方程、几何图形、函数都难,是因为代数式的灵活性,学生不仅仅需要将代数式的性质、概念、变换法则、公式弄懂,还要懂得灵活运用,所以在解决问题的时候需要学生能够合理分析题目的所给条件,灵活应用分类讨论思想,将分类讨论思想变成打开这道题答案大门的钥匙。
点评:这道题目考查了学生对于绝对值的理解、分析和运用,当绝对值符号中的值大于零,拆掉绝对值符号后,正常带入其中的值,当绝对值符号中的值小于零,拆掉绝对值符号后,将其中的值改为负值。
(三)在求解点坐标位置题目时,运用分类讨论思维
一些题目中的条件不够明确,导致图形题目的点坐标求出来不止一个,如果学生没有考虑全面,会时常发生有的答案没有解出,将会导致题目不能完全正确。
分析:通过题目所给的条件,可以知道交坐标的两点分别是(2,0)、(0,-2),由于题目没有明确指出A、B两点那个点在x轴,那个点在y轴,就可以分别将(2,0)、(0,-2)设为A点、B点,可以明确知道的是AB是三角形的一条边,但是不知道究竟是哪一条边,同时也不知道C点的位置,这时应该运用分类讨论法。
解:(1)当AB为三角形的底边时,点C它一定在AB边的中垂线上,而且一定与坐标原点重合,即(0,0);
(2)当AB为三角形的直角边时,因为C点一定在坐标轴上,所以这时又分为两种情况:
①点C在x轴上,可以找到(-2,0)这个点;
②点C在y轴上,可以找到(0,2)这个点。
综上所述,满足题给条件的C点有3个,分别是(0,0)、(-2,0)、(0,2)所以应该选择B答案。
点评:学生应该充分挖掘题意,理解出题者的意图,从多个角度分析题目条件,弄清楚满足题目各种可能情况,图形题目学生可以通过画草图的形式来加强对题目的理解,最好考虑方向时能够按照一定的顺序来,否则会有的答案没有考虑到。
(四)在求函数题目时,运用分类讨论思维
例4 为增强公民节水意识,合理利用水资源,某市采用“阶梯收费”,标准如下表:
如果该用户5、6月份共用水20m3(6月份用水量超过5月份用水量),共交水费64元,则该户居民5、6月份各用水多少立方米?
分析:由于题目没有指明用户,这5月用了多少水,在6月用了多少水,但是交的水费是知道的,所以可以通过固定的水费来分类讨论5月、6月各自的水费。应分情况讨论:5月份不超过6m3,6月份10立方米以上;或5月份超过6m3,在6-10立方米之间;以及5月份在10m3以上分别分析即可得出答案。
解:(3)①当5月份用水不超过6m3时,设5月份用水xm2,则6月份用水(20-x)m3,
根据题意得出:
2x+2×6+4×4+8(20-x-10)=64,
解得:x=22/3>6,不符合題意舍去。
②当5月份用水超过6m3时,但不超过10m3时,设5月份用水xm3,
则2×6+4(x-6)+2×6+4×4+8x(20-10-x)=64,
解得:x=8<10符合题意。
③当5月份用水超过10m3时,根据6月份用水量超过5月份用水量,
故不合题意。
所以5月份用水8m3,6月份用水量为12m3。
点评:这道题主要考查的是学生理解题意、列方程的能力,在初中数学中函数是应该让学生头痛的类型,主要是因为函数需要考虑的角度实在是太多,一不注意就可能少一到两点,教师应该加强学生对于解函数题目的能力。
四、 结语
综上所述,教师应该先弄懂分类讨论思想的作用,再通过专项训练,来培养学生的分类讨论思想,引导学生对于陌生的题目,对比自己熟悉的题,充分发挥自己的联想能力,充分理解题给条件,多考虑几个方面适当设置辅助参数,降低题目难度,引导学生寻找中间环节,实现复杂问题简单化,使用分类思想,简化已知条件,这样解决陌生复杂的题目速度更快。让学生在学习数学的过程中进行分类讨论思想的培养,教师应该将书本上枯燥的例子转变出一个个生动的场景,好好把握培养学生分类讨论的思想的机会。
参考文献:
[1]王娟.试论初中数学教学中分类讨论思想的应用[J].祖国,2018(5).
[2]郑雪梅.分类讨论思想在初中数学教学中的应用[J].新课程,2020(36).
[3]袁霞.分类讨论思想在初中数学教学中的渗透[J].数理化解题研究,2015(18).
作者简介:张进华,湖北省仙桃市,仙桃市彭场挖沟小学;朱树方,湖北省仙桃市,仙桃市彭场中学。