基于改进极限学习机的多维参数天线设计方法*

孟雯雯，胡 聪，赵建平，徐 娟

（曲阜师范大学，山东 曲阜 273165）

0 引言

随着现代通信技术的发展，通信系统对微波天线的要求日益严格，天线模型也越来越复杂。为了使微波天线满足通信系统的不同需求，需要不断对其进行优化设计。

随着计算机计算能力的提高，同时为了提高微波天线的设计效率，降低时间成本，利用计算机辅助设计优化设计微波天已经成为一种必然趋势。神经网络是一种快速建立映射关系的方法[1-2]，理论表明，只需两层神经网络便可表征任意高阶的非线性函数输入与输出之间的关系[3]，但是传统的单隐层前馈神经网络需要经过大量的迭代来优化其网络参数，存在训练速度慢、学习能力差、预测不准确等问题。

极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM）是一种基于前馈神经网络构建的新型机器学习方法，学习速度快，并且具有良好的泛化能力[4]，因此可以通过其来建立微波天线设计参数与响应之间的关系模型，以代替烦琐复杂的数值或全波电磁仿真计算。为了使建立的模型拥有较高的精度，ELM通常需要大量的训练样本来进行学习，过多的训练样本又会导致时间成本的提高。

鉴于此，本文提出一种改进的极限学习机方法，该方法旨在利用较少的训练样本得到较高的预测准确度，并采用该方法建立微波天线设计参数与响应之间的关系；该方法同时结合拉丁超立方抽样获取训练样本的设计参数，提高训练样本的质量；通过HFSS-Matlab-Api库函数实现微波天线的自动化设计，节省人力成本。

1 理论原理

1.1 极限学习机

极限学习机比传统的学习算法速度更快，泛化能力更强，其网络结构如图1所示。

图1 极限学习机网络结构

图1中，x为网络输入，y为网络输出，L为隐含层神经元数目，ω为输入层到隐含层的输入权重，表示如下：

θ为隐含层神经元的阈值，表示如下：

β为隐含层到输出层的输出权重。

在极限学习机中，L由人为确定，因此网络参数为输入权重ω、隐含层神经元阈值θ以及输出权重β。

在实际工作中，极限学习机包括训练和预测两个过程。

（1）训练过程：已知极限学习机训练样本的输入和输出，求输入与输出之间的映射关系。

设有N个任意的训练样本(Xi,Yi)，输入Xi为n维，即Xi=[xi1,xi2,…,xin]T，输出Yi为m维，即Yi=[yi1,yi2,…,yim]T，隐含层为L个神经元的极限学习机可以表示如下：

式中，Wi=[wi1,wi2,…,win]T为输入权重，θi为隐含层第i个神经元的阈值，βi为输出权重，·表示内积，g(x)为激活函数。

网络学习的目标是使网络的输出与样本的输出误差最小，表示为：

在极限学习机中，如果输入权重Wi和阈值θi被随机或人为给定，那么式（6）中的矩阵H就被唯一确定，则输出权重β可通过下式计算得到：

式中，H+为矩阵H的广义逆。

（2）预测过程：已知极限学习机的输入和输出之间的映射关系，求极限学习机的输出。

在预测过程中，极限学习机输入权重ω、阈值θ和输出权重β已知，给定样本输入X，根据式（6）～式（9）便可求得样本输出Y。

传统的极限学习机的输入权重和阈值是随机或人为给定的，因此预测具有一定的不确定性，且准确度较低。为了提高极限学习机的预测能力，降低训练样本数量，利用头脑风暴优化算法确定其最优的输入权重和阈值，利用最优网络参数的极限学习机建立天线设计参数与响应之间的映射关系。

1.2 基于反向学习的头脑风暴优化算法

头脑风暴优化算法（Brain Storm Optimization Algorithm，BSO）是根据人类在群体决策时进行头脑风暴会议的启发而提出的新的群智能优化算法，算法采用聚类的思想搜索局部最优解，通过迭代比较局部最优解，最终得到全局最优解，在求解大规模高维函数最优化问题时具有巨大优势。

传统的头脑风暴优化算法采用随机策略初始化产生初始解，由于初始解质量不确定，导致最终迭代结果的质量和收敛速度较差。因此，本文提出基于反向学习的头脑风暴优化算法以优化极限学习机的输入权重和阈值。

反向学习策略[5]的主要思想是寻找初始种群的反向种群，通过当前种群与反向种群之间的竞争，选取最优的解进行后续的迭代优化过程。

图2 反向数示意图

如图2所示，在D维空间中，存在点x=(x1,x2,…,xD)，其中x1,x2,…,xD∈R且则反向数定义如下：

由所有反向数组成反向点，定义如下：

在种群初始化中，同时计算x和的适应度值，保留适应度值优的作为候选解，定义如下：

基于反向学习的头脑风暴优化算法步骤如下：

（1）采用式（14）初始化产生N个初始解，计算N个初始解的反向点。

（2）根据适应度函数计算所有初始解及反向点的适应度值，通过比较确定最优的初始解。

（3）根据相似性，利用K均值聚类将初始解分成M个类，计算初始解的适应度值，挑选出每个类中适应度值最优的解作为类中心。

（4）设置P1值，随机生成范围为[0,1]的数r1，如果r1

（5）设置P2值，随机生成范围为[0,1]的数r2，如果r2

（a）基于一个类生成新的解：根据类包含的解的数量来选择根据哪一个类生成新解，一个类包含的解越多，那么这个类被选择的机会就越大。然后判断使用被选择的类的中心还是同一类中的随机解生成新解，该操作由P3控制，随机生成范围为[0,1]的数r3，如果r3

式中，N(0,1)是均值为0和方差为1的高斯随机值，ξ是控制高斯随机值的系数，计算如下：

式中，T是最大迭代次数，t是当前迭代次数。加权系数ξ(t)在初始迭代期间将有较大的值，在最终迭代期间将有较小的值，有利于在初期扩大搜索范围，在后期提高搜索精度。

（b）基于两个类生成新思想：该步骤与（a）类似，随机选择两个类，然后判断使用被选择的两个类的中心还是两个类中的随机思想生成新思想，该操作由P4控制，随机生成范围为[0,1]的数r3，如果r3

式中，R是范围为[0,1]的随机数，然后通过式（15）生成新的想法。

步骤（3）中偶尔利用随机生成的解替换类中心，可以避免算法陷入局部最优。步骤（4）中基于一个类生成新的解能够使算法收敛到一定区域内，加快算法收敛速度；基于两个类生成新的解有助于提高算法的探索能力，避免陷入局部最优。该算法在保证收敛性的情况下搜索全局最优解，非常适合于求解高维函数的优化问题。

1.3 拉丁超立方抽样

拉丁超立方抽样（Latin Hypercube Sampling，LHS）是一种从多元参数分布中近似随机抽样的方法，可以以较少的采样次数获得较高的采样精度，使样本均匀产生在各个区间。

设在n维向量空间中抽取m个样本，LHS的步骤如下：

（1）将n维向量空间中的每一维度分成互不重合的m个均匀区间，使每个区间有相同的概率；

（2）在每一维度里的每个区间中随机抽取一点；

（3）从每一维度里随机抽取（2）中选取的点，将它们组成向量。

在二维向量空间中抽取10个样本，每维度取值范围为[-10,10]，LHS模拟抽样结果如图3所示。

图3 二维空间LHS模拟抽样结果

1.4 Matlab-HFSS联合仿真

HFSS-Matlab-Api是Matlab软件中的一个库函数，利用该库函数可以实现HFSS软件脚本的生成、修改和运行，通过在脚本中写入HFSS模型建模、修改设计参数等代码，即可实现Matlab控制HFSS软件仿真。

利用HFSS-Matlab-Api实现Matlab-HFSS联合仿真的方法有两种：

（1）直接在Matlab中利用HFSS-Matlab-Api编写脚本并运行，调用HFSS进行模型创建、仿真等操作，实现全自动化。

该方法可以使模型的建立工作完全在Matlab中实现，无须在HFSS模型中绘制，对于建立设计参数精细和具有周期性结构的模型非常方便。但是由于在Matlab编程过程中不会出现直观模型，所以需要编程者具有极强的空间想象力。此外，在需要反复调用脚本修改模型的设计参数时，每次运行脚本都要在HFSS中重新建立模型，使得在优化设计的过程中增加了许多繁琐的操作。

（2）模型在HFSS中建立，在修改设计参数的过程中记录脚本文件，然后通过Matlab打开脚本文件，利用HFSS-Matlab-Api把需要修改的设计参数写入脚本并运行。

该方法由于模型在HFSS中建立，因此可以直观显示模型的三维图像，同时操作简单，只需利用脚本修改指定的部分即可，在运行脚本后也只调用HFSS进行相应部分的操作。

本文仅利用Matlab-HFSS联合仿真技术实现修改天线设计参数、仿真和输出仿真结果的过程，因此采用第二种方法。

1.5 基于改进极限学习机的多维参数天线设计方法

基于改进极限学习机的多维参数天线设计方法流程图如图4所示，具体步骤如下：

（1）通过拉丁超立方抽样获取一定数量的训练样本；

（2）根据训练样本，利用基于反向学习的头脑风暴优化算法确定极限学习机网络最优的输入权重和阈值；

（3）利用最优网络参数的极限学习机建立天线设计参数与响应之间的映射关系；

（4）给出天线目标响应，预测其设计参数，如果预测设计参数的响应满足设计指标，则结束，若不满足，则将该预测设计参数与响应作为新的训练样本添加到原训练样本集中，返回步骤（2）。

图4 多维设计参数天线设计流程

2 设计实例

2.1 叠层微带天线模型

叠层微带天线[7]的结构由一个E型贴片天线和上层介质基板以及辐射贴片组成，主要包括上下介质基板、接地板、同轴馈线和两个辐射贴片，其中介质基板为相对介电常数为1的空气。叠层微带天线模型及主视图如图5所示，下层E型贴片天线俯视图如图6所示。

图5 天线模型及主视图

图6 下层E型贴片天线俯视图

2.2 叠层微带天线设计

要求该天线工作频率覆盖4.7～6.6 GHz，即设计指标为：

根据设计指标（18）设计的理想目标响应如图7所示，理想响应应该如图蓝色虚线所示，S11在工作频率范围内尽可能小于-10 dB，在其他频率范围内尽可能大于-10 dB，但是考虑到实际中天线响应是非理想的，因此设计了如图实线所示的响应。

图7 目标响应

利用拉丁超立方抽样获取50个样本的设计参数，每个设计参数上、下限取值如表1所示。

表1 设计参数上、下限取值

通过HFSS-Matlab-Api调用HFSS软件对50个样本设计参数仿真，保存响应并导入Matlab。计算50个样本响应与目标响应的相关系数，选择相关系数最大的第38个样本作为优化样本。

利用极限学习机对其余样本进行训练，预测优化样本响应的设计参数，头脑风暴优化算法优化得到使适应度函数最小的极限学习机输入权重和阈值，头脑风暴优化算法的适应度函数为：

式中，X*(38)为极限学习机预测的第38个样本的设计参数，X(38)为第38个样本实际的设计参数。

将头脑风暴优化算法得到的最优输入权重和阈值代入极限学习机，在训练过程中，以上述50个样本的响应作为输入，对应的设计参数作为输出，建立介质谐振器天线设计参数与响应之间的映射关系。

在预测过程中，以目标响应作为输入，通过预测得到输出，即叠层微带天线的设计参数为：

在Matlab中通过HFSS-Matlab-Api调用HFSS对设计参数X´(1)进行仿真验证，并与目标响应比较，结果如图8所示。

图8 X´(1)响应与目标响应

由于不满足设计指标，因此将该设计参数及其响应作为第51个训练样本，计算响应与目标响应的相关系数，再次执行头脑风暴优化算法、极限学习机训练和预测过程，最终预测叠层微带天线的设计参数如下：

调用HFSS对设计参数X´(2)进行仿真，设计响应与目标响应的比较结果如图9所示。

图9 X´(2)响应与目标响应

2.3 结果分析

由图9可以看出，在4.7～6.6 GHz频率范围内，X´(2)的响应在-10 dB以下，在其他频率范围内所有响应均大于-10 dB，满足设计指标，但是由于受天线本身限制，这些响应并不与目标响应完全重合，该情况在允许范围之内。通过对极限学习机预测的设计参数进行分析，发现其中有些维度超出了获取样本时拉丁超立方抽样方法设置的上、下限取值，该例说明采用改进极限学习机预测的设计参数不局限于样本的设计参数范围内，即改进极限学习机方法具有很好的泛化能力。

该介质谐振器天线的辐射方向如图10所示，由图可以看出，该天线主辐射方向为z轴正方向，主辐射方向增益最大为9.54 dB，同时方向性也比较好。

图10 辐射方向图

3 结语

本文提出了一种多维设计参数天线的优化设计方法，该方法以极限学习机为基础，利用头脑风暴优化算法确定极限学习机最优的输入权重和阈值，提高了极限学习机质量；采用拉丁超立方抽样解决了样本获取困难的问题，同时采用Matlab-HFSS联合仿真，实现了自动化设计，大大节省了天线设计过程所需要的时间。通过对多维设计参数叠层微带天线设计，说明了该方法的可行性及有效性。