基于响应面模型与遗传算法的工具磨床立柱多目标优化设计*

谢 军 廖映华 谭 州 廖 川 斯兴瑶

(四川轻化工大学机械工程学院，四川 宜宾 644000)

立柱是工具磨床的重要部件，立柱上安装有电主轴部件，电主轴部件与磨头相连接，从而立柱的静态性能对工件的加工精度有重要的影响，因此立柱必须具备足够的强度与刚度。文献[1]以一阶固有频率和变形为优化目标，采用了响应面模型与多目标遗传算法对机床立柱进行遗传设计，提高了立柱的静动态性能。文献[2]首先确定了立柱的各个尺寸变化范围，然后通过中心复合实验来建立响应模型，最后以立柱质量、一阶固有频率以及最大变形距离为优化目标，结合遗传算法进行优化，从而使立柱具备了良好的静动态性能。文献[3]首先建立立柱的三维模型，然后对其进行静动态特性分析。接着确定设计变量，并进行灵敏度分析。然后以立柱最大质量、最大变形以及一阶振型为优化目标，通过ANSYS Workbench优化模块进行了优化求解。

本研究利用SolidWorks建立了工具磨床立柱的实体模型，结合实际情况对其添加相应的载荷与约束，应用ANSYS Workbench对立柱展开静态特性分析。并且利用响应面法与遗传算法对立柱进行了多目标优化设计，提高了静态特性以及改善了立柱结构，同时为工具磨床各部件的优化设计提供参考依据。

1 立柱有限元模型的建立

本研究使用SolidWorks建立立柱结构的三维实体模型，然后将三维模型直接导入ANSYS Workbench中转化为有限元模型。为保证分析结果的准确性和提高效率，考虑到一些小特征对整体模型的静特性影响较小，根据圣维南原理，对三维实体模型的部分局部特征进行了合理的简化，去掉细小特征如圆角、螺钉孔等[4-5]。立柱为铸件，材料选择为灰铸铁HT300,材料属性如表1所示。杨氏模量为130 GPa,密度为7 300 kg/m3,泊松比为0.25。利用ANSYS Workbench进行网格划分，通过调试影响网格划分的主要参数，得到理想的网格划分结果如图1所示，网格划分后得到单元数为48 213个，节点数为26 352个。

表1 立柱材料属性

2 立柱静态特性分析

2.1 载荷分析

载荷分析是有限元分析中很重要的一步，载荷分析的准确性对后续有限元分析的结果有直接影响，对工具磨床立柱及底座添加正确的边界条件及载荷，会让有限元分析的结果更接近实际值。立柱主要承受电主轴部件的重力以及切削力，考虑到重力以及切削力较小，所以忽略弯矩的影响。

(1)立柱切削力

工具磨床主要用于加工刀具，零件材料常为硬质合金。在加工零件过程中，切削力作用在磨头上，通过电主轴部件传递到立柱安装导轨的滑块安装处。其示意图如图2所示。

采用平行四边形定则以及根据立柱的切削力受力情况建立立柱的切削力力学分析模型图，其主要是作用到滑块安装处，如图3所示。

根据切削力计算的经验公式，切向切削力Ft计算如式(1)所示：

(1)

式中：Pe为电机功率2 kW；ηe为电机效率0.92；nb为电机转速14 000 r/min；db为砂轮直径180 mm。

将相关数据代入式(1)可求得切向切削力Ft=13.9 N，而通常法向切削力为切向切削力的1.6～3.2倍，取最大值，然后可得法向切削力Fn=44.48 N。由于法向切削力对立柱影响最大，所以只考虑法向切削力。由正弦定理可知：

(2)

式中：θ=25.7°，η=144°，δ=10.3°。

(2)电主轴部件的重力

电主轴部件直接安装立柱上，其重力对立柱的作用由重心位置传递到立柱导轨滑块安装处，通过SolidWorks可计算出电主轴部件的重心位置，立柱承受电主轴部件重力的示意图如图4所示。

根据立柱所受电主轴部件重力情况，建立立柱的电主轴部件重力力学分析模型图，主要是作用到滑块安装处，如图5所示。

通过SolidWorks可计算出电主轴部件的重力：F1=1 179.5 N。

由正弦定理可得：

(3)

式中：α=35.5°，γ=84°，β=60.5°。

对式(2)和式(3)进行求解，并将切削力和电主轴部件各个方向的分力进行矢量叠加，可分别得出最终施加在立柱上的各个方向的载荷为：Faz=200.35 N、Fay=1 994.1 N、Fbz=881.28 N以及Fby=1 479.3 N。

然后将立柱三维模型导入ANSYS Workbench中，对立柱与X滑座的接触面施加全约束，对立柱的滑块安装面施加载荷，在ANSYS Workbench中立柱的受力图如图6所示。

2.2 静力学分析

将在SolidWorks里建好的立柱三维模型导入ANSYS Workbench静力分析模块，然后在ANSYS Workbench中完成添加材料、划分网格、施加载荷及约束等有限元前处理后，通过求解运算器进行有限元后处理，得到立柱的等效应力、总变形如图7和图8所示。

图7是立柱的等效应力云图，等效应力在滑块安装面处即承受载荷的地方应力较大，等效应力最大值为2.271 5 MPa，远远比灰铸铁HT300的许用应力要小，满足结构设计要求，存在优化的空间。

图8是经有限元后处理得到的立柱总变形图，立柱底部与X滑座相连接，为固定约束，由总变形云图可知立柱底端部分变形较小，并且立柱的变形由底端向顶端有逐渐增大的趋势。立柱总变形量的最大值为7.375 2 μm。

3 立柱多目标优化设计

3.1 选取设计变量

立柱的静动态特性指标，通常有等效应力、变形、固有频率以及振幅等。而往往一个指标并不能代表立柱的静动态性能，所以需要确定多个目标函数，对立柱进行多目标优化。而多目标优化问题可描述为[6]：

(4)

对立柱进行多目标优化设计，首先第一步要确定设计变量。其中立柱总变形会影响加工精度，而立柱的等效应力是静态性能的一个重要指标。以最大总变形量和最大等效应力为优化目标。而立柱的结构尺寸主要有框结构尺寸和局部尺寸，其中框结构尺寸为立柱本身的长、宽、高，局部尺寸即内部筋板的宽、厚、高，以及壁厚等。本次立柱优化选取壁厚X1、侧面筋板高度X2、筋板厚度X3以及底部筋板高度X4作为设计变量，如图9所示。

立柱各设计变量的初始参数如表2所示。

表2 立柱各设计变量初始参数

3.2 设计变量的灵敏度分析

设计变量的灵敏度分析，在多目标优化设计中非常重要。灵敏度分析主要是分析参数对模型的灵敏程度，即分析对目标函数的影响[7]。本次研究是通过正交试验以及极差分析来判断立柱各设计变量的灵敏度。在立柱的多目标优化设计中，对设计变量进行正交试验设计，首先选取合适的正交表，本次立柱的正交试验选择四因素三水平正交表即L9(34)，如表3所示。对照正交试验表中的设计变量尺寸，在SolidWorks中修改立柱模型，利用ANSYS Workbench中进行有限元分析，得到各个试验号各自对应的立柱最大总变形量以及最大等效应力。

表3 立柱正交试验表

R和D分别为立柱最大总变形量和最大等效应力的极差，其反应了因素水平波动时试验指标的变动幅度。其中：

(5)

(6)

根据表3的极差分析结果，列出立柱最大总变形量以及最大等效应力的灵敏度直方图如图10所示。

极差越大，则该设计变量对立柱的最大总变形量以及最大等效应力灵敏度越大，从图10中可看出立柱的各设计变量对立柱最大总变形量的灵敏度顺序为X1>X2>X3>X4，立柱的各设计变量对立柱最大等效应力的灵敏度顺序为X2>X4>X3>X1。综合考虑立柱各设计变量对立柱最大总变形量以及最大等效应力的灵敏度顺序，选取壁厚X1、侧面筋板高度X2作为优化参数。

3.3 基于响应面法的模型建立

响应面法(RSM)是利用合理有效的试验设计，通过多项式函数来拟合设计变量与响应值之间的数学关系。这种方法方便可靠，其常用于在多目标优化设计中建立数学模型。在立柱优化设计中，主要用到的是二阶多项式响应面[8-9]，其数学表达式为：

(7)

根据灵敏度分析结果，选取壁厚X1、侧面筋板高度X2进行试验，本次采用八边形等径设计[10]，试验范围为：18≤X1≤22，48≤X2≤56，如图11所示。

而立柱多目标优化设计中的变量编码因子为：

(8)

(9)

根据八边形等径设计试验结果中的9个试验点，在SolidWorks中修改立柱三维模型，导入ANSYS Workbench中进行分析。各个试验点对应的分析结果如表4所示。

表4 立柱八边形等径设计结果表

对表4中的数据进行拟合，采用二阶响应面法进行数学模型的建立。而响应面模型的拟合系数为：

(10)

通过MATLAB编程求解得到立柱最大总变形量的拟合函数模型为：

(11)

立柱最大等效应力的拟合函数模型为：

(12)

3.4 基于遗传算法的优化结果

遗传算法是通过MATLAB得以实现，MATLAB自带的遗传算法与直接搜索工具箱可以用来进行目标函数的优化，在遗传算法工具箱中已经将常用的遗传运算命令进行了集成，使用起来比较方便，因此本次利用遗传算法工具箱来进行优化。在进行多目标优化时，各个目标难以同时到达最优，且存在权重系数，而求解多目标优化问题的一个最简单的方法是构造原多目标问题的一个单值评价函数，将多目标优化问题转化为单目标优化问题，本次采用理想点法中的最短距离理想点法来构造立柱多目标优化的评价函数[11]。理想点法的计算公式如式(13)所示。

(13)

通过遗传算法求得立柱最大总变形量的最优值和最大等效应力的最优值，然后代入式(13)，求出立柱多目标优化的评价函数最终表达式如式(14)所示，其中自变量的取值范围为-1≤x1≤1,-1≤x2≤1。

(14)

在MATLAB中建立立柱目标函数后，然后在MATLAB命令窗口输入optimtool，弹出遗传算法优化工具箱GUI界面，在界面中选择ga函数作为优化函数，然后添加评价函数M文件的函数句柄，变量参数个数设置为2，同时设计变量的上限及下限,最后进行迭代计算，求得了最优值，此时变量编码因子x1为1，x2为1,而立柱多目标优化评价函数的寻优曲线图如图12所示。

将求解得到的变量编码因子最优值代入式(8)和式(9)中求得立柱设计壁厚X1为22 mm,侧面筋板高度X2为56 mm。然后在SolidWorks中根据优化的尺寸修改立柱的三维模型，最后导入ANSYS Workbench进行有限元分析，得到立柱多目标优化后的等效应力图和变形图如图13和图14所示。

立柱多目标优化前后最大总变形量以及最大等效应力结果对比，以及优化前后的差值，如表5所示。

表5 立柱多目标优化前后结果对比

综上所述，利用遗传算法对立柱进行多目标优化设计，虽然立柱壁厚由20 mm增加到22 mm,立柱侧面筋板高度由52 mm增加到56 mm，造成立柱重量稍有增加。但通过静力分析可知，立柱的最大等效应力减小5.1%、最大总变形量减小8.6%。而立柱总变形相比其他性能指标，对加工精度的影响更为重要，立柱总变形的减小保证了工作的加工精度，也使立柱的静态性能有所提高。

4 结语

本次研究是在典型工况下，对某型号工具磨床的重要部件立柱进行静态特性分析，得到了立柱静态特性云图，为优化设计提供了依据。然后应用响应面法与遗传算法对立柱进行多目标优化设计，根据优化前后的分析结果表明:优化后立柱最大总变形量减少了0.632 5 μm，最大等效应力减小了0.115 4 MPa，提高了立柱的静态特性，从而立柱的加工精度也得到了相应提高，并保证了工具磨床的加工稳定性。本次研究不但实现了立柱静态特性设计的要求，而且让立柱的内部结构变得更加合理，从而达到了优化设计的目的，同时可为其他类型工具磨床立柱的优化分析提供参考。