学科融合：数学建模活动资源开发的一个视角①——以“种群数量变化研究”为例

马 萍 王 尧 顿继安

(1.北京市海淀区教师进修学校 100195；2.中国人民大学附属中学分校 100086；3.北京教育学院 100044)

“数学建模”作为高中数学课程标准确定的六大核心素养之一，旨在推动学生关注现实世界中的真实问题，这样的问题发现与提出、分析与解决，既需要学生能够应用数学知识与数学思想方法，还需要学生能够关心自然与社会，是培养学生实践能力、创新精神、社会责任感的重要途径.

然而，教学实践中关于数学建模素养的培养效果并不尽如人意，有研究发现，当前学生数学建模素养在六个数学核心素养中的平均分得分最低[1]，说明数学教学在培养学生数学建模素养方面需要做出更多的努力.

但数学建模在教学实践中给教师带来了诸多挑战和困难.我们对北京市海淀区的69位高中数学骨干教师的调研发现，数学建模教学在实际教学会遇到不同类型的困难，其中，排在前两位的困难分别是“不知如何开发数学建模的活动案例”(82%)和“数学建模的教学设计及实施缺少指导”(69%).由此可以看出，教师亟需获得好的数学建模活动资源，或者获得开发数学建模活动资源过程的示范.

本文将以第六届中国未来学校大会“数学建模”教学设计获得第一名“种群数量变化研究”数学建模课例的开发过程为例，探讨如何从学科融合的视角进行数学建模活动资源的开发，以及如何将所开发的资源用于教学.

1 “种群数量变化研究”数学建模活动的选题背景

1.1 生物知识背景分析

“种群的数量变化研究”是高中生物选择性必修二《生物与环境》第一章“种群及其动态”的第2节内容.2017版的生物课程标准中，对本节的描述是“尝试建立数学模型解释种群的数量变动”.为达到此目标，给出了“探究培养液中酵母种群数量动态变化”的建议活动.生物课程标准中对本节内容的描述体现了对学生“模型与建模”的科学思维以及科学探究的生物学核心素养的培养与提升.

在第1节“种群的数量特征”中，学生学习了种群的特征，知道出生率和死亡率是种群数量动态变化的决定因素.但并不知道种群是如何增长的，也没有意识到种群增长的相关知识可以用于指导生产实践.学生需要在生物课上在教师带领下进行酵母菌种群数培养相关实验，并记录实验数据，这是一个非常自然的数据和项目来源.对于这些自然现象的本质的深刻理解，可以借助数学模型的视角来分析.

1.2 数学知识背景分析

本节课内容需要学生具备基本初等函数(指数、对数函数)的相关知识，也需要简单微分方程的内容，因此适合在高二基本初等函数和导数章节后开展学习.部分内容需要涉及最小二乘法的初步原理知识，虽然学生并未系统接触，也可以简要介绍原理.在参数拟合环节，可以借助相关软件进行计算.

表1 预备知识、学习模块与学习目标拆解

在以往的数学探究活动中，学生已体验过数学建模的过程，但是对于构建数学建模及对数学建模思想的认识还是不够清楚的，尤其是对于建立数学模型来分析生物学问题的方式方法并未接触过.通过本节学习，让学生经历数学建模的过程，学会用数学思维分析世界，发展数学建模和数据分析素养.

2 “种群数量变化研究”数学建模教学过程

2.1 明确课题

生物实验研究中，培养液中酵母种群数量动态变化的规律与实验设计方式有关.酵母种群的培养方法，常见的有两种：一是原瓶培养，即酵母菌始终在一个培养瓶内进行培养，中间不更换培养液，随着酵母菌的增长，培养空间和营养物质有限；二是扩瓶培养，即将一个培养瓶内的酵母菌定时接种到多个培养瓶内进行培养，培养空间和营养物质始终充足.这两种不同的实验设计会呈现出不同的数据变化规律，本次数学建模活动则将学生按照实验设计分为两组，一组进行扩瓶实验研究，另一组开展原瓶实验研究.通过每个小组和组间交流，确定的研究问题是：两种实验下菌群增长模型分别是什么？到底为什么两种实验条件得到的数学模型会有差异？哪个模型与真实世界中的种群增长规律更吻合？

2.2 分组研究

两个小组分别按照数学建模的基本过程(明确问题—开展实验—收集与整理数据—描述与分析数据—建立数学模型—给出解释)开展研究.

2.2.1 扩瓶实验下酵母菌增长模型的建立

(1)实验数据的获得与分析

扩瓶实验模拟的是为酵母菌的繁殖提供理想的条件，即有足够的生存和繁殖资源与空间，学生通过实验过程，获得数据整理为表2.

表2 种群培养实验扩瓶培养的观察数据记录

将数据描点得散点图1，可以看出曲线大致符合指数函数的增长趋势，呈现“J”形曲线的规律，大致符合指数函数的增长规律，利用函数拟合法得到数学模型.

图1 扩瓶实验数据散点图

(2)理论推演法建立数学模型

理论推演法需要首先建立假设：在有足够的生存和繁殖资源与空间，在温度、资源充足的情况下，种群可以自由生长，增长率为常数，记为λ.酵母菌初始数量N0=2450，

根据假设，任意给定时间Δt，由种群的增长率的概念得：

所以lnNt+C1=λt+C2⟺lnNt=λt+C2-C1，

令C0=C2-C1，所以lnNt=λt+C0，

所以Nt=eλt+C0，又因为当t=0时，

N0=eC0=2450，所以Nt=2450·eλt.

利用拟合软件拟合后可以发现，拟合后的指数型效果明显，误差很小，增长率λ≈0.77.

(3)实际意义的解释与检验

实际上，自然界中种群在资源和生存空间没有限制的情况下，其增长不受种群密度增长的影响，增长特点为指数增长模型：Nt=N0λt，曲线通常会大致呈“J”形，这种类型的增长称为“J”形增长，这种增长趋势反映了生物增殖的潜能，是达尔文提出的生物都有过度繁殖倾向的规律的数学解释.比如，按照这个模型规律，酵母菌在条件适宜时可2小时增殖一次，10—11天后将与地球同等质量.

2.2.2 原瓶实验下酵母菌增长模型的建立

(1)实验数据的获得与分析

原瓶实验的数学模型的建立过程与扩瓶实验类似.根据酵母菌种群培养实验原瓶培养的数据如表3所示，绘制散点图如图2所示.

表3 酵母菌种群培养实验原瓶培养的数据

(2)理论推演法建立数学模型

散点图显示的规律不同于扩瓶实验的“J”形增长，而是“S”形增长.出现这种变化的原因是种群在资源有限环境中的数量增长不是无限的，当种群在一个资源有限的空间中增长时，随着种群密度的上升，对有限空间资源和其他生存必需条件的种内竞争也将加强，必然影响到种群的出生率和存活率，从而降低了种群的实际增长率，直至种群停止增长，甚至使种群数量下降.

图2 原瓶培养数据的散点图

为了建立“S”形增长曲线的数学模型，首先提出假设：

资源的条件导致种群的增长率是变化的，假设环境容纳总量为K，变化率λt与种群还可以继续利用的空间(即剩余空间)成正比.

根据模型的假设，任意给定时间Δt，由种群增长率概念可得：

所以lnNt-ln(K-Nt)+C1=λt+C2，

这种种群增长模型称为逻辑斯谛增长，由于曲线“S”形又叫逻辑斯谛增长，是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单的形式，又称阻滞增长.

(3)实际意义的解释与检验

种群在有限资源环境中的S形增长曲线有一个上渐近线，即S形增长曲线逐渐接近于某一特定的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大环境容纳量K，当种群大小到达K值时，将不再增长，影响K值的因素是温度、空间、资源、天敌等.

对有限空间资源和其他生活必需条件的种内竞争也将加强，必然影响到种群的出生率和存活率，从而降低了种群的实际增长率，直至种群停止增长，甚至使种群数量下降.

2.2.3 两种数学模型的比较与解释

将得到的S和J放在同一个坐标系中，如图3所示，用斜线标记出两条直线之间的阴影面积，分析阴影面积出现的原因及其意义可以得到结论：种群“J”形增长曲线表明生物种群具有过度繁殖潜能.“S”形增长是生物在自然界环境阻力作用下的必然结果.阴影表示环境阻力，两条曲线数量差表示被淘汰的个体数.环境阻力减小，K值增大；环境阻力增大，K值减小.

交流中，学生探讨了为什么“S”形增长是环境阻力作用下“J”形增长发展的必然结果的问题，认识到主要原因是“J”形增长表明生物种群具有过度繁殖潜能.但是，自然条件下的空间、资源是有限的，随着种群数量增加，空间和食物资源等相对减少，种内竞争和与种间竞争加剧，天敌数量增多，这些都是阻止种群数量无限增长的环境阻力.在环境阻力下，生物的出生率下降，死亡率上升，大量个体被淘汰，一定的环境条件只能容纳一定的种群数量，种群增长曲形呈“S”形. 两者的比较通过表4呈现.

图3 “J”形增长与S形增长曲线的比较

图4 “J”形增长与“S”形增长模型的比较

那么参数K,r,N0的变化会带来怎样的影响呢？利用计算机软件，通过参数不同的变化，我们可以发现数种群的逻辑斯谛增长是受到密度制约最为显着的，密度越大越容易出现竞争；因此，在无法改变物种自身的数目和增长率的情况下，扩大种群的生存空间、增加食物资源、减少天敌是增加种群数目最快、最有效的措施.

学生也通过进一步查阅资料给出解释，例如：澳大利亚昆虫学家曾对果园中蓟马种群进行长达14年的研究，发现在环境条件较好的年份，它们的种群数量增长迅速，表现出季节性“J”形增长.在有限的环境中，如果种群的初始密度很低，种群数量可能会出现迅速增长，随着种群密度的增减，种内竞争就会加剧，因此种群数量增加到一定程度就会停止增长，这就是“S”形增长.例如，栅列藻、小球藻等藻类的种群增长，常常具有“S”形增长特点.

3 学习评价

数学建模过程中，如何评价学生的数学建模水平是一个很重要的内容，依据2017版高中数学课程标准给出的数学建模素养评价量表设计了针对本次学科融合的数学建模活动水平评价量表，如表5所示.

量表的设计考虑了三个方面的内容:一是学生科学思维和实验探究能力,这是生物学科核心素养的内容，借助学生在教学过程中的表现评价；二是在种群增长的实践应用环节，通过学生的回答等表现来评价学生解决生产生活问题的担当和能力，以及学生对知识内容的掌握情况；三是可以通过适当的课后习题作业来评价学生学习效果.

表5 数学建模水平的评价量表

4 结束语

数学建模活动资源的开发是数学建模获得能够落实的基础条件，本案例中，我们从其他学科中找素材，做了一次学科融合的尝试，让学生体会到数学在科学研究中的真实作用.

数学建模在中学落地生根与枝繁叶茂，不是一蹴而就的，还需要通过实践去解答、去检验．唯有不断思考、不断实践、不断交流，形成一大批适用于中学数学的建模案例和与之相适应的教学方法，建立健全各级各类数学建模素养的培养和评价体系，数学建模才能真正在课堂落地生根.