关于Monge-Ampère方程解的一个估计

于雪梅

【摘要】本文主要在高维非负常曲率黎曼流形中，对满足齐次狄利克雷边值条件的Monge-Ampère方程的严格凸解，构造一个辅助函数，将欧式空间中的结论推广至黎曼流形上，得到一个关于方程解的非负估计，并应用柯西—施瓦茨不等式、牛顿不等式給出详细的证明过程.

【关键词】 黎曼流形;Monge-Ampère方程;解的估计

一、引言

近几年，有关椭圆型偏微分方程

解的凸性研究是非常丰富的，主要思路是在欧式空间中进行方程解的凸性研究.其研究方法启示我将此思路拓展到黎曼流形上，在对解的水平集的曲率进行研究前，我先构造一个与上述完全非线性的Monge-Ampère方程的严格凸解有关的函数，通过详细推导对构造的函数做出估计，为后续研究曲率问题做出铺垫.

二、基本概念和记号

定义1 设Mn为n维Ck流形，如果在Mn上存在一个（0，2）阶对称正定的Ck张量场g，使得对p∈Mn，切空间TP（Mn）可以看作具有度量gp的欧式向量空间，那么（Mn，g）称为n维Ck黎曼流形.其中g为黎曼流形Mn的黎曼度量或基本张量.

四、结束语

本文对一类椭圆型偏微分方程在带有边值狄利克雷条件下的严格凸解，在高维黎曼流形上构造出一个辅助函数，进而得到一个估计，这一结论的成立对研究方程解的平均曲率、高斯曲率的估计问题有很大帮助.

【参考文献】

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