利用圆域的参数方程计算重积分

杜先云 任秋道

【摘要】利用极坐标计算二重积分，解决了一些被积函数在直角坐标系下不能积分的问题，但是确定积分区域常常比较复杂或困难.利用圆域参数方程既解决了一些被积函数不能积分的问题，又解决了确定积分限的问题，彻底解决了一些函数的重积分计算问题.

【关键词】极坐标;圆域;重积分

一、圆域的参数方程

二重积分计算中，常常利用极坐标.

目前在《高等数学》《数学分析》教材中，对确定积分区域的讲解很少.当积分区域为圆域（或部分圆域）时，若极点不是圆心，确定极径ρ与极角 θ通常比较复杂或困难.例如，对于不过坐标原点的圆周，表示极径ρ比较复杂;圆心不在坐标轴上，计算极角 θ也比较复杂.于是，我们将极点从直角坐标的原点平移到圆心，产生了圆域的参数方程（或类似于圆的参数方程）：

它表示圆心在点（x0，y0）处，半径为R的圆面.在极坐标系下二重积分的面积元素ρdρd θ来源于圆的扇形面积公式，当然适应于圆域的参数方程.因此，利用坐标平移及圆域参数方程既解决了被积函数不能积分的问题，又解决了确定积分限的问题，最终解决了一些函数的重积分计算问题.

当积分区域为椭圆域（或部分椭圆域）时，需要伸缩变换才能确定面积元素.对于椭圆域：

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