少数民族数学文化的理解与建构：基于文化活动的视角

何 伟，桑比东周，董连春

少数民族数学文化的理解与建构：基于文化活动的视角

何 伟，桑比东周，董连春

（中央民族大学 理学院，北京 100081）

探讨了Alan Bishop提出的数学文化活动内涵，并从文化活动视角出发，分析藏文化中的计数活动与测量活动，展示文化活动视角下对少数民族文化的理解和建构．在此基础之上，提出如下建议：第一，基于文化活动视角开展田野调查，建构少数民族数学文化体系，促进中国少数民族数学文化理论的发展；第二，通过文化活动连接少数民族文化与数学课堂，促进数学教学实践中少数民族文化的融入．

文化活动；少数民族；数学文化；计数活动；测量活动

1 问题提出

数学文化教学对学生数学学习具有重要的积极影响[1-2]，有助于培养学生的数学观和对数学学习的积极情感，而且能够让学生在数学学习中接受文化熏陶，提高学生综合素养[3-5]．作为中华优秀传统文化的一部分，少数民族数学文化一直受到数学教育研究者的重视．近年来，中国数学教育研究者针对少数民族数学文化开展了丰富而广泛的研究[6-7]，取得了丰硕的研究成果[8-9]．中国少数民族文化和日常生活实践中包含着丰富的数学元素和数学思想．少数民族数学文化的相关研究不仅充分挖掘和展示了中国少数民族优秀文化，积累了丰富多彩的数学文化素材[10-11]，同时也为少数民族文化融入数学教学提供了支撑和保障[12]．同时，西南大学数学文化研究团队聚焦数学教材开发，在少数民族数学文化融入小学教材方面做了诸多探索研究，取得了丰富的开创性成果[13-15]．

但是，目前少数民族数学文化研究也存在一定的不足．首先，相关研究大多在“局外人”视角下完成．陈向明在讨论研究者与研究对象关系时，对比了“局外人”与“局内人”的区别：“局内人”与研究对象有着共同或比较相似的生活经历、生活习惯、思维方式和行为方式，能够比较透彻地理解研究对象的思维习惯、行为意义以及情感表达方式；而“局外人”与研究对象往往有着不同的生活体验，只能通过外部观察和倾听来了解“局内人”的行为和想法[16]．陈向明指出，“局外人”没有长期在本地文化中生活浸润的历史，可能很难对当地的人和事中隐含的微妙之处有深刻的理解．当前，中国少数民族数学文化研究领域具有较大影响力的少数民族数学文化与教育研究团队主要为贵州师范大学吕传汉、汪秉彝团队，西北师范大学吕世虎团队，西藏大学房灵敏团队，西南大学宋乃庆团队，中央民族大学孙晓天、何伟团队[8]等．虽然这些专家团队均深入到少数民族地区进行大量深入而广泛的调研，但仍然会不同程度地受到“局外人”视角的限制．

其次，已有少数民族数学文化研究主要关注少数民族文化中承载数学元素的实体，注重从数学知识角度审视少数民族数学文化元素，而对少数民族数学思想探讨相对较少．例如，诸多研究分析了少数民族建筑、服饰、饮食、舞蹈、手工艺品中的数学元素（如数字、几何图案等），并分析了这些数学元素与数学知识关联[17]．这些研究提供了丰富的数学情境素材[7，11]，但是难以深入探索少数民族数学文化元素中所蕴含的数学的理解和运用方式，无法全面展现少数民族历史文化中所孕育的数学思想[18]．

再次，少数民族数学文化融入数学课堂教学实践仍然缺乏有效途径．姚闳耀与杨维平指出，当前课堂教学实践中融入少数民族数学文化的方式主要有两种：第一，呈现少数民族文化中的数学元素，如民族服饰和手工艺品中的几何图形等；第二，在数学问题情境中涉及少数民族背景知识，通过熟悉的文化情境引导少数民族学生从生活情境过渡到数学问题情境[19]．这两种方式在很大程度上帮助少数民族学生构建了熟悉的文化场景，激发了少数民族学生对数学学习的兴趣，增强了对数学学习的动机．但是，这样的融入方式仍然没有达成数学知识与少数民族文化的紧密有机结合，难以全面调动学生的复杂认知，同时容易造成少数民族数学元素与数学思想之间一定程度的割裂．

Alan Bishop教授，现为澳大利亚蒙纳士大学（Monash University）教育学院荣誉教授，曾在英国剑桥大学教育学院任教长达23年，期间担任过英国数学教育研究学会（The Mathematical Association，UK）主席、英国皇家学会（Royal Society）数学教育委员等职．Bishop的研究领域之一涉及数学教育的文化与社会层面，包括多语言课堂（multilingual classrooms）的数学教学，国际教育与跨文化教育，主编多部国际数学教育研究丛书[20]．Bishop从“数学活动文化相似性”出发，提出基于文化活动视角的由“局内人”审视和深入理解文化中的数学活动与数学思想，并给出6种具有文化普遍性的数学活动[21]，对于如何弥补中国少数民族数学文化研究的不足提供了一定的启示．

这里分析、探讨Bishop提出的文化活动视角的内涵，并以藏族文化为例，基于文化活动视角分析藏文化中的计数与测量活动，试图展示如何使用文化活动视角理解和建构少数民族数学文化，并在此基础之上讨论文化活动视角对中国少数民族数学文化研究和数学课堂教学的启示．

2 文化活动视角的内涵

2.1 数学活动的文化相似性

Bishop认为，对比不同文化的差异时，更加需要注意文化之间的相似性．他指出：“对比不仅告诉我们区别在哪里，而且也使我们认识到相似之处，因为两种现象之间差异能够显现的前提是，它们在某种程度上必须是相似的．”[21]他在跨文化研究中发现，不同文化发展出了不同的语言，但是所有语言的发展都基于同一个活动：沟通交流．受此启发，Bishop提出了一个平行的问题：“所有文化都发展数学吗？”在这个问题中，Bishop并非关注不同文化中发展出的数学知识和成果，而是关注数学的产生过程，即哪些活动促成了数学的发展．换言之，Bishop认为数学活动对于数学发展的作用，在一定程度上等同于沟通交流活动对于语言发展的作用．

从文化的相似性出发，Bishop提出数学活动的文化相似性，认为“所有的文化都有从事数学活动的可能性”．他指出，所有文化都包含有数学活动，并且在数学活动中衍生出数学思想．Bishop提出了不同文化所共有的6种数学活动，分别为：计数（counting）、定位（locating）、测量（measuring）、设计（designing）、游戏（playing）、解释（explaining）[21]．

Bishop指出这6种数学活动对于数学发展具有重要意义，代表了不同文化之间的相似性．所有这些活动背后均为人类社会所处环境中的现实需求，并且这些活动会反过来激发人类社会产生更多的环境需求．这些活动不仅仅把人类与自然环境联系在一起，同时把人类社会中的个体与集体联系起来．在参与活动过程中，人类需要调动多种认知过程，并且在活动中不断提升认知能力．这6种活动在所有文化中均具有很高的辨识性，同时也是现代科学、工程、制造业、贸易、农业等的基础．以下对Bishop提出的6种数学活动进行简要阐述．

2.2 6种数学文化活动

2.2.1 计数活动

计数活动是数学发展中最常见的一个活动，也是文化研究中被研究最多的数学活动．虽然目前主要使用阿拉伯数字和十进制，但是不同文化发展过程中孕育出了大量的计数体系．即使在不需要使用非常大数量的社会中，也包含着丰富的计数活动．例如，Harris对澳大利亚土著数学的调查中发现了“一二多”计数体系的普遍使用，几乎所有的澳大利亚土著民族语言“只包含两到三个基数词（cardinal number）”.虽然计数体系并不复杂，但说明了计数活动在不同文化的存在[22]．

2.2.2 定位活动

文化发展过程与人类对空间环境的认识有着密不可分的关联，海上陆上航行、认识所生活的区域和寻找食物都是基本的生存需求．因此，定位活动普遍存在于不同文化中，其重要意义甚至超过了计数活动．

不同文化社会使用不同的方法来编码和表征该社会所处的空间环境，这些方法复杂程度不一，会根据所处的地理位置不同而具有不同的侧重点．例如，居住在高原地区的一些巴布亚新几内亚民族，所处环境有非常多的山丘，因此，他们的语言中有不同的词汇来表示不同斜坡的倾斜度，但其语言却很难描述“水平”的概念．而生活在海岛上的民族在描述“水平”概念方面却非常容易．定位活动主要与几何概念有关，该活动所呈现的数学思想被弗莱登塔尔称为测绘学（topography）[23]．

2.2.3 测量活动

测量是数学思想发展的第三个具有普遍性和重要性的活动，它关注比较、排序，并对具有价值和重要性的对象进行量化．所有文化都认识到某些事物的重要性，但是不同的文化所表现出的重视程度不一样，这很大程度上取决于当地的环境和需要．

通常地，本地环境提供要测量的对象以及测量单位．例如，人类身体部位可能是第一个被所有文化所利用的测量工具．英文中有ell（6手或24指宽）、cubit（腕尺，古代计量单位，指自肘指尖的距离）、digit（一指宽）、英尺、hand span（手面长度）、pace（步幅）和fathom（两臂伸展的距离），所有这些都是方便进行的长度测量方式．这些或它们的同类词在大多数社会都存在．

2.2.4 设计活动

设计活动关注家庭生活、贸易、装饰、战争、游戏和宗教等目的的具有人为痕迹的物品、工艺品和相关技术．另外，设计可以应用于空间环境本身，例如房屋、村庄、花园、田野、道路甚至城镇．设计的本质在于对自然的改变，即选择一些自然物体，将其塑造成其它的形状或样式．设计活动的过程主要涉及到物体结构的改变，例如，设计者为了突出自然物体的某些部分而选择剔除“不必要”部分，从而展现设计产品的本质特征．因此，设计活动的主要关注点是从自然环境中抽象出人为所需的物体．

所有文化都有设计，但不同文化设计出来的成品不同，设计的形式也不同．设计的内容取决于设计者的需求（如农业耕作或装饰）和条件（如可用的材料）．这些需求催生了重要数学思想的出现，例如形状、大小、尺度、测量以及其它几何概念．

2.2.5 游戏活动

游戏是文化生活中一个非常重要的方面．所有的文化都包含游戏，世界上存在着大量游戏和玩游戏的记录．

但是，游戏活动与其它类型的社交活动不同：游戏活动中，人们变成玩家，真实与虚拟之间存在明确的界限，玩家在游戏中必须同意和遵守特定的规则．这些特征在一定程度上是假设性思维的雏形．同时，游戏代表了对现实世界的脱离和抽象．维果茨基认为，游戏对儿童认知发展具有重要影响，因为在游戏过程中，儿童将行动（action）和意义（meaning）两个概念区分开来，逐步形成抽象思维[24]．

2.2.6 解释活动

解释活动超越了对环境的体验和简单感知，提升了人类的认知．它把注意力集中在从其它活动中得到的实际抽象和形式化本身．前面提到的5种活动涉及到回答“多少”“在哪里”“什么”“如何做”这些相对简单的问题．解释活动是关于回答“为什么”等相对复杂的问题．

最常见的解释活动是讲故事．每一种文化都包含大量的民间故事以及故事讲述者．而世界各地都很熟悉“很久以前……”这个词，虽然实际的措词可能会不同．从数学思想的发展来看，在讲故事的过程中，语言能够以丰富多样的方式连接话语，从而催生出丰富的语言“逻辑连接词”．语言允许命题被合并、扩展、限制、例证、阐述，等等．因此，解释活动对命题与逻辑语言的形成与发展有着重要影响．

文化活动视角启发研究者从少数民族文化内部出发，深入分析少数民族文化与日常活动中的数学活动，进而展现“局内人”视角下的少数民族数学文化，为少数民族数学文化研究提供参考和借鉴．同时，该视角提供的数学活动，还能够建立起少数民族数学文化与数学课堂的关联，为少数民族数学文化融入数学课堂提供活动素材．

3 文化活动视角下藏族数学文化田野调查：以计数与测量活动为例

基于文化活动视角，这部分主要解决以下问题：藏文化中有哪些与计数和测量有关的数学活动？

3.1 研究地点与研究对象

选择了四川省阿坝州牧区一个纯牧民部落进行田野调查，该部落包括三百多户牧民．选择该部落作为研究地点，还基于以下几个原因．

首先，文章第二作者为藏族，来自四川省阿坝州牧区，作为“局内人”从小生活在牧区，熟悉藏族牧区生活实践，对藏族牧区的语言与文化非常熟悉．其次，该村落的地理位置偏僻，人口流动较少，较好地保存了藏族文化特色．同时，当地许多年轻人依旧以放牧为生，很好地继承了藏族的传统文化．

收集四川省阿坝州牧区牧民在日常生活中有关计数与测量的实践活动．在观察的基础上也有对部分人群进行简短的访谈，并选择6人进行了进一步的深度访谈．其中4位为男性，2位为女性；年龄最小的为31岁，最大为82岁．受访对象均为当地土生土长的牧民，没有长期离开过自己的家乡，没有上过学．

3.2 研究方法与数据收集

主要使用文献分析法和田野调查法．

3.2.1 田野调查法

研究者深入选取的村落并居住两个月，观察并参与村民日常生活中有关计数与测量的生活实践活动，同时针对这些活动与村民进行个案访谈．

3.2.2 文献研究法

查阅有关藏族数学与文化的相关文献，梳理藏文化中与计数和测量有关的活动以及背后的文化思想．主要参考的藏文著作与典籍包括：《东噶·洛桑赤列文集（藏文）》[25]，《格萨尔王精选本（藏文）》[26]，《诺章·吾坚文论集（藏文）》[27]，《俱舍论注释（藏文）》[28]，《天文历算学（藏文）》[29]．

下面讨论的两种数学活动，来源于田野调查，并从上述藏文化典籍中得到印证．

3.3 藏族文化生活的数学计数活动

藏文化中，计数法主要根据计数工具不同，有结绳计数法、刻木计数法、画痕计数法、手指计数法、念珠计数法和石子计数法等，其中结绳计数法、刻木计数法、画痕计数法是在藏区还没有书面文字前主要使用的计数法．而如今，藏区日常实践活动中常见的计数活动主要有念珠计数、石子计数、数字3作为基数的计数、“数牛”计数．

3.3.1 念珠计数

这种计数方法是最常用的计数方法．念珠是藏族人最常用的一种计数工具．在日常生活中计算各种事物，时常会取下佩戴在脖子上或手上的念珠进行计数和简单的加减计算．使用念珠计数最大可以数到亿．

（1）念珠的构造．

图1为当地牧民的念珠及其示意图．念珠的实物图在当地牧民家中拍摄，为了便于说明念珠的计数方法，念珠示意图中标记了表示各数位的珠子名称．念珠有6个组成部分，分别是“顶珠”“百位珠”“千位珠”“万位记子”“百万位珠”以及其它108颗普通珠子．顶珠位于中间，并且最大．念珠总数108颗，每拨动一颗计数一次．

图1 阿坝州牧区藏民所使用的念珠与念珠示意图

“百位珠”“千位珠”分别位于顶珠左右两侧，由两根带子组成，每根带子分别附有10颗珠子，称为“扎木”（འཛབ།）．两根带子中，末尾带有铃铛式样的常用来计算百位，为“百位珠”（ཕྲེང་སྐོར་བརྩི་བྱེད་ཀྱི་འཛབ།）；末尾带有金刚式样的常用来计算千位，为“千位珠”（བཅུ་སྐོར་བརྕི་བྱེད་ཀྱི་འཛབ།）．计数满100次，“百位珠”拨动一颗；“百位珠”共10颗，拨动10颗后，对应“千位珠”拨动一颗．

念珠中间附有一条细绳，称为“万位记子”（ཁྲི་བརྕི་བྱེད་ཀྱི་གྲངས་ཐག），计数开始时，“万位记子”在顶珠一侧紧挨着顶珠，随着计数的进行，每计数1万，“万位记子”位置顺次移动一颗珠子．同时，念珠还附有一个金属夹片，为“百万位珠”（ཕྱེ་ལྕག），计数开始时，百万位珠在顶珠一侧紧挨着顶珠，随着计数的进行，每计数100万，百万位珠位置顺次移动一颗珠子．

（2）念珠计数具体方法．

用念珠计数的具体方法是：从顶珠一侧开始，用大拇指往顶珠拨动一颗珠子，计数一次，当拇指到顶珠的另一侧时，计数为108次，近似记为100，称为“一个珠圈”（ཕྲེང་སྐོར་གཅིག），此时把“百位珠”上的小珠子往上拨动一颗，表示一个100．此后，在此从顶珠一侧开始，继续计数，依此循环进行．

当把“百位珠”的10颗小珠子都往上拨完后为10个100，即为1 000，称为“一个十圈”（བཅུ་སྐོར་གཅིག），此时再把“千位珠”上的小珠子往上拨动一颗．当把所有“千位珠”的10颗小珠子都往上拨完后为10个“十圈”，即为1万．此时把“万位记子”从顶珠一侧往另一侧移到一颗珠子前．

当“万位记子”移动到顶珠的另一侧时为108个1万，即为108万，近似记为100万．此时把“百万位珠”从顶珠一侧往另一侧位移到一颗珠子前．依此进行下去，当把“百万位珠”移动到顶珠的另一侧时为108个100万，即为“一亿零八百万”，近似记为1亿．这样，很多藏族人即使不识字，也能通过从100到1亿算得很清楚．

计数过程中，体现了进制与近似的思想．普通念珠拨动108次为一个循环，近似记为100，“百位珠”拨动一颗珠子；10个循环为10个100，记为1 000，“千位珠”拨动一颗珠子；100个循环为10个1 000，记为10 000，“万位记子”移动一个位置；10 000个循环之后，万位记子移动108次（近似记为100次），计数100万，此时“百万位珠”移动一个位置．当“百万位珠”移动108次（近似记为100次）后，计数1亿．

（3）念珠计数中的进制．

在使用念珠进行计数的过程中，十进制和百进制两种进制交替使用．

首先，念珠计数中使用了百进制．普通念珠每拨动100次记为100，此时“百位珠”上拨动一颗珠子．

其次，念珠计数中使用了十进制．“百位珠”上的一颗珠子表示100，“百位珠”拨动10颗珠子后，为1 000，此时“千位珠”上拨动一颗珠子；“千位珠”上的一颗珠子表示1 000，“千位珠”拨动10颗珠子后，为10 000，此时“万位记子”移动一次．

再次，念珠计数中使用了第二次百进制．“万位记子”移动一次为1万，“万位记子”移动100次记为100万，此时“百万位珠”移动一次；“百万位珠”移动100次，为1亿．

3.3.2 石子计数

在藏区家庭和寺院中经常可以见到石子计数的情景，如图2所示．

图2 藏区家庭中的小石子

用于计数的石子总共20颗，分上下两个区域（也有分左右区域的）并分别放置10颗石子．计数活动开始时将这两个区域的石子放置于各区域的左端．每计数一次人们将下方区域的一颗石子往右放，计数满10次，则下方区域的10颗石子都在右侧．此时，将上方区域中的左边的小石子往右边放置一个，表示10，然后又将下方区域的石子每计数一次往左放一颗．计数满10次，下方区域的10颗石子都在左侧，即为第二个10、以此类推，第三个10、第四个10……当上方区域的10颗小石子都放置在右侧时，表示总共计数100次．

整个计数过程用的都是十进制的方法．即上方区域的一颗石子表示“10”，而下方区域中的一颗石子表示“1”．

3.3.3 数字3作为基数的计数

在藏文化中，数字3被认为是一个很吉利的数字．同时，数字3作为基数在藏区日常生活中的应用十分广泛．日常数一些事物的数目时，常常会使用数字3作为基数，并且对数字3以及3的倍数都能迅速说出来．

需要数较多的牛或羊时，很多人会“三，六，九，十二，十五，……”这样三个三个数，并且数得很快．此外，谈论年龄时也经常使用数字3．比如，藏族谚语中，“男大五三一十五1藏语中，语序为“五三一十五”而非“三五一十五”，本文保留原始语序。时，不问父其法；女大五三一十五时，不求母其食（ཕོ་ལོ་ལྔ་གསུམ་བཅོ་ལྔར་ཐོན་དུས།བློ་ཕར་མ་འདྲི།མོ་ལོ་ལྔ་གསུམ་བཅོ་ལྔར་ཐོན་དུས།ཟས་མར་མ་སློ ང་།།）．男大五三一十五时，可驭“宝鸢”骏马；女大六三一十八时，可辨牛奶之温（ཕོ་ལོ་ལྔ་གསུམ་བཅོ་ལྔ་ལ།རྟ་འོལ་བའི་ཁ་ལོ་བསྒྱུར།མོ་ལོ་དྲུག་ གསུམ་བཅོ་བརྒྱད་ནས།ཞོ་འོ་མའི་ཚ་གྲང་འབྱེད།）．女满六三一十八岁，是适嫁人非独守（མོ་ལོ་དྲུག་གསུམ་བཅོ་བརྒྱད་ལ་ཐོན་དུས་ཡུལ་ནས་མ་འདུག་གནས་ལ་འགྲོ་རན་རེད།།）”．

父母教育孩子时，也经常能听到这样的话，“你都已经五三一十五（六三一十八）岁了，怎么还这样呢？”等，而不直接说15岁或18岁．

3.3.4 数牛计数

藏族牧区，人们生活依靠饲养家畜，主要有牛、羊、马等．为了防止丢失，需要定期清点数目．其中马的数目一般比较少，多数家庭只有不到10匹或10~20匹左右，所以一看便知．羊因其天性基本不会有离开羊群的现象，所以一般情况下，“数羊”活动比较少见．牛的数目比较大，藏区牧民需要定期清点牛群中牛的总数目，如果发现牛的数量不够，还需要知道牛群中到底缺少哪些牛．为了这样的实际需求，藏族牧民就有了一套大家基本共用的清点牛群的方法，称为“数牛法”（ངོའི་ཚང་།）．“数牛法”最大的特点是牛群按一定的标准分类，然后再进行分类计数．

数牛法中，对牛具体分类的方法如下．

（1）母牛首先按是否带有小牛分成两类：无带小牛的母牛，统称为“干母牛”（འབྲི་སྐམ།）；带有小牛的母牛，统称为“带小牛的母牛”（ཁྲིད་མ།）．

（2）“带小牛的母牛”又按它的小牛的岁数来分成两类，母牛一般两年生一次小牛，所以分为带有0岁小牛的母牛，统称为“带犊母牛”（བུའུ་ཁྲིད།），带有1岁小牛的母牛，统称为“带‘亚’（ཡ་རུ།为一岁小牛的统称）母牛”（ཡར་ཁྲིད།）两类．

（3）其余的0~7岁按年龄来分类，0岁的小牛统称为牛犊（བེའུ་ལི།），1岁的统称为“亚热”（ཡ་རུ།），2岁的牛统称为“单牙”（ཤད།），3岁的牛统称“双牙”（སོ་གཉིས།），4岁的牛统称为“四牙”（སོ་བཞི།），5岁统称为“六牙”（སོ་དྲུག），6岁的牛统称为“齐牙”（ཁ་གང་།）．2岁和3岁的牛又按性别分类，分为“单牙”母牛，“单牙”公牛，“双牙”母牛，“双牙”公牛．从4岁开始母牛就会生小牛，所以按母牛的分类标准分类．

（4）一般公牛到了7岁以后会卖掉很多，只留几头作为运输工具的公牛，统称为“驮牛”（ཁལ་གཡག）．

数牛过程中体现了分类的思想，牛的分类有严格的标准，使得整个计数过程变得有序且不易出错．

3.4 藏族文化生活中的数学测量活动

藏区日常生活中普遍使用的测量活动主要有4种：长度测量、重量测量、面积测量、体积测量．限于篇幅，这里主要讨论长度测量，包括物体长度的测量和时间长度的测量．

3.4.1 物体长度的测量

在藏族文化中，物体长度测量单位从最短的“极微尘”到最长的“坝克蔡”，一共有16个单位．这16个单位又分为两类，前7个单位称为“细致”的测量单位（ཞིབ་པའི་ཚད་གཞི།），后9个称为“粗略”的测量单位（རགས་པའི་ཚད་གཞི།）．

“细致”的测量单位：极微尘（རྡུལ་ཕྲ་རབ།）、微尘（རྡུལ་ཕྲན།）、金尘（ལྕགས་རྡུལ།）、水尘（ཆུ་རྡུལ།）、兔毛尘（རི་བོང་རྡུལ།）、羊毛尘（ལུག་རྡུལ།）、牛毛尘（གླང་རྡུལ།）．“粗略”的测量单位：日光尘（ཉི་རྡུལ།）、虱子蛋（སྲོ་མ།）、虱子（ཤིག）、青稞粒（ནས་འབྲུ།）、指节（སོར་མོ།）、肘（ཁྲུ།）、弓（གཞུ་འདོམ།）、江查（རྒྱང་གྲགས།）、坝克蔡（དཔག་ཚད།）．单位之间相互换算关系如下．

在藏区日常生活实践中最常用的长度测量单位有：指节、卡、肘、弓、江查和坝克蔡，这些都基于藏族日常生活中的实物，下面进行具体介绍．

（1）指节．

指节是藏文化中最基本的测量单位之一．1指节为1一个手指的宽度，约为半寸．常用4个长手指一起来测量，为4个指节，如图3所示．

（2）卡．

1卡即大拇指尖和食指尖张开的长度．这是测量比较小的物体长度的最常用的一个长度单位．图4为当地裁缝正在以卡为单位测量布料．

图3 四个指节

图4 卡

（3）肘．

1肘即从中指尖到肘弯处的长度．看书时，书与眼睛的距离要有一肘之长（如图5）．

（4）弓．

1弓即成人两臂左右平伸时两中指尖张开的距离．这是藏区最常用的长度单位．图6为当地妇女正在用弓测量衣服．

图5 肘

图6 弓

例如，在做帐篷时，要使用弓、卡、指节这样的长度测量单位．开始做牛毛线用弓来测量线的长度，做完线后，纺织牦牛毛布料也用弓来测量布的长度，最长的有18弓，一位勤劳的妇女一天最多能纺织2弓，所以18弓长度的布能在10天内织完．而布料的宽度则用卡来测量，一般做搭帐篷的牦牛毛布料的宽度在3卡左右．裁剪布料过程中则用弓来测量，比如帐篷的长度、宽度和线条长度．帐篷左右相连的线长度则用卡，一般控制在左右各一卡半，总长3卡．还有一些线头和角落的设计细致到用指节来测量．图7为一个藏区帐篷．

图7 牧区帐篷

（5）江查．

1江查有两种解释法，一种是1个江查的长度为500个弓，而另一种民间说法是一个音量较大之人的喊声所能传达的距离．比如：由于僧人和普通人在生活习惯上有很大的不同，所以在藏区，一般寺院与村落的距离至少要有1江查的距离．按统一长度单位，1江查约为1公里．

（6）坝克蔡．

1坝克蔡长度为8个江查，是藏文化测量单位中最大的单位．在很多藏族民间故事里经常见到“从一个国家走了多少多少千坝克蔡后到了另一个国家，又走了多少多少千坝克蔡后到了另外一个国家”这样来描述国家与国家之间的距离．

除了上述的长度测量单位外，在藏区也有一些其它的长度测量方法，像声音、视野、马程、射程等．在描述与邻居的距离时常常会“喊能听的见，望能看得见”．两地的距离常常用步行或马程等来计算，比如“阿坝到拉萨的距离有一个人两个多月徒步的路程”“从夏季牧场到寺院的距离有一个人一天的脚程”“夏季牧场到冬季牧场有半天的马程”“毛儿盖到拉卜楞寺的距离有一匹骏马18天的马程”，属于安多藏区四大草原之一的热尔草原据说就有一天马程的长度．因此也有一句“人情世故只有深思才知道，路的长度只有走了才知道（དུས་གསུམ་བྱ་བ་རྟོགས་ན་ཤེས། ལམ་གྱི་རིང་ཐུང་སོང་ན་ཤེས།）”这样的谚语．

3.4.2 时间的长度

关于时间的测量主要集中在藏族历算．藏族历算中主要有；息（དབུགས）、漏分、漏刻、昼夜、月、年、饶迥（一饶迥为60年）．

其中，“息”定义为壮年男子一呼一吸所需的时间．藏族历算学中测定一昼夜为21 600息，即每分钟15息．藏族历算中，测量单位的换算关系为：

1昼夜=60个漏刻；1漏刻=60漏分；1漏分=6息．

在日常生活中，藏族人白天主要以太阳的位置作为时间点，而晚上主要看月亮或星星．比如，人们常说：“初八的月亮照明至上半夜，下半夜晨明星照亮至天亮．”还有一些牧区妇女通过一种会在凌晨4点左右鸣叫的鸟声作为闹钟，听到这种鸟叫声就起床开始挤牛奶．还有一夜时长为“肉眼看手心的纹理，从看不见手心纹理到看得见手心纹理为一夜时长”等．

藏族文化中，最短的时间叫“一瞬间”（སྐད་ཅིག་མ།），定义为壮年男子打响指速度的六十五分之一，并有着“时间极限一瞬间”（དུས་མཐའི་སྐད་ཅིག་མ།）的说法．

3.5 小结

基于文化活动视角，由“局内人”主导对藏文化中计数与测量活动进行分析．藏族文化生活中念珠计数、石子计数、“数牛”等计数活动体现了藏族文化中的进制、近似和分类讨论思想；藏族文化生活中物体长度测量和时间长度测量活动体现了藏族文化对长度的认识和对度量衡的数学思考．

4 对少数民族数学文化研究与课堂教学实践的启示

文化活动视角没有局限于少数民族文化中数学元素的呈现，而是聚焦少数民族文化生活与数学的紧密联系，分析少数民族文化生活中如何使用数学知识，进而体现了少数民族文化中的数学思想．下面讨论文化活动视角对于中国少数民族数学文化研究和课堂教学实践的启示．

4.1 基于文化活动视角建构少数民族数学文化体系 促进少数民族数学文化理论的发展

为了进一步促进中国少数民族数学文化研究，可以考虑基于文化活动视角开展以“局内人”主导的田野调查和文献研究，以数学活动为载体对少数民族数学文化进行理解和建构．首先，研究人员构成上，应当以具有共同文化背景的“局内人”为主体，尽可能全面准确地展现“局内人”对本民族数学文化的理解．其次，在研究方法上，“局内人”需要深入到能够体现本民族文化生活的场所和情境中进行较长时间的跟踪调查，对本民族文化生活活动进行细致地梳理、理解和反思，并与本民族文化的传承者进行个案访谈，同时还要查阅与本民族文化有关的典籍文献．最后，在研究结果呈现上，通过综合田野调查和文献分析，聚焦6种数学活动，全面梳理本民族文化中的6种数学活动并反映活动背后的数学思想．

最终可以针对每个特定少数民族构建以6种数学活动为载体的少数民族数学文化体系，不仅可以展示某一民族的数学文化特征，同时能够在不同民族中的优秀数学文化之间建立有机联系，横向对比不同少数民族文化中同一类型数学活动的相似之处和各自特点，实现不同少数民族数学文化的多元整合，形成多元统一的少数民族数学文化体系，进而从整体上推动中国少数民族数学文化理论的进一步完善．

另外，Bishop在讨论6种数学活动种类时指出，不同文化之间共有的数学活动可能不止6种，通过对数学文化活动的进一步研究可能会补充更多的数学文化活动．中国具有较为丰富的少数民族文化资源，能够支撑对Bishop数学文化活动类型的拓展和丰富，构建除了6种数学活动以外的其它活动类型，进一步完善数学文化活动理论．

4.2 以数学文化活动为载体 促进数学教学实践中少数民族文化的融入

数学教学实践中融入少数民族文化的关键在于加强数学课程内容与少数民族文化中的数学思想之间的联系[30–32]．数学文化活动能够在少数民族文化与数学课程之间建立起沟通的桥梁．Bishop提出的6种数学文化活动，均与中小学数学课程内容有着密切的联系．例如，计数活动与数学课程中数的认识、数的运算相关，测量活动与几何图形、时间的认识等相关．因此，通过数学文化活动建构少数民族数学文化体系，本身就包含活动属性，提供了与数学课堂融合的情境和载体，能够将少数民族数学思想融入到数学课堂教学中，不仅让少数民族学生感受到数学与生活的紧密联系，同时能够让学生从文化层面认识和理解数学．

一方面，基于多元统一的少数民族数学文化体系，建立丰富多样的数学文化活动教学资源库．教学资源库以数学文化活动为主体，围绕不同数学内容创设适用于中小学课堂的数学活动方案．学生在完成不同数学活动的过程中，体会不同民族的数学思想并在此基础上建构对数学知识的理解．

另一方面，已有研究表明教师数学文化素养是培养学生文化素养的决定性因素[33–34]，因此可以考虑将数学文化活动理论及其研究成果加入到全国数学师范生培养和教师培训课程体系中，加强教师数学文化素养，提升数学教师对中华民族优秀文化的认识和理解，推动中华民族优秀文化在数学课堂教学中的融入，最终促进学生文化素养的提升．

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Interpreting and Constructing Mathematics Culture of Ethnic Minorities: A Perspective of Cultural Activity

HE Wei, Sang Bi Dong Zhou, DONG Lian-chun

(College of Science, Minzu University of China, Beijing 100081, China)

This article introduces the mathematical cultural activity theory proposed by Alan Bishop and analyzes counting and measuring activities in Tibetan culture from the perspective of cultural activities in an effort to show how to use the perspective of cultural activities to interpret and construct ethnic minority culture. It discusses the implications of cultural activities for the research of mathematics culture of ethnic minorities and for mathematics classroom instruction. This article proposes the following suggestions. First, studies should carry out field surveys based on the perspective of cultural activities, a system of ethnic minority mathematics culture should be constructed, and the development of ethnic minority mathematics cultural theory should be promoted. Second, ethnic minority culture should be connected with mathematics classrooms through cultural activities to promote the integration of ethnic minority cultures in mathematics classroom practice.

cultural activity; ethnic minorities; mathematics culture; counting activity; measuring activity

G752

A

1004–9894（2021）02–0071–07

何伟，桑比东周，董连春．少数民族数学文化的理解与建构：基于文化活动的视角[J]．数学教育学报，2021，30（2）：71-77．

2021–02–23

中国基础教育质量监测协同创新中心重大关注课题——数学文化对小学生数学素养发展作用的测评研究（2016-06-009-BZK01）

何伟（1963—），女，蒙古族，黑龙江齐齐哈尔人，教授，主要从事数据挖掘、少数民族数学教育研究．董连春为本文通讯作者．

[责任编校：周学智、陈隽]