不可逆量子斯特林热泵循环性能分析与优化

刘 存，殷 勇*，2，杨 晗 ，朱 鹮 ，李恩泽 ，汪 浩 ，杨永康

1.武汉工程大学光电信息与能源工程学院，湖北 武汉 430205；2.武汉工程大学热科学与动力工程研究所，湖北 武汉 430205

有限时间热力学［1-4］致力于求解在不同的约束条件下系统的最优热力性能。随着低温与微纳米技术的发展，许多学者［5-8］把有限时间热力学拓展到了量子力学领域［9-10］。在这些系统（量子放大器，激光制冷机，磁制冷机，半导体热电发电机，光伏发电，自旋以及偶合谐振子等等）中，需要应用量子热力学的分析方法。对有效质量为零的粒子，需要应用相对论量子力学进行分析。

1984 年，Kosloff［11］建立了第一个量子热机模型。随后，许多学者建立了不同类型的量子热力装置。Roßnagel［12］建立了单原子驱动的量子热机模型，Terças［13］建立了由两个纳米谐振子驱动的量子热机模型，Su 等［14］建立了基于量子共振隧穿的三端量子点热机模型，鄂青等［15］分析了以广义势阱中粒子为工质的量子热声微循环的性能，文献［16-17］研究了以一维无限深势阱中粒子为工质的量子斯特林热泵［16］与制冷循环［17］的性能。作为一个最简单的量子系统，一维无限深势阱得到了大量的关注，许多学者以无限深势阱中粒子为工质，建立了各种量子热力模型（如量子卡诺循环［18］、量子奥托循环［19-20］、量子斯特林循环［21-23］、以及一种没有经典对应的由3 个过程所组成的量子循环［24-25］），并得到了许多有意义的结论。2011年，Abe［26］假设势阱壁以一个有限速率运动，得到了循环的周期以及热机的输出功率。王建辉等［27-28］以一维无限深势阱中极端相对论粒子为工质，建立了量子卡诺热机模型。文献［23］建立了以无数个一维无限深势阱中极端相对论粒子为工质的不可逆量子斯特林热机循环模型，以Ω（Ω˙=(2-ηmax/η)P）函数为目标函数，对循环性能进行了分析与优化。

在文献［18，23，26，29］的基础上，本文将建立一个以一维无深势阱中极端相对论粒子为工质的不可逆量子斯特林热泵循环模型。循环由两个等温过程与两个等势阱宽度过程组成，考虑热漏，导出该热泵循环的性能系数与泵热率，并对循环的性能进行分析与优化。

1 系统的量子力学描述

相对论能量动量关系式可以表示为E=式中m为粒子质量，p为动量，c为光速。极端相对论情形下此式可以表示为E=cp。因此，囚禁于一维无限深势阱中极端相对论粒子满足如下的定态薛定谔方程［28］：

式中，ℏ为约化普朗克常数，Φ是波函数，可以表示为：

式中L是势阱宽度。系数αn以及占有几率pn=|αn|2满足归一化条件：

求解式（1）可得量子化的能级En［28］：

式中h是普朗克常数，n是量子数。En与L之间的关系为En∝L-1，这不同于一维无限深势阱（En=n2π2ℏ2/(2mL2)）与 谐 振 子 势 阱 （En=n2ℏ2/(mL2)）（En∝L-2）。系统能量期望值可以表示为：

在经典热力循环中，系统通过体积膨胀推动活塞向外运动，从而实现对外做功。设想把该一维无限深势阱的势阱壁当作经典活塞的对应物，并以有限的速率v运动。因此，系统的能量本征值会随着势阱宽度的改变而变化。根据广义力的定义：

式中dyn是与广义位移Yn对应的广义坐标。由式（4）～式（6）可得施加在势阱壁的力为：

2 循环模型

循环工质为囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子。为简单起见，只考虑能量最低的两个能级。该量子热力循环的工作物质由无数个这样的粒子组成。粒子在激发态上的占有几率由吉布斯分布律决定。该量子斯特林循环由两个等温过程与两个等势阱宽度过程组成。考虑高低温热源间的热漏，因此，本文研究的循环为不可逆量子斯特林热泵循环，在F-L图上循环示意图如图1（a）所示。

过程1-2，系统与一温度为TL的低温热源保持热耦合（T1=T2=TL）并作等温膨胀，系统从低温热源吸收一定的热量Q12并推动势阱壁向外运动，系统在每一状态点的熵为：

式中k是玻尔兹曼常数，pi表示系统在状态i时激发态（n=2）上的占有几率，例如，p1表示图1（a）中，粒子在状态1 时处于激发态上的占有几率。1-2过程中吸收的热量Q12可以表示为：

图1 （a）量子斯特林热泵循环F-L 图，（b）性能系数关于x 和 p1 的关系图（a=0.01）Fig.1 （a）F-L plane of quantum stirling heat pump，（b）relationship between ε and p1（a=0.01）

由广义力对位移积分，可以求出过程中系统对外所做的功：

在过程3-4，系统与一温度为TH的高温热源耦合T3=T4=TH，并作等温压缩，外界对系统做功。过程中系统与高温热源交换的热量可以表示为：

外界对系统所做的功可以表示为：

在过程2-3（4-1）中，系统从回热器吸收（释放）一定量的热量Q23(Q34)，系统与回热器交换的热量可以表示为：

|Q23|≠|Q41|表示该量子斯特林循环的回热过程不能实现理想回热。为保持热平衡，循环中高温热源必须传入部分热量| ΔQr|到回热器。

因为绝热线比等温线陡峭，所以有p3＞p4,p2＞p1，因此 ΔQr＜ 0，考虑到高低温热源间的热漏，假设每循环的漏热量为：

式中a（s-1）是一个常数，每循环的漏热量可以表示为Qe=，其中τ为循环周期。基于以上考虑，系统从低温热源吸收的热量Ql与释放给高温热源吸收的热量Qh可以表示为：

系统在各个状态i(i=1,2,3,4)时激发态上的占有几率由吉布斯分布给出［23，26］：

式中k是玻尔兹曼常数，Δi=Ei2-Ei1为各态i(i=1,2,3,4)的能级宽度。由式（18），可以得到：

由式（19）～式（22），可以得到：

式中r=TH/TL为高低温热源的温度之比，x=L2/L1为势阱宽度比。式（23）～式（25）意味着在r给定时，p2，p3和p4是x和p1的函数。

3 性能系数与泵热率

根据文献［23-25］，该不可逆量子斯特林热泵循环的周期为：

由式（10）和式（12）循环的输入净功可表示为：

该热泵循环的性能系数E=Qh/ | |W可以表示为：

泵热率可以表示为：

式中，ζ=kTHvˉ/(ML1k)是一个由系统所决定的无量纲纯数。

4 性能分析与优化

由式（28），可以绘出该不可逆量子斯特林热泵循环的性能系数ε随x和p1的变化关系，如图1（b）所示。r=TH/TL是系统高温热源与低温热源的温度之比，考虑到可逆卡诺循环的效率只取决于高低温的热源的温度之比，因此，本文选择温比r为一个控制变量。为了研究循环的性能系数与粒子在状态1 时处于激发态上的占有几率p1和势阱宽度比x的关系，取温比r为定值（r=2）。r=2只说明高温热源的温度是低温热源温度的2 倍，并没有确定高低温热源的具体温度。由图可知，性能系数ε随p1的增加而减小；性能系数随势阱宽度比x的变化关系为一个凸单调函数。p1取确定值时，该热泵循环的性能系数有极大值εmax以及对应的xmε。

由式（30）可以绘出无量纲泵热率关于x和p1的关系图，如图2（a）所示。绘图中各参数取r=2，a=0.01，ξ=kTHvˉ/(ML1k)=1。由图可知，无量纲泵热率Π*关于x的函数关系也是一个凸单调函数。存在一个无量纲泵热率极大值Π*max以及对应的xmΠ*。无量纲泵热率随p1的增加而减小。

图2 关系曲线：（a）无量纲泵热率关于x 和 p1，（b）不同 p1时，性能系数与无量纲泵热率，（a=0.01）Fig.2 Variation curves：（ a）dimensionless pump-heating rate with x and p1，（b）ε with dimensionless pump-heating rate in terms of different p1（a=0.01）

图2（b）为p1取不同数值时，以x为控制参数时，性能系数关于无量纲泵热率的关系曲线图。绘图时参数取值与图2（b）相同。曲线是回原点的扭叶型，这与经典热力学优化理论得到的结果是一样的。为了分析与优化该不可逆量子斯特林热泵的性能，以p1=0.01 的曲线为例，由图2（b）中曲线可知，存在一个无量纲泵热率的最大值Π*max以及对应的性能系数εmΠ*。同样也存在一个最大性能系数εmax以及对应的无量纲泵热率Π*mE。曲线被εmΠ*和εmax分成 3 段，如图2（b）中所示 I、II 和 III。在 I 与 III 上，无量纲泵热率Π*是性能系数ε的单调函数。 在这个部分，无量纲泵热率随性能系数的增加而增加。在第二部分，无量纲泵热率Π*随性能系数ε的增加而减小；反之，如果性能系数ε减小时，无量纲泵热率Π*增加。因此，区间II 所表示的范围就是由性能系数与无量纲泵热率优化曲线所决定的热泵的最优运行区间，可以表示为：

或者

当式（31）或者式（32）被满足时，对于给定的p1以及高低温热源之间的温度比r，该量子斯特林热泵循环工作在其最优区间内。在这个区间，牺牲部分性能系数可以换来更高的泵热率，或者可以通过牺牲部分泵执率来换取更高的性能系数。

如果式（33）被满足，在给定的p1，r，以及热漏系数a时，以性能系数与无量纲制冷率为优化准则，该不可逆量子斯特林热泵循环工作在其最优区间。

4 结 论

本文建立了以一维无限深势阱中极端相对论粒子为工质的不可逆量子斯特林热泵循环模型，考虑旁通热漏与不完全回热，应用有限时间热力学的研究方法，求解体系的薛定谔方程，导出了循环的输出率、热效率等性能参数，采用数值计算与函数极值理论，分析和优化了该不可逆量子斯特林循环的性能。结果表明：热泵的性能系数是p1的单调递减函数，性能系数随p1的增加而减小；性能系数是势阱宽度比x的凸单调函数。存在一个性能系数的极大值以及与之对应的势阱宽度比的取值，无量纲泵热率也是p1的单调递减函数，无量纲泵热率随p1的增加而减小；无量纲泵热率是势阱宽度比x的凸单调函数，存在一个无量纲泵热率的极大值以及与之对应的势阱宽度比的取值。以势阱宽度比为控制参数，无量纲泵热率关于性能系数的关系曲线为回原点的扭叶型，由xmΠ*＜x＜xmE所决定的区间为该不可逆量子斯特林热泵的最优运行区间。