2021年八省市高考适应性考试第20题的几种解答表述*

深圳市高级中学(集团)(518040) 谭业静 平光宇

2021年1月23-25日,第三批启动高考综合改革的八个省份进行了普通高等学校招生全国统一考试模拟演练.其中数学试卷的第20 题,对立体几何内容的考查一反常态,引起师生热议.

原题北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定: 多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如: 正四面体在每个顶点都有3 个面角,每个面角是所以正四面体在各顶点的曲率为2π −3×=π,故其总曲率为4π.

(1)求四棱锥的总曲率;

(2)若多面体满足: 顶点数−棱数+面数= 2,证明: 这类多面体的总曲率是常数.

本题以实际应用问题为背景,考查立体几何相关知识、空间想象能力,立意新颖.突出考查数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.特别是考查学生的数学阅读能力和数学符号语言的表述能力.本文整理了几种解答表述,供读者参考.

解法一(1)由题意,四棱锥在各顶点处面角之和即为各面内角之和,四棱锥有四个侧面三角形,一个底面四边形.面角之和为4×π+2π= 6π.而四棱锥有5 个顶点,总曲率即为各顶点曲率之和,所以,总曲率为5×2π −6π= 4π,所以四棱锥总曲率为4π.

(2)设多面体的顶点数为x,棱数为y,面数为z,由题意可知:x −y+z= 2.多面体在各顶点面角之和即为各面内角之和,n边形内角和为(n −2)π.而多面体一共有z个面,这z个面的所有边的总数为2y(两个面的公共边算作两条边),所包含的所有内角也恰好为2y个,因此,所有这些面角(也就是多边形的内角)之和刚好等于这z个面多边形的内角和的总和,即等于(2y −2z)π.多面体有x个顶点,而多面体总曲率即为各顶点曲率之和,所以,多面体的总曲率为:x·2π −(2y −2z)π=2(x −y+z)π=4π,即该多面体总曲率为4π,是常数.

解法二(1) 解略; (2) 设多面体顶点数为x, 棱数为y, 面数为z, 总曲率为w, 则x −y+z= 2.设多面体的z个面多边形分别是ni(i= 1,2,··· ,z) 边形, 内角和为(ni −2)π,其中,n1,n2,··· ,nz满足n1+n2+···+nz=2y,则w=2πx −[(n1−2)π+(n2−2)π+···+(nz −2)π]=2πx −(n1+···+nz −2z)π=2π(x −y+z)=4π为常数.所以,这类多面体总曲率为常数.

解法三依题意,多面体的曲率为其顶点数乘2π 减去其所有面内角之和.

(1)四棱锥有5 个顶点,4 个三角形面,1 个四边形面,故曲率为: 5×2π −4×π −1×2π=4π.

(2) 设多面体顶点数为x, 棱数为y, 面数为z, 则x −y+z= 2.设多面体的z个面中ai边形的面有bi个(i= 1,2,··· ,n),则=z,又因为每条棱恰在其两侧的两个面多边形中各出现一次,所以= 2y,故曲率为2π·x −=π(2x −π(2x −2y+2z)=4π.所以,对于任意满足题中条件的多面体,其曲率为常数4π.

解法四(1)解略;(2)设该多面体由1,2,··· ,n边形围成,其中i边形有mi(i= 1,2,3,...,n)个(其中有一些可以等于零),故棱数又顶点数x=2+y −z,所以

设αk(k= 1,2,··· ,z)为第k个面的内角之和,显然等于该多面体的所有面角之和,且

不难得出总曲率w=将①、②两式代入上式，得到

故该多面体的总曲率为定值4π.

本题的解答要求学生有较强的空间想象能力,通过数学抽象将问题符号化,并利用数学符号语言作为工具进行逻辑推理.其中关键是将每一个面,设其为ni(i= 1,2,··· ,z)边形,利用内角和为(ni −2)π,先求出面角,找出多面体的棱和各面边数的关系,再利用欧拉公式得出证明.

在解法三和解法四中,更加充分地运用了符号语言,相对于解法一和解法二,避免了许多繁冗而难以理解的文字语言表述,从而更加自然而简洁地表达出了上面所说的逻辑关系.

在高中数学教学中,重视和加强符号语言的学习和训练,既是解决数学问题的需要,也是发展数学核心素养的重要途径.