含分数阶惯容器隔振系统的临界阻尼设计

陈炎冬,徐 俊,王 芃,陈 宁

(1.无锡太湖学院 机电工程学院，江苏 无锡214064；2.南京林业大学 机械电子工程学院，南京210037)

惯容器目前主要有3种基本结构，分别是齿轮齿条式、滚珠丝杆式和液压式[1-4]，其中前两种机械式惯容器理想的惯性力为惯性系数和相对速度导数的乘积，惯容系数一般取常数，而其阻尼作用基本都忽略不计。而对于液力惯容器则不能忽略阻尼作用，一般采用并联的复合形式[5-7]，即惯容器的输出力用惯性力和阻尼力之和来表示，即液力惯容器的输出特性类似于多相介质（例如软物质、气体和固体的混合物等）的力学行为，采用经典模型描述并不准确[8]。而从分数阶微分方程建模的观点看，Westerlund[9]建议采用一个统一的分数阶导数项来描述既有惯性又有阻尼作用的多相特性，参数更少，例如采用分数阶描述黏弹性材料本构关系已经有很多成功的案例［10-11］。从文献[1-7]可知惯容器的作用主要是输出惯性力，不管哪一种形式阻尼力占比相对均较小，因此隔振系统包含分数阶惯性容器且有非线性时，还需配合阻尼控制来提升其性能[12]。文献［13-14］针对含分数阶项时的2阶系统讨论了其特征方程解的形式，指出在0到2π范围内不存在负实数的特征根，其形式都是具有负实部的共轭复数。文献[15]则把分数阶2阶系统作为非传统的2阶微分方程处理，把幅角范围从2π 拓展到无穷大，得到了具有数学意义的负实数特征根。因此本文在此基础上研究具有用含分数阶导数描述的惯容器的二阶非线性隔振系统及其阻尼控制器设计。

1 隔振系统建模

研究对象为如图1所示隔振平台[16]，U型结构为隔振平台基座，其在垂直方向由弹簧、惯容器和阻尼控制器组成，水平方向由左右对称的一对弹簧组成，图中m为隔振对象质量，kv为垂直弹簧刚度，kh为水平弹簧刚度，b为惯容系数，l0为水平弹簧初始长度，l为弹簧水平时的长度，u为阻尼控制器输出力，z为隔振对象的位移。

图1 隔振平台示意图

本文只讨论系统垂直方向振动，隔振系统有隔力型和隔幅型两种，限于篇幅，只讨论第一种情况，即假定地基是刚性的，这使得隔振平台基座的位移ze＝0。在隔振对象上作用激励力fe，ft为传递到基座上的力。假设隔振对象在隔振平台处于实线状态时所处位置为静平衡位置，虚线状态对应弹簧未变形时的初始位置，可以得到静位移表达式为

垂直方向的弹簧力、惯容器的输出力可以分别表示为

式中：μ为分数阶导数的阶次，从式(2)看出水平弹簧在垂直方向上可以起到负刚度的作用，可以使整个系统的线刚度接近于零。

由牛顿第二定律和对式(2)进行泰勒级数展开，且忽略高阶项，得到系统的动力学方程：

其中阻尼反馈控制力u=-ck，令等效线性刚度k=k1+变量记为Z，以示区别，导数用“′”表示。对上式进行无量纲变换，得系统的无量纲动力学方程为

2 力传递率

2.1 无阻尼控制时的力传递率

先讨论无阻尼控制时的情况，即U=0时，在简谐激励作用下，假设式(5)的近似解为Z(τ)=acos(Ωτ-φ)，采用谐波平衡法，对式(5)进行化简，忽略1阶以上的谐波后，得到以下关系式：

由式(4)可写出无量纲化后的输出力为

令隔振平台输出力为简谐输出，即Fout=Ftcos(Ωτ-φF)，应用谐波平衡法，可得：

根据力传递率定义[16]，由式(6)和式(9)得到力传递率表达式：

根据式(10)可知当μ=2时，ξμΩμsin(μπ/2)=0；而当1＜μ＜2时ξμΩμsin(μπ/2)≠0，所以当1-Ω2+3k3a2/4+ξμΩμcos(μπ/2)=0时，第二种情况下TF不会像整数阶时那样趋向于无穷大，即起到了类似于阻尼的作用。另外根据式(10)绘制了不同参数下的力传递率对比曲线（图中细的点线为不同情况下由于非线性引起的共振峰“弯曲”或叫“跳跃”现象曲线），如图2(a)至图2(d)所示。

从图2(a)图2(b)可以看出，在相同条件下：(1)不管是整数阶(μ=2)还是分数阶(μ=1.8)，惯容系数b的增大共振频率都是明显降低，而且效果差不多，说明取分数阶不会改变其惯性特性；(2)分数阶时共振峰的“弯曲”程度和共振峰值明显比整数阶时小，说明取分数阶可以抑制非线性特性且使惯容器起到一定的阻尼作用；(3)整数阶时有明显的反共振位置，而分数阶时几乎没有，从隔振的角度看，没有反共振是需要的。从图2(c)可以看出，在相同条件下，随着μ增大，共振峰的“弯曲”程度增大，同时降低共振频率，稳态时的力传递率值增大。从图2(d)可以进一步看出，在相同条件下，随着L的增大，共振峰弯曲的程度降低，同时共振频率降低，稳态传递率幅值基本不变，所以综合来看L取大一点好。

图2 力传递率对比曲线(m=200，kv=18 000)

2.2 有阻尼反馈控制时的力传递率

从上面的分析可以看出虽然含有惯性容器，提高惯容器系数可以明显降低共振频率，且采用分数阶导数来描述的惯容器还起到一定阻尼作用，可以降低共振幅值，符合液力惯容器的多相力学特性，但是不能完全解决非线性的“跳跃”问题。因此在前面的基础上引入可调的阻尼控制器，通过阻尼力反馈控制来提升隔振效果。根据式(5)可写出有阻尼反馈控制时隔振平台的输出力为

同样假设此时隔振平台输出力具有简谐形式，即：

然后采用谐波平衡法，化简得到有阻尼控制时的力传递率：

从式(13)看出其比前面无阻尼控制时多了一项2ξαΩ，其中阻尼系数ξα是下面设计的重点。为了抑制非线性的影响，ξα具体选多少合适呢？

3 分数阶临界阻尼设计

对于传统的二阶线性系统当阻尼比为临界阻尼比时，系统响应单调递减，系统全局稳定，那在含有分数阶导数项时是否也有临界阻尼比呢？是否能克服非线性项的影响，或可以抑制多大的非线性？

3.1 特征根在s平面负半轴上的条件

为了讨论和设计临界阻尼比，首先将忽略非线性项的自由振动方程作为讨论对象，即式(5)可以改写为

本文分数阶导数采用Caputo 定义[8]，对上式进行拉氏变换，可得特征方程：

拉氏因子s是任意复数，可表示为s=reiθ=rcosθ+rsinθi，其中模r为正实数，代入式(15)，并根据等式两边实部、虚部分别为0，有如下关系式：

由经典振动理论可知，只有特征根为负实数时系统响应才能单调递减，系统处于全局稳定。参考文献[13-14]中在0～2π 讨论了特征值的存在情况，证明当μ取分数时特征值只有负实部的共轭复数解，显然在传统理论下是不存在临界阻尼概念的。那是否说明含分数阶导数项的二阶系统的响应就不会单调下降了吗？很显然结果是否定的，事实证明分数阶系统响应单调下降情况是普遍存在的。参考文献[15]将视野拓宽，在幅角为0 至∞范围内讨论所有在数学上满足特征根为负实数的情况。具体需要满足什么条件，才能找到负实数的特征根呢？

下面将详细介绍，首先记在s平面负半轴上的特征根为-r，即sinθ=0，cosθ=-1，可得θ=(2k1-1)π，k1为整数且k1≠1，此时式(16)可简化为

下面来讨论满足式(17)的条件。当μ=2时由式(15)可以直接求得特征根为

其中：k1、k2都为整数(2，3，4，…)，μ∈(1，2)。很明显满足该条件的分数阶阶次普遍存在，但须满足分母为奇数、分子为偶数时(如14/9、16/9、16/11、18/11、20/11、22/11 等)，才能使特征根在s平面负半轴上。此时化简式17(a)可得阻尼系数表达式为

很显然，从以上分析看出，满足负实数特征根的阻尼系数是普遍的，那何时是临界状态呢?

3.2 分数阶临界阻尼和仿真验证

从式(20)可以看出阻尼不仅和结构参数μ、ξμ有关，还与特征值幅值r有关。要在选定μ、ξμ后，能够有一个最佳的阻尼系数使系统单调递减，显然应取其为所有可取值的最小值即临界阻尼，因此将式(20)对r一次求导得：

令式(21)等于0，可得ξα为极小值时对应的r值，解出r后代入式(20)可得分数阶临界阻尼，记其为ξc。当μ=2时，ξα的极小值为此时，将其代回式(15)，得到的特征值与式(18)一致。根据式(20)和式(21)绘制分数阶阶次不同时阻尼系数随特征值幅值r变化的曲线，如图3所示。结果表明其和理论预测一致。满足特征值为负实数的r和阻尼系数ξα很多，但是希望满足系统阻尼器工作时提供能量最少。图中圆圈为阻尼系数各自的最小值，该值即为保证系统单调下降时可选阻尼范围的临界位置即对应临界阻尼，大于该值为过阻尼，小于该值为欠阻尼。同时发现随着μ增大，临界阻尼也相应增大。

为了验证计算出的阻尼是否是临界阻尼，运用MATLAB/Simulink 对式(14)进行建模和数值计算，其中分数阶算子采用Oustloup近似算法[8]求解，得到不同分数阶阶次(ξμ=0.8)时和不同倍数临界阻尼(ξμ=0.8，μ=18/11)时的有阻尼自由振动位移响应，如图4所示。从图4(a)中可以看出阶次小于1时，其单调下降的速度明显比大于1时慢，说明导数阶次小于1时阻尼明显起了作用，而从另外3条曲线看出系统受到的影响不大，总的规律是导数阶次越大越好。从图4(b)中可以看出，和整数阶时情况一样，小于临界阻尼时曲线会发生震荡，大于临界阻尼时为过阻尼状态，曲线收敛很慢。

图3 分数阶阶次不同时阻尼系数随特征值幅值r变化的曲线（ξμ=0.8）

图4 有阻尼自由振动位移响应

图5为临界阻尼倍数(ξμ=0.8，μ=18/11)不同时的力传递率曲线(其中图5(a)中非线性项系数K3=10，图5(b)中K3=100)。从图中可以看出只有分数阶惯容器(ξα=0)时，曲线“弯曲”程度很大，基本没有抑制非线性影响能力，而有阻尼器且选取临界阻尼时不管非线性项系数大还是小，都可以有效抑制非线性的影响。此外，选取欠阻尼时抑制非线性能力相对较差。

图5 分数阶阶次不同时力传递率曲线(ξμ=0.8)

4 结语

本文所提出采用分数阶导数(阶次在1到2之间)描述输出特性介于惯性和阻尼之间的液力惯容器是合理的，理论分析和仿真结果表明，改变分数阶阶次的大小可以调节惯性和阻尼特性的占比，因此可以描述不同结构形式的液力惯容器，这为研究人员提供了一种新的惯性容器建模思路。含有非线性时，阻尼作用不可简单用惯性容器替代，而可通过增加阻尼控制来对其进行抑制。参考2阶系统临界阻尼的思想，设计出含分数阶导数项时的分数阶临界阻尼，验证了在惯容器参数等其他结构参数确定后对应的满足特征值为负时的阻尼只有一个极小值，且能够保证系统响应单调递减，由此证明了其为系统的临界阻尼。同时通过对比验证了考虑非线性项作用时，根据该方法得到的分数阶临界阻尼反馈控制相对无阻尼、欠阻尼时可以更有效降低振幅和抑制非线性的影响。