基于突变理论的筒形基础竖向承载力研究

张 伟，田新然

(天津大学建筑工程学院，天津 300072)

随着人类文明的不断发展，能源短缺问题已日渐显现，为了获得更多的能源资源，人类将目光放在了海上，海洋油气平台便成为了承担开采资源功能的重要基础设施．传统的海洋平台基础形式分为桩基导管架式和重力式，由于其昂贵的造价和漫长的施工工期已不再适用，因此研发一种经济、高效的新型海洋平台基础迫在眉睫．筒形基础作为一种新型的海洋平台基础形式，具有安装简单、重量轻、形式简单、可重复使用等优点，因此发展前景广阔[1-6]．

传统的海洋基础稳定性主要侧重于地基竖向极限承载力的研究，因此研究筒形基础的极限承载力便成为一个热点问题，不过由于筒形基础多用于承载条件差的软黏土地基上，海底土体强度较弱，地质条件难以确定，而且筒形基础较传统的浅基础结构形式较为复杂，常用的地基设计方法并不能直接应用于筒形基础上．目前常用的筒形基础地基承载力确定方法主要包括：极限平衡法、三维破坏包络面法、有限元法、人工神经网络法、上限与下限分析法等[7-12]．利用突变理论解决地基承载力问题目前还是一个新兴领域，但是突变理论在解决其他问题中已经得到了应用，如李强等[13]将突变理论应用于重力坝抗滑失稳的分析中，并以能量、位移及塑性屈服区面积作为突变判据建立了重力坝系统的突变模型；姚仲涛[14]以突变理论为基础，以有限元数值分析方法为手段，对地下洞室围岩稳定状况提供一个量化的指标；任智敏[15]基于尖点突变理论并结合巷顶板组合梁力学模型，建立了大跨度巷道顶板系统的失稳判据；蔡函珂等[16]通过建立势能函数方程，计算解析得出土钉抗拔极限承载力的计算公式；王新泉等[17]将尖点突变理论应用于基桩极限承载力判定及预测中，建立了基桩极限承载力判定及预测的尖点突变模型．

本文将突变理论引入筒形基础竖向承载力的计算中，分别采用理论方法和经验方法推导基础的突变模型，由此判断筒形基础的失稳点和极限承载力．

1 突变理论

突变理论是以拓扑学、奇点理论为主要数学工具，对不连续现象做定性研究的一个新型数学分支[18].突变理论的基本思想是基于分叉理论，对结构的稳定性状态进行分析，研究系统如何在参数的连续性变化过中，发生状态的不连续、跨越式变化，而引起系统整体稳定性状态的突变的规律[14]．当导致突变的控制变量不超过 4 个时，自然界中形形色色的突变过程，都可以用 7 种最基本的初等突变模型去把握，这7 种突变模型包括：折叠型、尖点型、燕尾型、蝴蝶型、双曲型、椭圆形、抛物型[19]．其中尖点突变模型是比较常用的形式，目前已被应用于隧道围岩稳定性、重力坝抗滑稳定、边坡稳定性、巷道顶板稳定等工程问题．尖点突变理论的势函数是

式中：x 为状态变量：μ 、ν 为控制变量，故相空间是三维的，这个势函数的临界点方程，即平衡曲面是

方程的奇点集满足

联立方程(2)、(3)，消去x 得到分叉集 Δ =8μ3+27ν2= 0．尖点突变理论势函数(平衡曲面)和控制变量平面如图1 所示．

由图1 可知，该突变模型的模态是一个三维连续曲面，如果某一势函数下的状态由一个点表示，那么这个点始终处于平衡曲面上．平衡曲面内部发生弯曲折叠，分叉集(Δ= 0)即为褶皱面在(μ ,ν )平面上的投影．曲面分为上叶、中叶、下叶，分别代表了系统可能的 3 个平衡位置，且平衡点数量不同．在中叶，平衡点是势函数的极大值，所以中叶不稳定，上、下叶平衡点是势函数的极小值，所以稳定，当一个状态点从上叶向下叶或从下叶向上叶转换时，如果经过褶皱面，则必然发生突变．因此褶皱面所对应的分叉集直接为尖点突变提供了判断依据[20-21]．当0Δ ＞ ，对应分叉集外部区域，每一组μ 、ν 对应唯一一个平衡点，系统稳定；当0Δ ＜ ，对应分叉集内部区域，每一组μ 、ν 对应3 个平衡点，系统失稳，发生突变．

图1 尖点突变的一般形态Fig.1 General form of cusp mutation catastrophe

突变理论的使用主要包括理论方法和经验方法，理论方法是用严谨的物理阐释和精确的数学推导，直接得到系统势函数的表达式；经验方法是根据一系列已知数据反演得到势函数[15]．第 2、3 节分别对两种方法进行描述，并于第4 节分别基于两种方法进行具体的算例分析．

2 基于筒基总势能的尖点突变模型

假设筒基的 -P s 曲线符合方程[17]

式中：P 为筒形基础承受的竖向作用力，Pa；s 为筒形基础的竖向位移；λ 、a 为参数，可由 -P s 曲线拟合得出．

取整个筒基作为研究对象，根据功能增量原理，当筒基竖向位移为s 时，所受荷载势能改变量V 为基础所受外力做功之和，即

式中：if 为i 层土筒周表面的摩阻力系数；iA 为i 层土筒侧面积；dq 为筒端承载力；pA 为筒端面积；G 为筒体重量．

将 ( )P s 在12s a= 处用 Taylor 级数展开，取前 3次项，后面的高次项取消，得到

由此得到分叉集

根据尖点突变模型可知，只有当0μ ＜ 时，分叉集方程才能成立，经拟合试算λ 为恒大于零的实数，因此μ 确实小于零，满足尖点突变的要求[16]．

当0Δ= 时，系统介于稳定与不稳定的临界状态，此时由式(9)可求得临界失稳点

代入式(4)即可求得筒形基础的极限承载力．

3 以位移为判据的尖点突变模型的构建

本节根据数值模拟的结果或实测数据进行多项式拟合，由其对应的突变类型，推导出相应的控制变量和分叉集，由此判断系统是否发生突变，因此尖点突变模型的构建核心即为系统势函数的推导．这一步可以分为确定突变判据和反演势函数两个步骤．

筒形基础在承受荷载的过程中，必然伴随着筒基位移、土体塑性应变、等效应力、系统应变能等的变化，因此将位移、塑性应变、等效应力、应变能作为突变判据．本节仅以位移判据为例，推导系统的势函数．因为钢筒的变形很小，所以选取筒盖的平均位移代表整个筒体的位移，在模拟筒形基础渐进失稳的过程时采用超载法，初始荷载视具体的工程而定，超载系数k 取值从1 开始递增，通过有限元软件计算得出每一个超载系数k 下对应的筒体位移δ ，再将其进行多项式拟合，由Taylor 展开，取前4 次项得[21]

式中1a 、2a 、3a 、4a 均为待定的多项式系数．

设k p q= - ，34/4=q a a ，则上式化为

其中

根据尖点突变理论，可得筒形基础系统失稳判据的判别式为

当0Δ ＞ 时，系统稳定；当0Δ ≤ 时系统失稳．

4 算例分析

4.1 数值计算分析模型

采用ANSYS 程序进行数值计算，计算模型的筒直径 D = 0 .4 m ，筒高 h = 0 .4 m，壁厚 t = 0 .003 m，地基土体区域取为圆柱体，水平向取 8 倍筒径，竖向取4 倍筒高，经过试算，这样的地基土体计算区域可消除边界效应对计算结果的影响．

计算中，筒体采用线弹性模型，弹性模量取为2.1 × 1 08kPa ，泊松比0.3．土体采用Drucker-Prager 模型，土体重度取 1 6 kN/m3，弹性模量取730 kPa ，泊松比0.4，黏聚力3.4 kPa，内摩擦角取为4°．

根据筒形基础结构和承受荷载的对称性，同时为了减小计算量，取一半的筒形基础和其周围土体作为计算区域，筒体和地基均采用六面体八节点的solid45 实体结构单元进行网格划分，共划分 26 152个单元．接触设置中，筒体外壁与土体采用摩擦接触，摩擦系数取为 0.5，筒体内壁与内部土体采用粗糙接触，其余均设置为绑定接触，接触行为采用基于罚函数的方法．有限元计算模型如图2 所示．

图2 有限元计算模型Fig.2 Finite element model

4.2 加载情况

初始荷载设置为 1 000 N，对应超载系数 k = 1，以0.02 作为步长，逐级增加荷载，计算出每一超载系数对应的位移δ ，直至模型不再收敛．当超载系数为ki时，取 ki-2到 ki+2所对应的位移进行多项式拟合，求出尖点突变模型标准形式中的控制变量μ 、ν 和分叉集Δ，然后对此时系统的状态进行判定．

4.3 计算结果

经过计算，得到的超载系数与筒体位移的规律见图 3．

图3 超载系数与筒体位移的关系Fig.3 Relations between overload coefficient and displacement

将数据按照第 4.2 节的方法进行拟合，并带入公式(12)～(19)，求出每组数据对应的a、b、Δ 值，计算结果见表1(篇幅所限，且k 在1 ～2.3之间时位移变化平缓，并未发生突变，故仅选取k 在2.3 ～2.8之间).

通过表1 的计算结果可知，筒形基础在超载系数k = 2 .62时，Δ =- 1 .557 × 1 0-6＜ 0，此时系统发生突变，即筒形基础在此刻失稳，竖向极限承载力为2 620 N．

表1 位移判据Tab.1 Criterion of displacement

续表1

按照上述方法，分别计算塑性应变判据、等效应力判据、应变能判据所对应的控制变量和分叉集，为了节约篇幅，本文仅列出3 种判据所对应的有限元计算结果和分叉集，计算结果见表2．

表2 3种判据的计算结果Tab.2 Calculation results of three criteria

基于筒基总势能的尖点突变模型，得到拟合曲线，见图 4．其中 λ = 1 39 000， a =0.052 53， P=820.2 N．

4.4 结果分析

图4 拟合曲线Fig.4 Fitting curve

筒形基础作为一种新型的结构形式，并没有专用的标准和规范，但由于其结构形式和受力方式与桩基类似，因此可近似采用桩基规范来指导计算，常用方法为 API 半经验公式[22-23]；Hesar[24]、Vesic[25]将筒形基础的竖向位移达到0.1D(D 为筒直径)时所对应的竖向荷载，确定为软黏土地基上单筒基础的竖向极限承载力．

武科[26]在 Vesic 地基竖向承载力基础上，将Deng 与Carter 针对吸力式沉箱抗拔力求解方法运用到吸力式桶形基础单桶基础抗压承载力计算中，并考虑到土体与桶壁之间的黏结作用 π LDSu，则可以将单桶基础的竖向极限承载力表示成为

式中：A 为筒形基础底面积；Su为黏性土完全不排水抗剪强度；Nc= 2 +π为不排水土体的承载力系数；ξs= 1 .2为圆形基础承载力的形状修正系数；ξd= 1 + 0 .4arctan( L/D )为基础承载力的埋深修正系数，L /D 为桶形基础长径比．

将上述 3 种竖向极限承载力确定方法的计算结果与尖点突变模型的计算结果进行比对，为防止结果的偶然性，增加 4 组不同尺寸的计算模型进行计算，结果如表3 所示．

表3 突变理论方法与理论方法的对比Tab.3 Comparison of catastrophe theory and theoretical method

如图5 所示，第2 节所介绍的基于总势能的突变模型计算结果与常用的理论公式误差很大，主要原因是筒形基础的受力情况复杂，不能直接推导出精确的势能公式，故不推荐使用；而第 3 节中4 种突变判据对应的计算结果误差较小，表明本文基于突变理论计算筒形基础的竖向极限承载力以及 4 种突变判据的选择是可行的．

图5 8种方法对比Fig.5 Comparison of 8 methods

5 结 语

常用的地基承载力公式，如太沙基公式、朗肯公式、普朗特尔公式等并不能完全适用于筒形基础，计算结果与实际相差较大，而且涉及参数众多．而大多数筒形基础理论计算公式均参考桩基规范，方法存在不足之处，因为同桩基相比，筒形基础埋深较浅，并且筒形基础内部的土体同样会对计算结果产生影响，而桩基规范并不涉及内部土体的影响，所以最终结果会有偏差．本文采用的基于 4 种判据突变理论解法不用考虑筒体形状、尺寸、埋深、内部土体等因素的影响，只需将数值模拟的结果带入突变理论模型，即可得出相应的地基极限承载力．突变理论作为一种新型方法，同样也存在不足，突变理论的准确性取决于系统势函数的精确度，而通过已有数据反演的方式得到的势函数会因为选取的步长不同而存在误差，因此，选取合适的步长就成了解决问题的关键．另外，除了本文所提及的4 种判据之外，寻找更加精确的判据也成为今后研究的重点．