例析平抛的轨迹方程在解题中的应用

>>>崔媛媛

平抛运动是一个典型的运动模型，下面我们就通过几个例子，分析一下抛物线的轨迹方程在解题中的应用。

平抛轨迹方程的数学推导：

图1

如图1所示，以抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系。由平抛运动规律可知，两个方程联立消去时间t，可以得到平抛的轨迹方程为

应用一：求解抛出点的坐标和初速度

例1.某实验小组同学在“研究平抛物体的运动”实验中，只画出了如图2所示的曲线，于是他在曲线上取水平距离Δx相等的三点A、B、C，量得Δx=0.2m，又量出它们之间的竖直距离分别为h1=0.1m，h2=0.2m(g=10m/s2)。若以A点为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，物体水平速度方向为x轴正方向，利用这些数据，可求得：(1)物体抛出时的初速度为_________m/s；(2)抛出点的坐标为_____________。

图2

【解析】设物体的初速度为v0，抛出点O的坐标位置为（x0，y0)，由平抛的运动规律可得，轨迹方程把A（0，0）、B（0.2，0.1）、C（0.4，0.3）代入上述抛物线方程，可得：

联立①②③式求解可得，v0=2m/s，x0=-0.1m，y0=-0.0125m

答案：v0=2m/s，抛出点坐标x0=-0.1m，y0=-0.0125m

【点评】这类问题一般出现在实验题中，我们借助平抛的轨迹方程和已知的三个点的坐标，利用待定系数法可以同时求解出初速度和抛出点坐标位置，比常规解法快捷简便。

应用二：求解有平面或曲面约束的平抛运动问题

1.抛物线与直线相交

例2.如图3所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB与水平地面间的夹角为45°，A点到地面的距离为1m，已知重力加速度g取10m/s2，空气的阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m的C点以水平速度v0跳出，要到达蛛丝，水平速度v0至少为（ ）

图3

A.1 m/s B.2 m/s

【解析】以C点为坐标原点，水平方向建立x轴，竖直方向建立y轴，

由于抛物线与直线只有一个交点，利用根的判别式△=0解得：v0=2m/s

答案：B

【点评】利用轨迹方程求解时，我们不需要求解时间t这个参量，所以比常规方法更简洁方便。

2.抛物线与圆弧相交

例3.如图4所示，从半径为R=1m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g＝10m/s2，则小球的初速度v0可能为（ ）

图4

A.1m/s B.2m/s

C.3m/s D.4m/s

【解析】

图5

如图5所示，第一种可能是小球落在半圆左侧，第二种可能是小球落在半圆右侧。

落点在圆周上，则（x-R）2+h2=R2③

联立①②③解得：v01=1m/s；v02=4m/s

答案：AD

【点评】本题最容易出错的地方是漏解，如果利用轨迹方程求解，计算出两个结果后，发现都有意义，就不会出现漏解的情况。

3.两条抛物线相交

例4.从距地面高为H的地方A平抛一物体，其水平射程为2s。在A点正上方距地面高度为2H的地方B点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为s，两物体在空中的轨道在同一竖直平面内，且都是从同一屏M的顶端擦过，求：屏M的高度是多少？

【解析】设屏M的高度为h，如图6所示，

图6

【点评】巧妙利用轨迹方程，找到纵坐标和横坐标的比例关系y∝x2，使本题的求解过程方便、简洁。

应用三：利用轨迹方程求解类平抛问题

例5.（2020年全国卷Ⅰ，25题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图7所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小；

（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？

（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？

图7

【解析】（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q＞0，故电场线由A指向C，根据几何关系可知：xAC=R

（2）根据题意可知，要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，作AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动。

图8

设此时初速度为v1，如图8所示，以抛出点A作原点，初速度方向为x轴正方向，电场方向为y轴正方向，则轨迹方程为：电场力提供加速度有qE=ma，轨迹通过D点（Rsinθ，R+Rcosθ），代入解出

（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0，设此时初速度为v2，如图9所示，过C点做AC垂线会与圆周交于B点，故由题意可知粒子会从C点或B点射出。

图9

当从B点射出时，轨迹通过B点（Rtanθ，R），代入轨迹方程电场力提供加速度有qE=ma解出

当粒子从C点射出时初速度为0

【点评】带电粒子在电场中做类平抛运动，轨迹为抛物线，电场力提供加速度，我们只需要把重力场中平抛轨迹方程的重力加速度替换成电场力提供的加速度，就可以应用这个轨迹方程解决问题了。

应用轨迹方程求解关于平抛和类平抛的相关问题，考查了学生利用数学工具解决物理题问题的能力，这种综合分析能力是高考考查的重点和热点。同学们在复习备考中只要多总结多分析，就会有不一样的视角解决这类问题。