常微分方程教学方法的思考与探索

马和平

（湖北工业大学 理学院，湖北 武汉 430068）

常微分方程对于信息与计算科学专业的学生来讲是一门非常重要专业基础课。而常微分课程的特点是方程类型多，方法多，与其他课程衔接紧密。需要较强的逻辑性推理能力以及演算能力。因此想要学好常微分方程的前提是：

第一：学生必须对数学分析中的不定积分，微分知识以及高等代数中线性方程组的知识结构清楚。

常微分方程第二章内容是一阶微分方程的初等解法，其实可以叫做初等积分法，即用初等积分的方法求解微分方程。例如：变量分离方程tanydx−cotxdy= 0通过分离变量方法化为数学分析上册学生已经学过如何求解各种形式的不定积分的方法，对于基础知识扎实的学生来讲很容易求出两边的不定积分，从而得到方程的通解。而对于基础薄弱的学生，这个时候就无法继续下去，选择放弃，这会导致失去信心。所以如此简单的微分方程，虽然知道求解方法但是不会不定积分则是前进中的一大绊脚石。再比如在遇到线性微分方程时，可以判断出是可分离变量方程，接出通解为，通过常数变易法，另，再对y(x) 两边求导数时，学生对的导数求解不熟练，导致后面做题是求不出C'(x) 所满足的方程，因此找不到方程的通解。当讲解第四章高阶微分方程的解的结构定理的时候，用到高等代数中线性方程组解的特点以及线性相关与无关的知识。例如，讨论高阶线性微分方程：的n解线性无关情况时，通过反证法，巧妙构造线性方程组，由高等代数中知识告诉我们齐次线性方程组系数行列式为零则得到它有非零解。学生如果对这部分知识不熟悉，则体会不到学科之间的融会贯通的奥妙，对于常微分学习的兴趣大大降低，而对于基础知识扎实的学生，这种融会贯通形成促进作用，增加学习这门课程的信心，体会到学习的乐趣。

第二：对教师来讲，教师课前要精心设计与备课。

教师是这门课程的引路人，学生对课程的主动性与积极性很大程度上取决于教师对待教学的态度。教师在第一堂课中与学生讲解我们这门课程是建立在数学分析与高等代数及解析几何的基础上，提醒学生课下复习这三门课程。

1）对于课程要有严格的纪律。制定奖惩措施：对于迟到的学生，定下规矩，让他回答上节课学过的知识点，才能进入课堂。手机必须入袋，如有特殊情况请说明。请假必须有正规请假条，提交交给老师。作业按时上交，扣平时成绩2分。对于上课主动到黑板做题学生，次数大于等于3次，平时成绩直接给满分。激励学生善于积极思考。

2）教师对每个章节需要用到的以往的知识点，提前告知学生，也即教师对课程中整体内容给学生进行梳理，以便学生对知道自己该补习的内容，增强学生的好奇心与自信心。

首先要培养学生养成良好的课前预习习惯。当天要讲的新课，要求学生在课前预习，引导学生通过自己已经掌握的知识来理解新课程的内容，把教材的疑点难点记录在册[1]。对于常微分方程中没有学过的复变函数的内容，让学生分成小组，课前查阅资料。例如对z(t)如何求极限，导数以及求导法则进行证明。探讨欧拉公式是如何得到的？哪个公式被称为最美的公式？为什么？复变函数是不是也有与实函数类似的基本初等函数？三角函数如何用指数函数表示？指数函数的求导公式如何来的？共轭复数概念？如果复变函数z(t)满足齐次的解，那么它的共轭是不是方程的解呢？z(t)的实部与虚部是不是方程的解？教师在课堂上提出问题，让学生带着问题走进下次课的课堂。并且提问点名各小组分享他们查阅的资料。这种方式一方面打消了学生对未学过的知识的畏惧，另一方面自己动手查阅的资料，记忆深刻，培养了学生网上查阅资料，提高学生自学能力，拓宽了学生的视野，对讲解用特征根法求解微分方程的通解奠定了扎实的基础。实现了以学生为中心，教师作为辅助，补充说明，完善，总结。

3）要求学生做笔记，检查学生的笔记，评比出最美笔记，让学生感受到榜样的力量。学生如果只是眼高手低，则到后面知识积累越来越多，学生记忆会越来越模糊，单纯靠记忆记公式，对于论证以及演算部分很难掌握住。所以教师应该引导学生学会记讲课中问题的引出，分析的层次，解决的关键，重要的结论以及意义，自己的疑问与体会。从而从根本上改变学生“上课记笔记、下课抄笔记、考试背笔记、毕业仍笔记”的现状，从而培养学生独立求知和独立思考，解决问题的能力[2]。

4）鼓励学生有问题及时向老师向同学讨论，每讲解新知，预留40秒时间，留白，询问学生是否有疑问，可以随时提出来，绝不留着困惑留到明天。实践证明，善于问问题，总结的学生学的扎实，成绩较好。并且学生提出问题，对教师的教学工作也起到促进作用。通过学生的问题，教师反思，与学生进行讨论。使得课堂更加有活力，学生更多地参与教学工作中。

5）引入数学软件，提高学生学习兴趣。在讲解奇解与包络时，难点在于如何找到奇解与包络，虽然书中给了判定定理，但是此定理不是万能的，还需要进一步验证。此时学生可能会比较困惑，因为很多方程的通解与特解，从几何上来看是复杂的曲线，手作图是做不出来的，也呈现不出效果。因此鼓励学生使用软件求解微分方程的解，并做出图形，观察解的优美的几何图形，分析奇解情况。

常微分方程课程对数学以及信息与计算科学的学生来讲是一门非常重要的基础课，起到承上启下的作用。一方面，它是学生学习偏微分方程的基础；另一方面，对于考数学专业相关的研究生的学生来讲，常微分方程是很多学校初试或是复试都考的课程。所以对数学感兴趣，想考研的学生来讲，学好常微分方程，对学生考研增加了信心。另外，随着大学生数学建模竞赛的普及，并成为高等院校提高素质教育及教学改革的重要手段，学好常微分方程显得越来越重要，常微分方程的作用也显得越来越突出[3]。

活到老，学到老，对于教师，时刻铭记这句话，在教学中不断探索与进步。