向量组的线性相关性有关概念的高等代数教学设计

顾勇为 张锦添

（信息工程大学基础部，河南 郑州 450001）

高等代数是一门抽象性较强的课程，作为大学数学和非数学专业必修的数学专业课程，学员从中学阶段接触的二维平面、三维空间问题，拓展到高等代数中向量拓展到了n维的情形，缺乏几何直观，非常抽象，对于概念和方法都非常难以理解。并且在后面线性空间，线性变换的学习中，广义向量的引入让数学的表达方式和抽象性又有了一次全面的提升，这就需要学生培养一定的抽象思维能力，才能完成深入思考，而抽象思维的基石是不断搭建起来的一系列概念体系。旧的概念在头脑中不断根深蒂固，由抽象变为形象，成为学习新的、深一层的抽象概念的基石；而这些抽象概念又不断根深蒂固起来，不断由抽象变为形象，成为下一步学习的基石，这样思维得以螺旋上升。由此可见，数学概念的学习在教学过程中至关重要，必须进行精心设计、反复打磨。下面以高等代数中向量组的线性相关性的有关教学设计为例谈一点体会。

1）从生活和历史背景出发引入新概念。为引入向量概念，先介绍向量的历史起源。向量最初被应用于物理学，很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔用平面坐标上的点表示复数，并利用复数运算定义了向量的运算。19世纪80年代，英国数学家居伯斯在三维空间中定义了向量，并把向量概念引入到微积分，丰富和发展了解析几何。通过这些历史背景和生活场景，使学员对以往接触的向量的概念获得一个综合印象，消除对向量陌生抽象的感受。

2）强调向量组的线性相关性本质。向量组的相关性是一个教学重点和难点。线性相关与线性无关是两个相反的概念，搞清其中一个，另一个就好理解了。线性无关的向量组的定义为：若一个向量组线性组合出一个零向量时，其组合系数只能全为0，则称该向量组是线性无关的。这个定义十分抽象，必须做好教学设计，才能使学员易于接受。

我们在教学中采取了以下方法。首先复习向量组的线性表示，提出一个引例。向量组A：可以线性表示向量。然后提问：向量组A还能够线性表示哪些向量？此时学员一定发现这个向量组可以表示任意一个二维向量，或者说能表示整个二维平面R2。我们给出一个概念，二维平面R2可以由向量组A生成，即。接下来我们把三个向量组成一个向量组B：。并提出问题：向量组B能够线性表示哪些向量？学员不难回答还是二维平面R2，也不难理解。此时出现一个问题：以上有两种方式生成二维平面R2，哪一种更加简洁明了？显然比简洁明了，其原因在于向量组B多出一个向量，这个向量可以由线性表示。而向量组A中的任意向量都不能被其余向量线性表示。从直观上，认识到A这样的向量组是重要的。

接下来我们给出一个定理：一个向量组，其中的任意一个向量都不能被其余向量线性表示，其充要条件是，该向量组线性组合出一个零向量时其组合系数只能全为0。并证明之。做了以上铺垫后，我们给出线性无关的向量组的定义为：若一个向量组线性组合出一个零向量时其组合系数只能全为0，则称该向量组是线性无关的。再说明这样的向量组，实际上其中的任意一个向量都不能被其余向量线性表示。就比较好理解了。

那么为什么线性无关向量组的定义，一般不用“其中的任意一个向量都不能被其余向量线性表示”呢？这是因为，这样的定义在实践中不便操作，但这是一个易于理解的定义，它揭示了线性无关的本质。

3）运用类比理解向量组的最大无关组。人类总是在寻找构成世界的基本元素，从金木水火土，到元素周期表。向量组，特别是包含无穷多个向量的向量组，有没有较少的一些元素，或说较少的一些向量，可以生成整个向量组呢？最大无关组正是由这样的一些代表元素所构成，一方面它们可以线性表示出整个向量组；另一方面如果它们其中减少了一个，就不足以线性表示出整个向量组了，即一个都不能少。另外，最大无关组不是唯一的。这个数学概念，可以类比生活中的很多实际问题。比如，人们吃饭要讲究营养搭配，需要淀粉、蛋白质、脂肪、维生素，那么可以选择A套餐：米饭、鸡蛋，炒肉、苹果。也可以选择B套餐：面条、豆腐、鸡腿、桔子。每个套餐中各种食材具有不同的营养成分（类似于线性无关），而且营养套餐不唯一（类似于最大无关组不是唯一的）。

一个典型的问题是，已知一个向量组的每个具体向量，求该向量组的最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。为了解决这个问题，先做好理论铺垫，证明以下命题：对一个矩阵作行初等变换，不改变列向量组的线性相关性。这个命题是易于理解的。有了该命题，我们解决前述问题，就可采用以下方法，将这个向量组的所有向量按列组合出一个矩阵，对该矩阵做行初等变换，成为行最简形矩阵，从行最简形矩阵找出列向量组之间的线性关系十分方便，而此关系与行初等变换之前的列向量组之间的线性关系是一致的。这由刚刚给出的命题可知。

4）设计新概念理解线性方程组的基础解系。学习线性方程组的基础解系之前已经学习了线性方程组是否有解及其解是否唯一的判定方法，熟悉了用行初等变换求解方程组的技术路线。当齐次线性方程组的系数矩阵的秩r小于未知数的个数n时，方程组有无穷多个解。此时系数矩阵经过行初等变换化为行最简形，其阶梯数为r，剩下n-r行为零。

我们设计新概念，称前r行对应的方程为r个有效方程。有了有效方程的概念，理解和叙述都大为方便。比如，每个有效方程的第一个未知量的系数是1，称为约束未知量。r个有效方程一共有r个不同的约束未知量。其余n-r个未知量称为自由未知量。约束未知量可以由自由未知量的确定而确定。n-r个自由未知量组成一个n-r维自由未知向量，令向量中的第i个分量为1（i=1,2,…,n-r），其余分量为0。于是确定了n-r个线性无关的自由未知向量。约束未知量随着自由未知量的确定而确定。每个自由未知量与相应的约束未知量合并为一个解向量，于是得到n-r个线性无关的解向量，成为线性方程组的基础解系。然后我们阐明线性方程组的基础解系是方程组全体解组成的解向量组的最大无关组，是解空间的生成元。

5）借助几何形象理解线性方程组的解的结构。3维空间是现实的空间，直观可见。一个3元线性方程在此空间中表示一个平面，是2维空间。我们可以理解为，一个方程相当于一个约束，3维空间给一个约束，降为2维。两个线性方程组成的方程组，3维空间给2个约束，降为1维，成一条直线。3个线性方程组成的方程组，3维空间给3个约束，降为0维，成为1个点。n个未知数m个线性方程组成的方程组的解是什么情况呢？n个未知数组成的向量存在于在n维空间中，如果不给约束，就充满整个n维空间。现在给了m个方程，是不是减少m维呢？不是的。这m个方程中存在一些等价重复表达。只有经过同解变形，成为r个有效方程（或称独立方程）后，这些方程才是相互独立不能相互取代的。因此，实际上n维空间减少了r维，成为n-r维空间，这正是解空间的基本情况。