应用卷积和的离散线性时不变因果系统零输入响应求解

任 蕾， 薄 华， 金欣磊， 张韵农， 杨忠根

(上海海事大学 信息工程学院，上海 201306)

0 引言

离散线性时不变系统的时域分析主要应用两类方法：时域经典法与卷积和法，前者需求解描述系统的差分方程的齐次解和特解，后者则利用激励信号与系统脉冲响应的卷积和确定零状态响应。国内外的信号与系统主要教材尚未对应用卷积和求解离散线性时不变系统的零输入响应给出详细的阐述[1～6]。笔者团队在文献[7]中介绍了连续线性时不变系统的零输入响应的等效激励法与卷积法是等价的，即激励信号的反因果分量与系统冲激响应的卷积的因果分量就是系统的零输入响应[7]。文献[8]提出了针对离散线性时不变系统的因果移序定理，同时也介绍了零输入响应求解的等效激励法[8]。

本文在上述基础上，介绍当未知离散线性时不变系统的初始条件、而已知全激励序列时直接应用卷积和方法求解零输入响应的一般方法，并证明该方法与等效激励法的等价性。离散线性时不变系统与连续线性时不变系统的时域卷积方法是统一的，其零状态响应是全激励信号的因果分量与系统冲激响应(或脉冲响应)的卷积(或卷积和)，而零输入响应则是全激励信号的反因果分量与冲激响应(或脉冲响应)的卷积(或卷积和)的因果分量。此类方法适用于未知系统初始条件，而仅已知全激励时的全响应时域求解。本文给出例子说明如何应用此类方法。

1 离散线性时不变系统零输入响应求解的卷积和方法

1.1 全激励输入时的卷积和方法

系统的全激励f[n]是指从负无穷远时为因果分量f+[n]=f[n]u[n]与反因果分量f-[n]=f[n]u[-n-1]之和(为了避免零时刻处的信号叠加，因此规定离散序列的反因果分量是从负无穷开始到-1截止的信号)，即：

f[n]=f+[n]+f-[n]

(1)

需要说明的是，一般的，所谓线性时不变系统的零输入响应是指零时刻之后的响应，不包括零时刻之前的部分，而该部分响应是由激励的反因果分量导致的，即在参考零时刻之前，已有激励作用于系统，而以初始状态的形式呈现，但若该条件未知，而仅已知系统的全激励，则可应用提出的卷积和方法求解离散线性时不变系统的零输入响应。同时，假设系统是因果的，因此其脉冲响应是因果序列。

与连续线性时不变系统类似，脉冲响应为h[n]的离散线性时不变系统对f[n]的全响应可分解为两部分，其中激励的因果分量与脉冲响应的卷积和是系统的零状态响应，而激励的反因果分量与脉冲响应的卷积和的因果分量是系统的零输入响应，有：

(2)

当系统是因果系统时，上式可以进一步化简为：

(3)

若需观测零时刻之前的响应，则其对应激励的反因果分量与脉冲响应的卷积和的反因果分量，即：

(4)

1.2 与等效激励法的等价性证明

利用因果移序定理[8]和反因果移序定理[9]，同时借鉴连续时间系统的时域卷积和等效激励法的等价性证明过程[7]，给出针对离散线性时不变系统等效激励法与卷积和方法的等价性证明。

设描述N阶离散线性时不变因果系统的差分方程为：

(5)

上式可写作：

y[n]*A[n]=f[n]*B[n]∀n≥0

(6)

令x[n]=f[n]*B[n]，为该系统对应的规范化系统的激励信号，同时

(7)

(8)

与连续线性时不变系统类似，对式(5)应用因果移序定理后有规范化离散时间LTI系统：

(9)

(10)

于是，有：hx[n]*A[n]=δ[n]

(11)

和hx[n]*B[n]=h[n]

(12)

因此利用卷积和方法得到的系统零输入响应为：

(13)

下面利用反因果移序定理[9](文献9中此处有误)证明等效激励法与卷积和法的一致性。

(14)

(15)

同时，根据文献[8]，系统的等效零输入激励为：

(16)

则应用等效零输入激励法，计算得零输入响应为[8]：

yzi[n]=xzi[n]*h[n]

(17)

(18)

(19)

将式(18)和式(19)带入系统差分方程

(20)

(21)

结合等效零输入激励式(16)，因此上式即：

(22)

即：y-[n]*A[n]=f-[n]*B[n]-xzi[n]。

由于

(23)

1.3 应用举例

解：根据卷积和方法可知上述因果线性时不变离散系统的零输入响应和零状态响应是其全激励信号的反因果分量和因果分量与系统脉冲响应的卷积和的因果分量。

在上述求解过程中，常用到因果指数序列与反因果指数序列的卷积和，即：

(24)

当仅取因果部分时候，上式简化为：

(25)

因此，该系统的全响应为：

2 结语

本文给出了应用卷积和方法的离散线性时不变因果系统的零输入响应求解方法，并证明了该方法与等效激励法的等价性。因此，当已知系统全激励和系统描述时，连续与离散系统的时域方法可以统一为卷积(或卷积和)法，为线性时不变系统时域求解提供了一类新思路。