出土算筹补考

邓 亮

(清华大学科学技术史暨古文献研究所，北京 100084)

筹算是以算筹为算具来进行数学运算和演算的方式与方法。由于筹算大约在明代时已经退出实际的数学计算，因此除了部分数学典籍的介绍外，尚未发现有传世算筹存世。自20世纪50年代以来，考古发掘中陆续出现多批算筹实物，且大多是战国、秦汉时的墓葬陪葬品，由此对古代算筹的形制有了更多直观的感受。

目前最早的出土算筹实物，是1954年6月湖南长沙左家公山发掘的一座战国晚期木椁墓葬中出土的一批算筹，“计40根，长短一致，每根长12公分”[1]，但当时的出土报告称之为竹签。发掘报告刊出后，很快引起数学史家的关注，比如数学史家严敦杰在1956年出版的《中国古代数学的成就》一书中指出出土的竹签就是算筹。

影响最大的出土算筹是千阳算筹。1971年8月，陕西千阳县171工地西汉墓出土的31根骨算筹，由数学史家参与整理(1)此文在2019年10月13日“纪念祖冲之诞辰1590周年国际学术会议”上作过报告。会后得到郭书春先生指点，称千阳算筹出土时，发掘人员最初也不知为何物，幸有一位高中数学教师在场，把玩之下认为应该是算筹，由此层层反映至国家文物局，进而数学史家梅荣照先生亲临现场，参与分析，最终“出土算筹”得以确认并发布。，首次以“出土算筹”予以公布。这些算筹被裹在一丝绢囊内，系在死者腰部，与带钩同出于男骨架腰胯部。筹为兽骨质，大多断残。经粘接修补后，计有完好者21根，不能对接起来的10 根。每根筹棍两端齐正，粗细大致均匀。算筹长度为12.6—13.8厘米，大多为13.5厘米，直径0.2—0.4厘米，一般为0.3 厘米。算筹上磨制痕迹犹在[2]。千阳算筹的出土，在当时被认为是在考古工作中第一次发现的算筹实物，具有重大意义。由此，之前出土的左家公山竹签、北宋村骨条被认定为算筹，此后关于算筹出土的报道渐多。

1980年河北石家庄西南郊振头村北东汉墓出土骨质算筹两把，一把13根，一把17根，现保存完整者9根，残1根。横截面呈方形，方约0.4厘米，均匀，齐正，有光泽。完整者长7.8—8.9厘米，其中8.9 厘米的2根，8.6、8.5、8.3、8.2、8.1、7.8厘米的各1根，长短差1.1 厘米。数学史家梅荣照、郭书春也亲临现场，并做了认定与分析。尽管没有文献记载，研究者结合千阳算筹长短差1.2厘米，推想算筹长短不齐的现象并非偶然。因为用这种算筹可以摆出高度基本一致的纵式数字，使得布算整齐，减少错乱。同时指出，这种看法尚需出土更多的算筹来验证[3]。

对于出土算筹的综合整理考述，主要有王青建的《试论出土算筹》[4]、张沛的《出土算筹考略》[5]和田鸣、周理远的《中国古代算筹的考古发现与研究》[6]3篇论文，对于出土算筹的年代、出土地点、形态、材质、用途等方面做了描述，前两者均有列表统计。除田鸣一文中提及北大秦简外，3篇文章所介绍算筹的出土时间，均是自1954年左家公山战国墓至1986年甘肃天水放马滩秦墓。其中王青建文中介绍了15批，张沛文中介绍了17批，田鸣文中介绍了16批(另有清代纳白尔算筹和民国改造算筹2批不计在内)，前两文均提及者11批，田鸣文中新增信息5批。

但此后的30余年间，陆续有算筹出土。又由于近年各类数据库的出现，资料查阅更增便利，一些1986年前已出土算筹的信息得以检索出来。笔者查阅《文物》《考古与文物》《中国考古学年鉴》等刊物上发表的相关考古发掘简报或研究、相关考古成果专著或网络文献，发现30余批新的出土算筹信息，因此就这一论题作一点新的增补。

1 新增出土算筹简述

1954年10月，内蒙古赤峰县大营子第一号辽墓出土骨筹94枚，出青瓷盌中，长12.4厘米，径0.3厘米。此墓下葬时间为辽应历九年(959)，墓主为辽驸马[7]。

1965年，湖南韶山灌区湘乡74号东周晚期墓出土铜牌一叠，简报称很可能是算筹，约 60片，每片长9厘米，宽3厘米，厚0.1厘米[8]。

1973年12月—1974年3月，陕西宝鸡扶风县吕宅村汉墓出土条状铅器若干，疑为算筹，长短不一，3—11厘米，宽0.4厘米，厚0.2厘米[9]。

1974年—1978年间，河北平山县中山王墓出土了两批算筹。其中，中山成公陪葬墓出土了一捆算筹，45根，材质为兽骨。算筹经磨制光滑，细长圆棍状，多呈淡黄色，少数发白或呈淡青色[10]。中山王舋(音“错”)墓出土玉算筹7根，长条形，呈白色或灰绿色。长短不一，长算筹3根，长4.25厘米，宽0.4厘米，厚0.2厘米；短算筹4根，长3.15厘米，宽0.4厘米，厚0.2厘米。每根算筹一侧刻出凹口，凹口刻记的位置距离相同，中点间距1.15厘米。将7根算筹叠在一起使一端平齐，各道刻度可连成一线[11]。

1975年10月—11月，湖北江陵凤凰山167号西汉初期墓出土竹算筹一袋[12]。

1976年4月，湖北襄阳蔡坡12号战国墓出土筹式玉器[13]。

1977年3月—1978年10月，山东曲阜鲁国故城M3、M52、M51三墓出土博具三组，其中M3包括玉方筹、象牙方筹各6个，筷形牙筹和筷形银筹各一束。M52包括白石、青玉方筹各6个，筷形牙筹和银筹各一束[14]。田鸣文中有所提及，信息不全，未附来源。

1977年至1978年，陕西岐山县凤雏村西周早期大型宫室建筑基址西厢2号房间的H11和H31两个窖穴出土了959枚圆柱形骨角器，同时出土的有卜甲和卜骨17000余片。当时并不明确这些骨角器的用途。后来刘亮经过深入考证研究，认为是西周早期周王室用来演算周易的一套工具，应是蓄草的更新物和替代物，周初的角质算筹[15]。这些算筹大部分被火烧发黑，有的一端呈圆锥形，有的两端均呈圆锥形。一般长度在1.3—2.5厘米，径0.5—0.8厘米之间。

1980年春，内蒙古乌兰察布盟卓资县碌碡平乡忽洞坝村一座辽代古墓出土20根象牙算筹。这套象牙算筹，长条形，两头梢细，中间略粗，其中7根长11厘米、粗0.4厘米，5根长12厘米、粗0.5厘米，8根长13厘米、粗0.4厘米。这也是北方游牧民族墓葬中的首次发现，异常珍贵[16]。此处算筹，田鸣文中提及，但未及细节信息。

1981年5月—1989年底，湖北江陵县九店东周墓出土竹算筹[17]。

1983年6月，广州北部象岗山上的第二代南越王墓出土一组象牙算筹。这组象牙算筹出于一漆盒内，但出土时已经全碎，部分已压成粉末状。从现状观察，算筹在盒内堆置三层到四层，总数约200支，呈细长条形，残长12—13厘米[18]。

1983年9月，内蒙古巴林左旗白音敖包辽代中晚期墓中出土算筹53枚[19]。

1984年3月，江苏省句容市春城镇南朝宋元嘉十六年墓(439)出土木算筹18根，圆棍状，长29厘米，两端径0.5—0.75厘米，中部径0.4—0.5厘米。整体涂清漆，两端大约长2.5厘米部分涂朱漆，现呈绛紫色。两段涂朱漆部位稍粗[20]。

1986年，湖北荆州江陵县岳山36号秦墓出土竹算筹一束，称为标筹，58支，长15厘米，径0.4厘米[21]。

1986年底至1987年初，安徽霍山县1号西汉前期木椁墓出土竹算筹47根，竹签状，长15.5厘米，上端宽0.2厘米，厚0.1 厘米[22]。与木骰同出，发掘报告称可能是六博筹。

1986年12月后，江苏邗江杨寿乡宝女墩105号新莽墓土木算筹18根[23]。

1988年1月，安徽合肥北宋马绍庭夫妻合葬墓出土木筹码一束，长短、粗细不一，最长约为10厘米。下葬时间为宋徽宗时期[24]。

1988年，内蒙古乌兰察布盟凉城县北营子18号西汉晚期墓出土骨算筹一套，已残，细圆棍状，长10 厘米[25]。

1990年12月，江苏东阳小云山1号汉墓出土银算筹约20根，长条状，残长14—18厘米，宽0.5厘米，厚0.2厘米[26]。

1991年12月—1992年4月，安徽天长三角圩M19西汉墓出土银质筹码18件，长22.8厘米，宽0.4厘米，厚0.2厘米。与六博盘同出，为博筹[27]。

1992年秋，安徽潜山彭岭M32战国晚期墓出土竹筹码[28]。

1993年，江苏东海县尹湾村6号汉墓，出土算筹一囊，西汉晚期成帝时，墓主为东海郡的官吏师饶。陪葬清单“君兄缯方缇中物疏”中有“筭及衣二”，校注中提及“墓中出土算筹一囊，与之相符”[29]。

1993年3月，湖北江陵王家台15号秦墓出土骨-竹算筹60支，细长圆柱形，长62.5厘米，径0.4厘米。一端为骨制，另一端为竹制，竹制一端均用丝线缠绕，外涂红漆。出土时置于一竹筒内，竹筒长67.5厘米，径5.6 厘米。考古报告称其为占卜用具[30]。

1993年6月，湖北荆州周家台M30秦墓出土竹算筹25支，长12.2厘米，径0.25厘米，形制相同，均棍形，削制[31]。

1995年8月—1996年1月，江苏徐州东甸子西汉墓出土铁算筹一组，圆柱状，上面均缠有丝织品，径0.2厘米[32]。

1997年5月，山东临沂银雀山西汉墓出土银算筹3根，色灰白，已变粉末状，仅余内里银芯，长1.3厘米，宽0.5厘米，厚0.2厘米[33]。

1999年5月，在辽宁省阜新市彰武县苇子沟乡朝阳沟辽墓二号墓出土骨算筹25支，仅1支残半，其余完整，断面呈方形，长短不一，介于12—12.7厘米之间[19]。

1999年，陕西西安市北郊30号汉墓出土骨质算筹10枚。考古简报根据有算筹陪葬，推测墓主职位或与筹算相关[34]。

2000年，湖北随州市孔家坡8号汉墓出土算筹，但发掘简报未标有算筹。下葬时间为汉高祖十二年(前195)，同墓出土数术简703枚，历谱简78枚[35]。

2000年5月—10月，河北黄骅市海丰镇金代遗址考古发掘中，也有算筹出土[36]。

2001年7月，广西合浦县九只岭东汉后期墓出土竹算筹9根，长约19.5厘米[37]。

2004年10月，河北容城县东汉墓出土骨算筹[38]。

2006年4月，江苏徐州后山西汉墓M1(上)出土锡算筹一组，残存约 8 根，细长条状，截面呈长方形，长 20厘米，宽0.4厘米，厚0.2厘米[39]。

2006年6月，江苏徐州黑头山刘慎墓骨算筹2组，每组原应捆扎成一束，单枚算筹为细的圆棒形，骨质，上髹红褐色漆，均残断。标本 M1∶3- 3残长7.6厘米，径0.3厘米[40]。

2007年，安徽含山凌家滩遗址M23大墓，出土3件玉龟及5根“玉签”。玉签上有两道刻痕，应是作为占卜使用的[41]。

2016年11月，北京通州后北营村东汉墓出土骨质算筹26根。这些算筹长短不一，是由动物肢骨磨制，保存完好[42]。这次出土算筹的考古发掘及认定，数学史家冯立昇也参与其事。另在这一新闻的报道中提及，在1974—1975年北京丰台区大葆台西汉墓中也有少量出土。

对于1986年前出土的算筹，王青建、张沛、田鸣等均著录过一部分。本文加入新整理的出土算筹，赓续前者，作附表。

根据此表，西周以前疑似算筹2批，东周时期11批，秦代7批，两汉、新莽时期37批，南北朝1批，宋辽金元时期7批。从出土地域看，湖北11批，陕西9批，河北8批，江苏5批，湖南4批，安徽4批，内蒙古4批，山西2批，山东2批，北京1批，河南1批，广西1批，甘肃1批，广东1批，辽宁1批。由此可以看出，出土算筹主要出现在秦汉及以前，唐朝未见出土，宋元时期则有7批，或与当时数学高度发展有关。而且出土文物的地点也相对集中，北方居多。为何出现这样的现象，需要进一步讨论。

此外，算筹在出土的同时又有数学著作出土，可以明确为数学计算所用的算筹也有两起。其一为1983年12月至1984年1月湖北江陵(今荆州市荆州区)张家山247号汉墓(公元前187—157)中出土的一捆算筹。同时还出土了一批数学竹简，约有200支完好，共计约7000字，因其中一支竹简背面刻有“算数书”三字而定名为《算数书》。其二为北大秦简算筹。北京大学收藏的秦简牍中，与数学相关者占比最大，计400余枚，分属4卷，另有“九九术”木牍1方；在这些数学简中混杂有竹制算筹三组[43]，李园《秦简牍词汇研究》中称61根[44]。

出土算筹中，有相当比例的六博筹。比如1973年长沙马王堆三号汉墓出土博局盒，内有象牙算筹42枚，长算筹12枚，短算筹30枚。“遣策”上记载数字30枚，与实物对照发现是短算筹。他如1973年山西浑源毕村西汉墓出土的6根铅质算筹，原裹有漆皮；1975年，湖北云梦县睡虎地十一号、十三号秦墓中分别出土六博棋一套，各有6根竹算筹，断面均为弧形，长度分别23.5 厘米和19.5厘米。

出土算筹中，也有一些占卜筹。比如1993年湖北江陵王家台十五号秦墓出土了60枚骨-竹算筹，完整地保留在竹筒中，没有散乱。算筹细长圆柱状，一端为骨制，一端为竹制，竹制的一端均用丝线缠绕，外涂红漆，长62.5厘米、径0.4 厘米。同时出土的竹简内容为效律、日书和易占三类。发掘简报将算筹和骰子一起归为占卜用具。占卜是古代预测吉凶的常用手段。商周时期采用龟壳和蓍草作为工具。蓍草是算筹的前身。

由于民族文化的融合，中原文化中的筹算也为其他少数民族所学习和使用，在一些少数民族墓葬也有算筹出土。比如1974—1978年间，中山王墓出土的两批算筹。战国中山国是由白狄所建立的国家。这些算筹的出土，也可反映出战国时期少数民族接受中原文化的影响。又如1980年春内蒙古碌碡平乡辽代墓象牙算筹、1980年河北双山子乡辽金算筹、1983年内蒙古白音敖包辽代算筹、1999年辽宁省朝阳沟辽墓骨算筹、2000年河北海丰镇金代算筹等，这些算筹的出土，说明在辽金时期，筹算依然在北方游牧民族中得以使用。

2 算筹形制补论

在有算筹实物出土以前，有关算筹的形制只能通过传世文献的少量记载进行描述。从文献角度来看，由于用途不同，不同朝代的规制不同，因此算筹形制并不一致。对于算筹的形制，已有较多数学史家做过研究，比如李俨[45]、钱宝琮[46]、郭书春[47]、李兆华[48]等。然而，结合更多的出土文物，可对相关问题略作补益，因此就如下几个方面作简要介绍。

首先，关于算筹的数量。主要作为工具或相对简单的记数所用的占卜类、游戏类的算筹，文献中也有一定规制描述。比如《周易·系词》称“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四”[49]，可知周代用于占卜或周易推演的算筹，乾策216枚，坤策144枚。《仪礼·乡射礼》“箭筹八十”[50]，可知用于射礼的箭筹有80枚。在出土算筹中，博筹通常为6枚，占卜筹则数量较大，江陵王家台15号秦墓易占筹有60枚，西周早期大型宫室建筑基址易占筹更是多达959枚。

用于历法和更复杂的数学计算的算筹数量的记载，文献中最早的为《汉书·律历志》，称“二百七十一枚，而成六觚，为一握”[51]，即西汉时算筹以271根为一握。《汉书·律历志》注中称“六觚，六角也。度角至角，其度一寸，面容一分，算九枚，相因之数有十，正面之数实九，其表六九五十四，算中积凡得二百七十一枚”[51]。《隋书·律历志》记载“正策三廉，积二百一十六枚，成六觚，乾之策也；负策四廉，积一百四十四枚，成方，坤之策也。觚、方皆径十二，天地之大数也”[52]。可知隋代用于天文历法计算的算筹为竹制，正筹共216枚，合在一起成六角形，径长12分；负筹共144枚，合在一起成方形，边长也是12分。这与《周易·系词》说法一致。然而出土的算筹，数量不一，少则数枚，多则至百枚，如南越王赵眜陵墓出土象牙算筹约200枚。

第二，关于算筹的长宽高或长径。《仪礼·乡射礼》“长尺有握”[50]，一握即4根手指高度，因此射礼用的算筹长约1尺4寸。《大戴礼记》第十二投壶第七十八“筭长尺二寸”[53]，可知用于投壶的壶筹(或壶矢)长1尺2寸。出土的博筹中，有些与常规算筹长度相似，也有较长者，如山西浑源毕村西汉木椁墓、湖北江陵纪南城凤凰山八号西汉墓、长沙马王堆三号西汉墓、山东莱西岱墅西汉墓M2号墓、山东临沂金雀山31 号和33 号西汉墓、甘肃天水放马滩M1秦墓出土的六博筹等长度均在20厘米以上。更有甚者，湖北江陵王家台15号秦墓出土算筹长达62.5厘米，尽管考古简报归于占卜用具，但它是否还可能为射礼、投壶之类用筹，尚不得而知。

《汉书·律历志》记载，用于历法和更复杂的数学计算的算筹的长径，“筭法用竹，径一分，长六寸”[51]，即西汉时，由于天文历法计算的算筹为竹制，径1分(合0.23厘米)，长6寸(合13.86厘米)。汉代许慎《说文解字》称“筭，长六寸，计历数者”[54]，可知其时算筹长度也是6寸。东汉徐岳《数术记遗》中有“积筭”方法，北周甄鸾注称“今之常筭者也，以竹为之。长四寸，以放四时。方三分，以象三才”[55]，可知当时的算筹长4寸(合11.68厘米)，方3分(0.87厘米)，并且用这些数值以分别象征春夏秋冬四时和天地人三才。《隋书·律历志》记载“备数，其算筭用竹，广二分，长三寸”[52]。可知隋代用于天文历法计算的算筹为竹制，径2分(合0.59厘米)，长3寸(合8.88厘米)(2)由于各代尺度不一，因此各家在换算时略有差异。如李兆华《关于算筹与筹算的几点注记》一文中称《汉书·律历志》、《数术记遗》北周甄鸾注及《隋书·律历志》所载算筹长度约13.8cm、11.8cm和8.85cm。王青建《试论出土算筹》一文中，以新嘉量尺长23.09cm换算，《说文解字》之“六寸”约13.85cm；以北周尺长24.51cm换算，甄鸾注称的算筹长为9.80cm、径广约0.74cm；以隋尺长 29.51cm换算，《隋书》所载算筹长约8.85cm，径广约0.59cm。本文换算结果，据丘光明、邱隆、杨平《中国科学技术史·度量衡卷》所考定之两汉、新莽尺长23.1cm，北周市尺长29.2cm，隋初日常用尺长29.6cm换算而来。。出土算筹中，汉代的算筹大致与文献记载相吻合。

第三，关于算筹的形状。《汉书·律历志》所记载的竹筹应为圆形竹棍。《数术记遗》记载算筹方三分，说明此时算筹为长条形，截面为方形。《隋书·律历志》中提及的正筹3廉，负筹4廉，可以推知正算筹的形状应该是三棱柱，负算筹的形状为四棱柱。出土算筹中，除去发掘简报未描述者外，主要以圆柱形和长条形为主，也有湖北云梦睡虎地十一号、十三号秦墓中出土的截面为弧形的博筹。

第四，关于算筹的材质。虽然文献中也有“牙筹”“枝”等称谓，但绝大多数都称竹筹，可以推想有玉质、木质算筹存在，实际使用中的算筹以竹质为主。然而在出土文物中，算筹材质很丰富。基于附录“出土算筹一览表”，竹筹17批，骨筹14批，银筹6批，牙筹6批，玉筹5批，铅筹4批，木筹3批，铜筹2批，石筹2批，铁筹1批，锡筹1批，骨-竹筹1批，角筹1批，可知竹筹出土批次最多，骨筹其次，金属质地算筹的数量再次之，象牙、玉质、石质、木质等算筹较少。

第五，关于正负算筹。《九章算术》刘徽注称“正算赤，负算黑。否则以邪正为异”[56]，可知在当时已有用颜色来区别算筹的正负，即红色算筹为正，黑色算筹为负。《隋书·律历志》中提及的正筹3廉，负筹4廉，可以推知正算筹的形状应该是三棱柱，负算筹的形状为四棱柱，这是以形状来区分正负。但在出土文物中，尚未发现明确的正负筹分类。

第六，关于算筹的盛放器物。文献中有不少有关算袋的记载。算袋的形状，有龟形和鱼形之分。比如据秦始皇扔算袋化为算袋鱼故事，说明在秦代时算袋已是随身之物，算袋或形似乌贼鱼。又如在唐代时，佩戴算袋是朝廷法度、等级象征。出土文物中，并未有算袋一同出土，但有绢囊、竹筒等物出土，或是算袋的类似物品。此外，在汉墓中出土的随葬品清单“遣策”中，记载有“算囊”“算衣”等物品，比如张家山二四七号墓“筭囊一”，尹湾六号墓“筭及衣”等。“算囊”“算衣”应该是盛装算筹的物品，类似算袋的作用。

第七，关于算板或算格等。文献中尚未发现算板的记载，但有少许算格的间接用词。比如汉代佚名《太平经》中“余算一岁一算格”。由于筹算的计算特点，如果不是特别复杂的运算，并不需用较大的空间，因此在实际计算时，或许存在算板或算格之类方便筹算运算的辅助工具。但如果进行天文历法、复杂的数学问题计算时，所需的空间就非算板或算格能承担，往往不拘一格，就便而布算。比如《明道杂志》记载北宋历家卫朴“每算历，布算满案”，《北史·许遵传》“于是布算满床”，《测圆海镜》“置甲南行六百步在地”等，几案、床、地等无不可作为布算之所。但筹算传播到日本后，日本则有算格板之用。在出土文物中，凤凰山八号墓“遣策”记载有“博、筭……博席一具，博橐一，筭席一”，“算席”或许是用于筹算计算时的工具，类似算板或算格，但应已朽烂而未见实物出土。又如洛阳曹魏大墓出土的石牌铭文，提及陪葬有多种游戏所用的算筹、算囊等，其中一方碑文中提及“丹缣表、青缣里计旃一，具骨筭，囊自副”，说明陪葬有置放算筹以计算的毡子(计旃)和骨筹[57]。

综上所述，根据文献记载，从汉代至隋代，用于计算的算筹长度逐渐缩短，从6寸到4寸再到3寸，应该是为了缩小布算所需；而形状从圆柱体变为长方体或三棱体，应是为了避免圆形算筹容易滚动而造成错误。唐宋及以后的文献中，对于算筹形制的描述，多引用《汉书》《隋书》中的说法，并未提及其相应时代的算筹规制。结合出土算筹而论，古代算筹材质多样；形状多呈圆柱形或长条形；不同用途的算筹长度不一，但用于计算的算筹长度大致与文献相符；其中有些长短不一者，或是实用算筹，便于布算之用；尽管尚无出土实物，但确有类似算袋、算板等算筹附属物品。

致 谢本文得到中国科学院自然科学史研究所郭书春研究员、孙承晟研究员，清华大学冯立昇教授的具体建议或文献帮助。特此致谢!