基于线性规划理论的大跨径悬臂浇筑拱桥施工阶段临时预应力效应分析

熊兴兵,周 旭,王祺顺,田仲初,吴 欣

(1.贵州高速公路集团有限公司,贵州 贵阳 550000;2.湖南省交通科学研究院有限公司 交通建设工程湖南省重点实验室,湖南 长沙 410015;3.长沙理工大学 土木工程学院,湖南 长沙 410114)

近年来，斜拉扣挂悬臂浇筑施工法在西南部山区大跨径钢筋混凝土拱桥中得到广泛应用，我国使用该种工艺先后修建了白沙沟大桥、新密地大桥、木蓬大桥、马蹄河大桥等众多具有代表性的桥梁。但是随着拱圈跨径增大、拱圈节段自重的增加，传统的通过扣索索力以降低施工过程中拱圈截面应力的方法已经凸显其瓶颈，如扣锚索反复张拉至断裂、扣索索力值安全系数低、扣塔局部应力集中等。故必须对原有的斜拉扣挂法进行工艺上的改进以确保悬臂浇筑施工时结构的安全性。本文以贵州省在建的沙坨特大桥为依托工程，基于线性规划理论，分析研究主拱圈施工过程中施加临时预应力后结构响应规律，以期该项研究成果能持续用于特大跨钢筋混凝土拱桥施工及监控，为该类桥型跨径推至300 m级理论及技术方法提供借鉴[1-2]。

1 线性规划理论及实现

1.1 线性规划基本理论

线性规划是最优化体系中最为简单的、最为基础的一种问题，同时也是实际用中较为常见的问题，其数学模型的标准表达形式为：

xi≥0，i=1,2,3,…,m

(1)

或：

mincTx,

Ax=b,x≥0

(2)

式中：x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn;c=(c1,c2,…,cn)T∈Rn，A=(a1,a2,…,am)T∈Rm×n;b=(b1,b2,…,bm)T∈Rm，向量不等式按分量取。

如果一个线形规划问题有最优解，那么一定有最优基可行解，由此，找出对应目标函数最小的基可行解即得到线性规划问题的最优解。采用单纯形法求解线性规划问题的基本思路为：从线性规划问题的一个基可行解出发，逐步改良目标函数的值，直到求出满足条件的最优基本可行解，其具体步骤如下：

① 确定初始基可行解；② 检查初始目标函数是否最优；③ 如果不是，再求出另外的没有检查过的基本可行解，再进行目标函数的最优性检查；④ 如此循环，直至求得最优解为止。

根据线性规划的对偶理论：互为对偶问题的两个线性规划问题，如果其中之一有最优解，则另一个也有最优解，而且两问题的最优目标函数值相等。

线性规划属于凸规划的问题，凸规划问题有解的KKT条件如下：如果x*是线性规划问题(1)的最优解，则存在相应的拉格朗日乘子向量λ*∈Rm，u*∈Rn使得：

u*≥0，x*≥0，u*Tx*=0；

λ*≥0，Ax*-b≥0，λT(Ax*-b)=0；

c-ATλ*-u*=0

(3)

可得出，λ*属于式(3)的可行域中，且：

bTλ*=λ*TAx*=cTx*

(4)

若λ*是式(1)对偶形式的最优解，则其相应的拉格朗日乘子就是式(1)的最优解。

1.2 线性规划理论在MATLAB中的实现

对于悬臂浇筑施工法施工的拱桥，其施工过程中的优化问题实际是多目标多约束问题。本文拟采用构造评价函数的方式进行求解，调用MATLAB工具箱中fminimax函数，将原问题转换为如下形式：

A1x≤b1，A2x=b2，l≤x≤u

(5)

其中,fi(x)为原优化模型的各个目标函数，其他各符号的规定以及编程时函数的赋值方法与上述的线性规划一致。然后再调用fminimax函数进行优化求解，得到的最优解即可作为原优化模型的最优解，常用调用格式为：

[x,fval]=

fminimax(fun,x0,A1,b1,A2,b2,l,u)

(6)

其中，fun表示原优化模型各目标函数组成的等式组，x0为变量的初值(优化模型变量初值可取通过线性规划优化所得最优化值，带入有限元模型进行正装分析所得到的最大悬臂阶段的变量值)，此调用格式可求出目标函数的最大最小化解x，并返回此时的目标函数值。

2 工程概况

沙坨特大桥位于贵州省境内，横跨乌江，属于某县的水毁抢险重点重建工程，主桥为特大跨度钢筋混凝土上承式拱桥，该桥上部结构为 240 m 钢筋混凝土箱型拱桥，下部结构为钢筋混凝土拱座，主拱圈采用斜拉扣挂，挂篮悬臂浇筑的施工工艺进行施工，拱圈纵向共分为 37 个节段，其中两岸拱脚位置 1 号节段为支架现浇段，拱顶设一个吊架浇筑合拢段，其余 34 个节段为悬浇段。拱圈矢跨比为1/6，共轴系数为1.85，桥下具有通航要求，通航净空为10 m，该桥的桥型立面图以及施工中扣锚索总体布置及拱圈节段划分立面图分别见图1、图2。

图1 沙陀特大桥桥型布置图

图2 斜拉扣挂体系布置示意图

对该桥建立有限元模型，在初步设计索力下，拱圈10#～17#节段顶板峰值应力较大，故对以上节段顶板位置配置临时预应力，预应力公称直径为15.2 mm，张拉控制应力为1 395 MPa。根据局部有限元计算结果，预应力布置位置位于顶板中心线处，并分散布置[3](见图3、图4)。

图3 预应力纵向布置示意图

图4 预应力截面布置示意图

3 优化程序及有限元建模

本文目标函数为临时预应力面积最小，施工过程中拱圈上下缘截面应力为约束条件，同时控制各扣锚索的安全系数不小于2.5，建立以下数学模型：

gj(x)=Tn-1-(1+a)Tn≤0；

(i=1,2,3,…,m)

(7)

调用fminimax函数对数学模型进行矩阵运算，求解索力与临时预应力耦合作用下拱圈截面应力的影响系数(图5)，得到满足约束条件的预应力最小数量(表1)。

图5 拱圈顶底板应力影响系数曲面图

表1 施工过程中最小预应力数量表Table 1 Minimum Prestressed Quantity Table during Con-struction节段号预应力筋数量节段号预应力筋数量10#节段3214#节段6811#节段3615#节段6012#节段5216#节段4813#节段6017#节段32

使用有限元软件建立沙坨特大桥结构仿真模型，严格模拟施工阶段，成桥模型中各部位(主拱圈、以及拱上建筑)均采用了梁单元进行模拟，扣锚索使用索单元进行模拟，并通过Ernst公式修正弹性模量。出于模拟主拱圈施工的需要以及方便模型快速精确的计算需要，主拱圈只在横隔板处、截面顶、底板变化处以及拱脚现浇节段、拱顶合拢节段和标准悬浇节段的节段划分出进行了节点划分，将主拱圈离散为96个节点，95个单元，有限元模型如图6、图7所示。

图6 整体有限元模型

图7 施工阶段有限元模型

4 计算结果

将求解得到的预应力数量输入至有限元软件中，考虑扣锚索索力与预应力耦合作用，提取主拱结构响应结果如下。

4.1 拱圈应力结果

对比分析索力与预应力耦合作用及索力单独作用两种情况下拱圈截面最大应力值，结果如表2所示。

表2 施工阶段拱圈应力值Table 2 Arch ring stress value during construction节段号有预应力/MPa无预应力/MPa降幅/%增幅/%顶板底板顶板底板顶板底板10#0.311.221.470.9878.924.411#0.251.361.651.1484.819.312#0.381.031.70.8574.121.113#0.421.151.780.9276.425.014#0.510.911.630.7568.721.315#0.640.841.690.6862.123.516#0.571.071.570.8463.727.317#0.411.051.860.9177.915.4

计算结果表明：考虑索力与临时预应力耦合作用时，拱圈截面顶板应力峰值均有显著降低，降幅区间位于60%～85%，底板应力峰值增幅均在30%以下。故配置临时预应力，可大幅度调整拱圈截面应力幅值，保证拱圈在浇筑过程中强度安全。

4.2 扣锚索索力结果

对比分析索力与预应力耦合作用及索力单独作用两种情况下索力值，结果如表3、表4所示

表3 索力与预应力耦合作用下索力表Table 3 Cable force table under the coupling of cable force and prestresskN索号XK初拉力索号XM初拉力索号DK初拉力索号DM初拉力11 000198011 000195021 30021 02021 250298031 45031 18031 40031 08041 64041 28041 59041 22051 75051 54051 70051 52061 50061 78061 40061 60071 50071 30071 40071 18081 86081 65081 79081 53091 90091 71091 82091 600101 860101 780101 800101 620111 880111 840111 820111 700122 000121 980121 950121 860132 070132 190132 020132 010141 880142 170141 830142 090151 980152 110151 950151 960161 800162 040161 770161 950171 820172 240171 790172 100181 920181 980181 890181 940

表4 索力单独作用下索力表Table 4 Cable force table under the action of cable forcekN索号XK初拉力索号XM初拉力索号DK初拉力索号DM初拉力11 180198011 180198021 48021 08021 48021 06031 60031 37031 60031 30041 67041 58041 67041 47051 86051 81051 79051 72061 77062 07061 72061 95071 58071 32071 53071 19081 62081 68081 57081 63091 75091 61091 74091 590101 930101 760101 870101 720111 980111 950111 900111 830122 020121 950121 920121 820132 130132 140132 120132 020142 480142 390142 330142 240152 650152 370152 490152 220162 550162 400162 450162 220172 480172 540172 380172 210182 200182 330182 170182 120

计算结果表明：考虑索力与预应力耦合作用后，部分节段扣索初拉力降低，扣锚索安全系数增大，且各节段索力分布更为均匀，可有效防止个别扣锚索因局部反复受较大荷载发生疲劳断裂现象。

4.3 扣塔应力结果

对比分析索力与预应力耦合作用及索力单独作用两种情况下扣塔最大应力及变形结果，如图8、图9所示。

计算结果表明：在扣锚索索力单独作用下，扣塔最大拉应力为209.6 MPa，峰值应力位置为扣塔立柱间的横向连接杆，考虑临时预应力与扣锚索耦合作用时，扣塔最大拉应力为155.8 MPa，峰值应力出现位置与扣锚索索力单独作用时相同。预应力通过调节扣锚索索力值大小，显著降低扣塔应力峰值，同时，由于扣锚索索力峰值降低，扣塔高应力区域减小，在一定程度上可降低其局部破坏风险。

图8 扣索力作用下扣塔最大应力云图及峰值应力位置

图9 耦合作用下扣塔最大应力云图及峰值应力位置

5 结论

本文基于线性规划理论，通过建立多约束状态下预应力与截面应力之间的数学模型，求解得到满足约束条件的最小预应力数量，并将其导入有限元软件中进行对比分析，可得到以下结论：

a.临时预应力对主拱圈截面应力影响显著，配置预应力可大幅度降低拱圈上缘截面应力峰值，降幅区间为60%～85%，底板应力增幅则在30%以内。

b.在临时预应力与扣锚索耦合作用下，扣锚索初拉力值有一定幅度降低，节段索力之间实现了“重分配”，扣锚索安全系数增大，索力值更为均匀。

c.在临时预应力与扣锚索耦合作用下，扣塔应力峰值有显著降低，高应力区域减小，保证了扣塔在施工过程中的安全性。