概率论方法主要特征及实施策略

刘 斌，袁云云，牛向阳

(1.阜阳师范大学 商学院,安徽 阜阳 236032；2.阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236032)

公元15-18世纪，人们研究了大量的随机现象，发现存在完全不确定规律性，从而开辟了随机数学的新领域，建立了概率论.其主要方法就是观察与试验，前提往往也是“等可能”的.著名的概率统计学者威廉费勒尔(Willian Feller)在他著的《概率论及其应用》一书说过：“等可能性的假设常常需要真正的实验的记录来说明.”可以这样说，对于许多随机现象，没有试验，就会使我们对他的认识陷入愚昧无知.早期在对概率问题的研究中，观察与试验(实验)总是紧密联系在一起的，观察常常可用试验做基础，而试验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证.并且，观察是概率论思维中不可缺少的最基本的方法，可以这样说，没有观察就没有思维，更没有结果，因为他侧重于探索发现，尤其是在解决具体问题时，他的时效性表现得尤为突出[1].随着研究范围的扩展，产生了多种相对应的概率的定义与计算方法.1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov,1903-1987)首次提出了概率的公理化定义，这个定义概括了历史上几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足该定义中的3条公理，才能说他是概率.

概率的公理化定义刻画了概率的本质，虽然他没有告诉人们如何去确定概率，但由此可导出概率的一系列性质及运算公式，从而提供了众多的计算事件概率的间接方法.所以，解概率论的方法不外乎两类：一类为直接计算方法，一类为间接计算方法，前者可根据问题的具体背景直接用相应的概率定义求，后者则通过事件间的联系，寻求对应概率之间的关系，通过概率公式求解.

随机变量的引入，为使用近代数学的方法解决概率问题提供了理论依据和具体方法.如何才能发挥近代数学的优势，更好地为概率论问题的解决提供有效的途径呢？显然，要完成一个转换，就是要千方百计把概率问题转化为确定性数学的问题.比如说，随机变量的函数是随机变量，如果从二者的取值这个角度入手，很自然地就实现了随机性向确定性的转化，如此等等.G波利亚在“怎样解题”中指出：“你以前见过他吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道一个可用得上的定理？”话语不多，但却道明了一个道理：当你，遇到一个新问题时，首先积极联想，设法把陌生的问题通过适当的变更，化归为熟悉的问题，这就是“化生为熟”的思维策略，其目的就是遇新思陈，推陈出新，起着用同求异，化难为易的作用.简言之，就是在解决概率论问题时，思考的重点就是把所需要解决的问题转化为已能解决的问题，这就是数学思维与方法中的“化归法”.所以，在此阶段中，巧妙“转换”，联想“化归”是完成形形色色概率论解题的核心方法.

16世纪的笛卡儿、17世纪的欧拉、18至19世纪拉格朗日、高斯、阿贝尔、雅克比、伽罗瓦，还有近代的庞加莱、拉马努杨和现代的爱尔特希等，他们不仅是解题的能手，而且也是发明创造的大师[2].历史资料表明，他们的成果大都建立在多学科的融通之上.近年来，随着概率论理论与应用的深入与发展，多学科的融通使得诸多概率问题的解决如虎添翼，简洁的过程、漂亮的结果常常让人回味，并由此产生诸多新理论、新方法.

1 概率论方法的主要特征

1.1 随机性

由于概率论是从数量上研究随机现象统计规律的学科，用随机的目光去观察现象，用随机的思想去分析问题，透过表面上的偶然，去寻找内部蕴涵着的必然.一贯的遵守形成了概率论中的基本方法.以概率收敛和按分布收敛分别展示了大数定律与中心极限定理的丰富内涵.如切比雪夫大数定律.

定理[3]设{Xn}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)≤c,i=1,2,…,则对任意的ε>0,有

以林德伯尔格-莱维(Lindeberg-Levy)中心极限为例：设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2>0存在，则对任意实数y，有

此定理展示了这样一个事实：只要{Xn}独立同分布、方差存在，不管原来的分布是什么，只要n充分大，就可以用正态分布去逼近随机变量和的分布.显然，此种背景下有关和的概率可求了，这种隐藏在随机性背后的规律性有着广泛的应用.

例1：某种产品有20个相同部件连接而成，部件长度是均值为2 mm、标准差为0.02 mm的随机变量.假如这20个部件的长度相互独立同分布，且规定产品总长为(40±0.2)mm时为合格品，求该产品的不合格率.

解：记Xi为第i个部件的长度，则Y=X1+X2+…+X20为总长度，且E(Xi)=2,σi=0.02，可用林德伯格-莱维中心极限定理近似计算合格品率：

=2Φ(2.236)-1=0.974 6.

所以不合格率为0.025 4.

如此等等，针对研究对象的随机性构建出了对应的随机性的解决问题的方法.

1.2 概括性

随机现象无时不在、无处不在，如果我们总是针对形形色色的各种随机现象去具体的研究求概率等的方法，不加提炼与概括，那么就构不成概率论这门学科.因而，从基础概率中求概率的频率方法、古典方法、几何方法、主观方法到概率的公理化定义及其确定的方法，从近代概率中定常数、求概率、由分布律和分布密度求分布函数、求随机变量函数的分布、求数字特征到判断随机变量的独立性等，其相应的概率论的方法都是在对各种背景下的随机现象进行大量的观察，并经过提炼、概括而形成的.概率论的方法一旦形成，就会舍弃其研究对象的具体内容，运用到一切合适的场合之中.

例如，对于下列问题我们可构造不同的样本空间：

抽查一件产品：Ω={正品，次品}；

掷一枚硬币：Ω={正面，反面}；

新生婴儿性别：Ω={男，女}；

一次射击：Ω={命中，不命中}；

检查一台车床：Ω={正常工作，需要维修}.

如上等等，这些虽是不同的随机试验，但抛开每个样本点的具体属性，都可以用一次贝努里试验来描述，从而样本空间可抽象为：

Ω={成功，失败}.

进一步就可把上述所有试验概括成两点分布.这种概括在未来的化整为零和聚零为整的思维策略实施中发挥着重要作用.从更宏观意义上来讲，近代概率中的种种分布也都是概括性的体现.

1.3 层次性

概率论所接触到的问题千姿百态、形形色色，由于客观上显示出不同层次，因而对应解决问题的方法也必具有层次性.从宏观而论，有针对问题的直接法，也有迂回求解的间接法；有仅用概率理论求解的单纯法，也有多学科并用的融合法等等.从微观上说，对同一个概率问题，也应有一个清晰的层次划分.如对一个复杂的“由因求果”问题一般我们常采用全概率公式求解，所考虑概率的结果(B)是第1层次，导致B发生的各个原因(Ai)是第2层次，对各Ai的进1步处理是第3层次，只有3个层次由下到上一一处理正确，才能确保问题的圆满解决.多分布的融合在近年来的各类考试中常见，因为他的确可以考察与培养一个人利用多方面知识解决问题的综合能力.这类问题的处理方法就凸显了层次性.

解决这个问题，第1层次：Y～B(100,p)；第2层次：求出p；第3层次：写出Y的分布律.从而有：

1.4 针对性

概率论方法是生长在概率论知识这块“皮”上的“毛”.概率论问题是概率论方法的载体，概率论方法通过概率论问题的解决来显化.解析几何的创始人笛卡尔说过：“我所解决的每个问题，都成为以后解决其他问题的规则.”概率论也是如此，针对不同的背景有不同的解决问题的具体方法，如对于随机抽样问题，若采取有放回抽样，就可以用二项分布来描述，若采取不放回抽样，就要用超几何分布来刻画.因此，有针对性的通过合理的转换方式进行问题的化归促使问题迎刃而解是概率论方法中一个主要方法.

解法1：不失一般性，先固定其弦一端点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有落入此三角形内的弦(图1)才满足要求，这样弦的另一端点跑过的弧长为整个圆周长的，故所求的概率为：

图1 弦端点在圆周上均匀分布示意图

图2 弦中点在直径上均匀分布示意图

图3 弦中点在圆内均匀分布示意图

同一问题由于构造了3种不同的样本空间得出了3种不同的答案.第1种解法中，假定端点在圆周上呈均匀分布，Ω是全圆周；在第2中解法中则假定弦的中点在直径上服从均匀分布，Ω是直径；而在第3种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布，Ω对应于圆面积.对应于各自的假定而言，样本空间的构造均是正确的，在此基础上所得结论也无可非议.归根到底，之所以出现了殊途各异，问题就出现在题中语言“任意”的不确定性.这正是概率论方法的针对性，了解到这一点，所谓的“奇论”也就不奇了.

同样，在古典概率中类似于上述所谓“奇论”者也可以举出很多.对应于一题多解，可谓是殊途同归，但他仍然体现了概率方法的针对性，和上述“奇论”比较起来，由于已知条件明确，他体现了解决问题的多途径，而对于每一途径，同样是针对已知条件及在其基础之上的再挖掘而得的可靠信息.

1.5 融合性

融合性是概率论方法的一个主要特征，他表现为纵向融合和横向融合.纵向融合是指本课程前后不同知识背景下所用方法的融合，如例2.横向融合是指概率论方法与其他学科解决问题方法的融合.如例4：假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量(单位：t)，他服从[2 000，4 000]上的均匀分布，设每售出1 t这种商品可挣得外汇3万元，假若销售不出而囤积仓库，则1 t需花费保养费1万元，问：需要组织多少货源，才能使收益最大？

解：设组织该种商品at，由题意只需考虑2 000≤a≤4 000，收益Y是随机变量，且是X的函数.因为

解得a=3 500(t).

即当a=3 500 t时，可使期望收益最大，最大期望收益为E(Y)=8 250万元.

把数学分析的方法融进概率论方法中，使得问题的解决十分精彩.

由于诸多的概率论问题都可以转化为中等数学、高等代数及数学分析等学科的问题，所以确定性数学方法的介入自然而然.反之，利用概率论与众多数学学科的联系，也可以用概率论的方法解决其他学科的问题.诸如通过概率建模，可以证明代数等式、证不等式、解排列组合应用题、求无穷级数和、求极限、求积分、证明维尔斯特拉斯定理等，巧妙地构思不仅使问题得以解决，同时别开生面的解决方法使人真正感受到了“删繁就简三秋树，标新立异二月花.”的内涵，美的享受将会激励学习者以更大的热情积极投入到学习之中，不断成功的尝试一定会产生源源不断的正能量，从而使得攻坚度加强、创新意识强化和创新能力提升.

这是著名的柯西不等式，我们可以利用数学分析的方法加以证明，也可以用高等代数等多种方法去证，但要用概率的有关理论和方法来证，更使人感到清晰明了，尤其是设计的多维随机变量的分布背景，不仅把抽象的问题直观化了，而且也为在更大的范围里构建概率模型解决问题提供了启示[4].

证设(X,Y)有如下联合分布(表1)：

表1 分布表

且由Schwarz不等式|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2),

即有

1.6 可操作性

可操作是一切方法的本质属性，概率论方法之所以可称作方法，就是因为只要在对应的背景下按其规定的程序、路径和手段实施，就能达到预期的目的.可以这样说，他的产生是在反复次的试验与应用中凝练而成，他的优化与创新更是在反复次的探索与调整中获得.从应用这个角度，一种方法可以在同类与相似问题中直接或调整后适用，这就更凸显了可操作性.

2 概率论方法实施策略

所谓方法,我国中文大辞典中注解为：行事之条理和判定方形之标准.《墨子天志中》说：“中吾矩者，谓之方，不中吾矩者，谓之不方，是以方与不方，皆可得而知之，此其故何，则方法明也.”[5]方法，是对研究活动本身的反思，不仅是一种技巧技术，也是一门艺术，其实质在于规律的应用，遵循规律就成了方法[6].那么，在概率论的学习与研究中，如何去寻求这种方法？显然，方法来自解决问题的一定过程之中，他在很强的目的性和计划性的活动中孕育而生，又在很强的目的性和计划性的实践中凝练而成.从这种意义上说，在遇到一个概率论问题时，你就必须把看到的(问题中显示出的信息)与存储的知识进行匹配，从中获得感觉信息，然后将这些信息发送给大脑以抽取并加工相关的信息，最终形成的便是可试探的方案，最后再通过反思和推理，就形成了真正意义下的名副其实的方法.

2.1 理清问题，通过联想打通已知和未知的通道

概率论的解题过程或推理过程，就是要去寻找或证明某种客观存在的数值(概率、数字特征等)或关系，从概率意义上，其全部过程有其客观必然性.因此，你只有把他理解得非常自然，非常直观，甚至成为你心目中一目了然的东西，那么不论问题多么复杂，这时候，你就能使用自己的语言很自然地而不是背诵式的去表述你所理解的一切.因为理解了，就等于理清了问题，打通了已知到未知的通道，自然天堑变通途，输出和输入自然而然，问题也就迎刃而解了.对于初学者，可以把待求概率的事件设出来，同时把题中所有已知也用事件表示出来，对照已知未知找联系，联系中断找媒介，一番周折方法就会产生.

2.2 学会建构，通过常见模型直接或间接解决问题

基础概率讲概型，近代概率论分布，总的来说都是建立概率模型，即都是通过条件确定模型，依据模型计算概率.基于这一点，在寻求概率论的求解方法时，常规做法就是恰到好处地找到或通过转化成为某一标准模型，从而利用模型的相应计算方法或推理求解.因而，准确的理解概率论中的一些基本概念和熟练地掌握概率论的一些基本理论尤其重要，因为做不到这一点，就失去了方法产生的源，即使能解决一些问题，也只能是就题论题，无法在大范围里拿到解决问题的金钥匙.反之，对一些常见模型心知肚明，在解决众多问题中就会得心应手，哪怕是与模型有一些距离，也会想到通过一些数学手段迁移而至.

显然，此题用代数的知识(比如系数对应法)可证.但若对超几何分布很熟悉，根据待证命题的结构自然会联想到如下概率论证明方法.

证设计概率模型如下：一袋中装有a个红球，b个白球，从中随机摸出n个，n=min{a,b}.令Ak={取出的n个球中有k个红球}，从而有

由于Ak互不相容，且P(A0∪A1∪A2∪…∪An)=P(Ω)=1,所以有

将分母移至另一侧则得结论.

当然，有时某些实际问题所表现的现实原型是很复杂的，由于概率模型与现实原型的关系是一种反映与被反映的关系，所以概率模型的构造要经过抽象、提炼，使之融入一个熟知的共性的大家庭，或者成为能够包罗更广意义下的宝囊，二者必有其一.

2.3 善于反思，通过回顾提炼创新概率模型与方法

辨认与识别过程包含自下而上和自上而下两种加工，他们共同作用以获得对世界一致的理解[7].同样，一个概率问题的解决，他经历了对问题相关的由小到大和由大到小环境里的观察、试验或分析推理等，才一步一步走向最终目标.成功给人带来喜悦，这种喜悦不仅仅来自特定问题的解决，还给人带来了希望，这就是方法的魅力.哲学家们往往具有纵观全局的气魄，喜欢从事物的联系上思考最基本最普遍的问题[8].对概率论的思考也不例外，特定问题的解决，能不能带动一大批问题的解决？即能不能实现：解决一例，联想一片，包罗一批？此方法是不是解决此类问题的最佳方法？蓦然回首，那人却在灯火阑珊处，这一切，都是通过问题解决后的反思完成的，并且这也是形成“方法库”和拓广创新的前提.

除此之外，反思还可以极大延缓知识与方法的遗忘速度.德国心理学家艾宾浩斯(H.Ebbinghaus)的研究表明“保持和遗忘是时间的函数”，遗忘的进程是先快后慢.及时的反思，就可以大大提高记忆率.

据历史记载，笛卡尔在一次患病之后，一天早上醒来，躺在床上琢磨着几何学与代数学的关系问题，通过联想，忽然想起几何上最简单的对象“直线”能和代数上的最简单的对象“一次方程”联系起来，利用点的坐标概念能在两者之间建立对应关系.这样，笛卡尔不仅形成了解析几何的原始思想，而且还创立了变量概念[8].历史和现实都告诉人们，难得回头一望，反思常常孕育联想，联想常常导致创新.毛泽东说：“感性认识的材料积累多了，就会产生飞跃，变成了理性认识，这就是思想.”从前后联系上和多学科的融会贯通上进行二次思考，因为他带来的不仅仅是知识与方法量的递增，更重要的是质的飞跃和良好习惯带来的终身受益.

总之,概率论方法是分析、处理和解决概率论问题的具体策略.思维与方法是密切相关的，方法在思维下有序实施，思维通过方法具体体现，从涵盖空间来看，思维比方法更宽泛一些.所以，思维是方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段，强化思维与方法的密切融合，引导不可缺，但“悟”更重要[9].