多变量周期系统的多模型二阶段自适应控制

王 岩 ,王 昕 ,王振雷

(1.华东理工大学化工过程先进控制和优化技术教育部重点实验室,上海 200237;2.上海交通大学电子信息与电气工程学院电工电子实验教学中心,上海 200240)

1 引言

线性周期时变系统的建立可以追溯到19世纪,在小扰动或者无扰动的假设下,将在周期性状态下运行的实际系统归结为线性周期系统,譬如通讯系统、卫星系统、旋翼飞机系统以及工业过程中的实际系统[1].因而,在控制领域,诸多学者针对线性周期系统做了广泛的研究,并且设计了多种控制方法[2].因此,如何更好地提高对线性周期系统的控制效率、提升系统的控制性能成为了研究的重要问题.

近些年来,通过线性化方法或利用线性时不变系统逼近物理模型来提取线性周期系统的方法不断涌出.Olcer和Prasad等学者[3-5]针对具有转子周期特性的周期系统提出了两步过程获得高阶线性时不变模型的方法.Lopez等[6]利用谐波分解将系统状态表示成多种谐波以创建线性时不变系统近似值,并制定相应的线性时不变模型.但此方法由于对原始周期系统二阶公式的依赖等问题使谐波分解等在解释时会出现困难.为此,文献[7]提出了使用一阶公式进行谐波分解获取更加通用的线性时不变模型的方法,以更好地模拟周期系统.除此之外,Ismail等[8]考虑到线性周期系统可以等效为线性时不变系统的特点,使用频域子空间辨识方法获取相应的线性时不变系统的估计值以模拟周期系统.不过上述方法对周期系统建模的过程可能会导致重复模拟,或由于较复杂的数学分析使建模时间过渡较长甚至无法得到模型,因此引发了对模型简化的需求.在这方面,Magruder等[9]开发了一种在H2哈代空间中分析系统的算法,利用得到的后验误差界激励优化算法以简化模型,得到的模型参数量级更低,参数估计更精准.通过线性化或者简化后的系统,需要设计合理的控制器来精准高效的控制周期系统.文献[10]设计了状态反馈控制器以控制系统.Li等[11]和Liao等[12]设计了一种具有预见作用的预见跟踪控制器,前者充分考虑了可预见的参考信号和干扰信号,而后者则利用系数矩阵是周期函数的特性设计了最优预见跟踪控制器.而Nguyen等[13]则设计了模型预测控制器,并利用插值控制提高控制性能,保证了递归的可行性和渐进稳定性.文献[14]在考虑了模型转换问题后,将系统转化为增强的线性时不变系统,然后利用线性二次最优控制以控制系统.除此之外,更有学者考虑了执行器故障[15]、鲁棒稳定性[16-17]以及执行器饱和[18]等问题并且给予了合理的解决方法.不过,当系统参数未知时,相比于利用模拟逼近的方法,采用自适应辨识的方法能得到更精确的结果.文献[19-20]中利用李雅普诺夫理论构建了李雅普诺夫函数,在参数周期已知的情况下可以得到精确的辨识结果.然而,由于单模型自适应控制对周期系统的控制具有精度低、调节时间长、暂态响应差等不足[21].为此Narendra等[22]提出了基于切换的多模型自适应控制以实现更加良好的控制效果,但对于时变系统却因模型频繁切换产生抖震,导致系统不稳定.为避免模型间的频繁切换,文献[23-24]提出了多模型自适应混合控制,通过混合信号将各个子控制器输出混合,保证了系统输出的平滑性.但随着系统维度的增加,模型数量会呈指数增加,为此文献[25]提出了多模型二阶段自适应控制,这种控制策略既避免了多模型切换控制可能存在的抖震又减少了模型数量,并且可以有效利用自身信息,而被广泛应用.

本文针对多变量周期系统,设计了多模型二阶段自适应控制器.首先,根据先验知识确定系统不确定范围,并在此范围内设定若干个自适应模型.然后,基于李雅普诺夫理论设计了第一阶段参数辨识方程以及第二阶段权值自适应律,获取虚拟模型参数值,用以加快参数收敛速度.接着,利用虚拟模型参数设计二阶段自适应控制器,以提高系统的暂态性能.再给出了系统稳定性证明.最后的数值仿真结果证明了多模型二阶段自适应控制器的有效性.

2 对象描述

考虑下述多变量线性周期系统：

式中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分别为可测的系统状态向量以及输入量;B ∈Rn×m,C ∈Rl×n分别为系统的控制矩阵和输出矩阵;A ∈Rn×n为参数未知的系统矩阵,其具体形式如下：

控制目标是设计控制器u(t)使状态向量x(t)趋向于参考向量.因此对系统做出如下假设：

假设1系统的控制矩阵B以及输出矩阵C已知,且当m=n时,B为非奇异方阵,m/=n时,B的伪逆存在;

假设2系统矩阵呈周期性变化,即A(t)=A(t−T),且时间周期T已知;

假设3系统矩阵A(t)中所有参数的不确定区域SA已知,且SA为凸集合.

表1中给出了本文中主要变量说明.

3 多模型二阶段自适应控制

3.1 第1阶段自适应

对系统(1)作如下变换：

式中Am为稳定的参考模型系统矩阵,且为时不变Hurwitz矩阵,有

表1 文中主要变量说明表Table 1 Description table of main variables

针对系统(3)建立多个状态辨识模型,即

由此可以得到系统的误差方程为

式中P是式(8)所示的Lyapunov方程唯一对称正定解,

对式(7)求导可得

因此式(9)可表述为

此时,应当选择合适Φi保证式(12)小于0.即

将式(13)代入式(12)中有

3.2 第2阶段自适应

第2阶段自适应的设计过程需建立在以下引理的基础上.

引理1对于参数A ∈SA,如果SA为凸集合,对于集合SA内的任意一点,都可以用集合SA内至多N=n2+1个点的线性组合来表征,即

引理2若任意n2个辨识模型的初值是线性无关的,且N=n2+1个参数构成的凸集合可以构成参数A的不确定区域SA,即满足

则对于任意时刻t≥t0,有

引理3如果系统参数A在初始时刻位于辨识模型初始值构成的凸集合SA内,则对任意t≥t0,参数A始终位于SA内.

基于上述引理以及多模型二阶段自适应控制理论,需要设计第一阶段的N=n2+1个自适应模型,n2为系统未知参数的数量.利用第1阶段的N个自适应模型构成虚拟模型,N个自适应模型的初值应形成凸组合且包含系统的不确定区域,得到的虚拟模型如下：

虚拟模型的状态估计模型如下：

式中：qi=1,i=j,否则qi=0.

同理,

因此式(3)与(20)可改写为

得到误差方程为

根据李雅普诺夫理论,为了保证参数收敛,需要使导数小于0.即式(32)小于0.因此,设计权值自适应律

3.3 控制器设计

基于上述得到的虚拟参数,设计基于模型参考自适应理论的控制器,保证系统渐进跟踪参考模型.

已知稳定的参考模型

式中：xm∈Rn为参考状态向量,Am形如式(4),Bm∈Rn×m为已知的控制矩阵,r(t)∈Rm为已知的参考输入.

控制器采用模型跟随控制器,其结构为

式中：B†为B的伪逆,若B为非奇异矩阵,则B†=B−1.

设系统误差ec(t)=x(t)−xm(t),根据式(3)(35)和式(36)得

式中：

4 仿真研究

考虑如下两输入两输出线性周期系统：

式中：

根据先验知识得知,θ2已知,而θ1=[a11a12]未知.参考模型为

参考输入R(t)=[2 sin(1.4πt) 2 cos(1.4πt)]T.

现针对单模型自适应与多模型二阶段自适应两种方法进行对比研究.单模型自适应初值设定为θ2(0)=[−7 6.8].多模型二阶段自适应模型数量为3,模型参数初始值分别为θ21(0)=[−8 7],θ22(0)=[−7 4.5],θ23(0)=[−6 7].为使虚拟模型初始参数和单模型自适应初始参数一致,因此α=[0.46 0.08 0.46]T.

单模型自适应控制参数辨识如图1-2所示.由曲线可知,单模型自适应控制虽然辨识参数可以逐渐追踪到真实参数,但参数收敛时间过长,因此造成系统暂态误差大,调节时间过长.单模型自适应控制曲线图3-4所示.

图1 单模型自适应控制参数1辨识Fig.1 Parameter 1 identification

图2 单模型自适应控制参数2辨识Fig.2 Parameter 2 identification

图3 单模型自适应控制曲线1Fig.3 Output 1 of single model adaptive control

多模型二阶段自适应控制参数辨识如图5-6所示.从图中可知,辨识参数可较快地跟踪到真实值,参数收敛速度较快.图7-8为参数辨识误差曲线,可知多模型二阶段自适应控制比起单模型自适应控制,参数收敛速度更快,参数误差更小.

图4 单模型自适应控制曲线2Fig.4 Output 2 of single model adaptive control

图6 多模型二阶段自适应控制参数2辨识Fig.6 Parameter 2 identification

图7 参数1辨识误差对比Fig.7 Parameter 1 identification error comparison

图8 参数2辨识误差对比Fig.8 Parameter 2 identification error comparison

图10-11为多模型二阶段控制曲线,图12-13为控制误差对比图.除第1周期由于两方法参数一致导致控制误差相同外,其他时间多模型二阶段自适应控制方法在暂态性能方面明显优于单模型自适应控制.

图9 参数辨识误差积分对比Fig.9 Parameter identification error integral comparison

图12 控制误差对比1Fig.12 Control error comparison 1

图13 控制误差对比2Fig.13 Control error comparison 2

5 结语

本文针对多变量周期系统设计了多模型二阶段自适应控制器.利用李雅普诺夫理论得到两个阶段的辨识方程并得到虚拟模型,根据虚拟模型参数设计二阶段控制器.接着对系统的稳定性给予了证明.文末根据数值仿真研究可知多模型二阶段自适应控制提高了参数收敛速度,参数辨识结果精度更高;控制系统的响应速度更快,调节时间更短,控制精度更高.