基于MATLAB非线性拟合的血压微分方程模型研究

李鑫　王慧

摘  要：通过对一级高血压患者在短时間内服用降压药后血压变化的研究，建立血压与时间关系的模型。该模型基于微分方程，并利用MATLAB非线性曲线拟合对给出的数据进行处理，然后确定降压药从胃进入血液和排出体外的速度系数以及血液中降压药含量与血压的比例系数，根据模型得出的结果基本符合实际，最后对于一级高血压患者给出建议并做出合理的解释，为通过微分方程解决实际问题提供借鉴参考。

关键词：MATLAB;曲线拟合;微分方程;降压药;血压

中图分类号：TP39   文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2021）17-0103-04

Abstract： Through the study on the changes of blood pressure in patients with primary hypertension after taking antihypertensive drugs in a short time， a model of the relationship between blood pressure and time is established. The model is based on differential equations and uses MATLAB nonlinear curve fitting to process the given data， and then determines the speed coefficient of antihypertensive drugs from the stomach into the blood and out of the body and the proportional coefficient of antihypertensive drug content in the blood and blood pressure. The results obtained according to the model are basically in line with the reality. Finally， suggestions and reasonable explanations are given for patients with primary hypertension. It provides a reference for solving practical problems through differential equations.

Keywords： MATLAB; curve fitting; differential equation; antihypertensive drug; blood pressure

0  引  言

据所周知中国不仅仅是一个人口大国，而且还是一个人口高血压大国。根据现有最新的数据明确显示出，中国大约有2.7亿人是患有高血压病的。但是大部分人对于高血压，基本上是一知半解。再加上其他因素的影响，就使得高血压的了解率、治疗率、等都非常低，而且其发病率、致残率、死亡率都在走向高处。因此，高血压对健康的影响不容小觑，掌握高血压的基础知识，才能防止高血压给自身健康带来不良的影响。

高血压有很大的危害，高血压患者如不及时治疗高血压，患者的平均寿命会缩短将近20年。因为高血压对大脑、心脏、肾脏和眼睛等器官的危害较大。高血压可引起脑卒中（脑出血、脑梗死）、短暂性脑缺血发作等，有数据表明，70%的脑卒中与高血压有关，而脑卒中则是导致血管性痴呆的重要原因。高血压对心脏也有着重大影响。据数据显示，20%～30%的高血压患者伴有左心室肥大，50%的心肌梗死与高血压有关。同时，高血压会使得冠心病危险增加2.6倍，还会使心力衰竭危险增加6倍。长期高血压会使肾小球压力增高，如果是高血压持续10年左右，那么肾小球将会受到损害，肾的微小动脉就会发生病变，进而导致肾功能减退或发展为肾衰竭。单纯高血压持续15年，有42%的患者会出现肾损害，重度高血压可使尿毒症危险增加11倍。据悉，78%的高血压患者伴有眼底病变。高血压可能会导致视力下降，严重时还会导致失明。高血压的危害极大，因此积极治疗高血压显得尤为重要。血压要尽早达标，并坚持长期治疗是高血压患者的长寿之路。

目前降低高血压方法有很多：（1）定期锻炼建议高血压患者要定期的运动锻炼，务必要坚持规律性的运动，因为一旦中断运动，血压会再次升高。降低血压的运动尽可能地做有氧运动，包括散步，慢跑，骑自行车，游泳或跳舞;（2）饮食要健康，如果能够控制饮食结构也能降低血压，可以尝试富含全谷物食物、水果、蔬菜和低脂肪乳制品的饮食可以降低血压11 mmHg。这种饮食计划被称为抑制高血压饮食的饮食方法;（3）减少饮食中的钠;（4）戒烟限酒，喝酒能提升血压，饮酒越多血压升高的越明显;（5）睡眠充足，睡眠时间过少也会引起血压的升高。为了保持血压正常，要做到按时休息，不要熬夜;（6）减轻压力，虽然并没有很明确的研究表明压力对血压的影响到底有多大，但是如果长期压力过大的话确实会影响血压。如果血压过于高就需要药物治疗，一般都服用降压药。

随着年龄的增长高血压一直都是我们关注的问题，一般来说当血压超过140 mmHg就定义为高血压，血压在140 mmHg～160 mmHg是一级高血压，160 mmHg～180 mmHg是二级高血压，180 mmHg及其以上是三级高血压，高血压一般起病缓慢，患者早期常无症状，或仅有头晕、头痛等症状，如果治疗不当就会病变成为较严重的脑中风、心肌梗死和肾功能衰竭等这些常见高血压并发症。治疗高血压，最为常用饮食疗法，其食用简单，针对高血压及引起的高血糖、高血脂的调理平衡效果理想。当然如果想快速达到降压的效果，还可以使用降压药来控制血压。本文就考虑一个一级高血压患者在服用降压药情形下，在经过多长时间血压降到140 mmHg以下，又经过多长时间血压回升到140 mmHg以上。

1  一级高血压患者血压变化模型建立

对某个一级高血压患者在短时间内服用降压药后，观察患者的血压变化情况，隔一定时间测量该高血压患者血压的变化进行测量，并记录了24次血压变化情况，表1为24次测量结果（血压单位为：mmHg）。

1.1  血压变化模型的符号说明

为了方便后续书写，在这里给出一些数学符号，并加以解释说明，如表2所示。

1.2  血压变化模型的假设

针对某个一级高血压患者在短时间内服下降压药之后，考察降压药先进入胃再进入体液最后从体液排出这样的一个过程，在此过程中给出3个假设：

（1）假设胃在初始时刻t=0时，降压药含量为a，降压药从胃进入血液的速率与胃中的降压药含量成正比，比例系数为k1。

（2）假设人体的体液容积一直保持不变，在初始时刻t=0时，人体体液中降压药含量为零，在任意大于0的时刻，降压药从体液向体外排出的速率与体液降压药含量成正比，比例系数为k2。

（3）假设该患者的血压与体液中降压药含量呈线性关系，系数为k3，k4，其中k3<0，即当体液中降压药含量增多时，患者的血压开始下降;当体液中降压药含量减少时，患者的血压开始上升。

（4）假設该高血压患者在整个测量血压的过程中，各项系数保持不变，故服用降压药后不使用其他药品。

1.3  血压变化模型

根据假设（1），胃内降压药含量V1（t）满足微分方程初值问题：

根据假设（2），体液中降压药含量V2（t）满足微分方程初值问题：

根据假设（3），体液中降压药含量与血压V3（t）满足方程：

V3（t）=k3V2（t）+k4（k3<0）

2  血压变化模型求解

2.1  模型求解

对于上述假设利用MATLAB求解微分方程初值问题，其MATLAB程序为：

2.2  曲线的拟合

利用MATLAB的Isqnonlin函数进行最小二乘拟合，根据表1的一级高血压患者服用降压药后24次测量数据，选取适当的参数k1，k2，k3，k4，此问题的MATLAB程序过程为：

根据所得的血压与时间关系表达式，做出此表达式的函数图像，与其真实测量值进行对比，利用MATLAB绘制效果拟合图，程序为：

运行结果如图1所示。

特别说明其中带有加号的是患者实际的测量血压值，蓝色的曲线是我们经过假设（1）、（2）、（3）之后拟合的图形，通过观察图1血压与时间关系曲线拟合效果图，从图像中不难发现拟合之后的图形与之前图形吻合良好，说明假设是可行的，进而可以把患者血压随时间变化看成函数y=59.714 3（e-1.942 9t-e-0.039 7t）+171.121 1。

2.3  误差分析

利用MATLAB绘制图1血压拟合误差图，其MATLAB程序为：

运行结果如图2所示。

从图2中我们发现拟合的曲线效果还是非常不错的，误差值均在[-3，3]范围内，吻合度还是比较高的，这说明模型的假设和模型的建立都是恰当的。

当然大多数人主要关心此一级高血压患者在服用药物多久之后血压降低至140 mmHg，又经过多久之后血压回到140 mmHg，结合着拟合之后的曲线进行计算。

2.4  模型应用

当某一级高血压患者若在清晨服用一片降压药之后，通过对拟合曲线方程计算在经过0.4小时之后，该患者血压下降至140 mmHg以下，符合标准。经过16.4小时之后该患者血压回升至140 mmHg。该一级高血压患者服用一片降压药后经过25分钟血压即可控制在正常范围之内，25分钟之后直到睡觉前血压都可以维持在正常范围之内，故建议一天服用一片效果最佳。

在服用降压药的过程中需要谨遵具体的原则，这样才能发挥良好的降压效果。在医生的指导下服用剂量正确的降压药物能发挥良好的降压效果。错误的用药行为都可能会影响血压，影响健康，甚至增加身体负担。在服用降压药物时需要牢记正确的原则，具体的剂量应该咨询医生意见，服用正确的剂量才能达到稳定血压的目的。而使用降压药物时具体的服用时间需要了解。因为人的一天中有部分时间段血压容易升高，在这些血压升高的时间段服用降压药物才能发挥良好的降压效果，这样对高血压病情控制有帮助。

具体的服用时间也要咨询医生意见，很多人平时降压药物并没有正确使用，有时候忘记了服药，没有在血压的高峰值使用药物来降低血压，这都有可能就会导致高血压病情加重，出现血压波动的情况。在服用降压药物时需要牢记正确的原则，注意服用药物的正确时间。

2.5  模型的优缺点以及推广

模型的优点：模型把复杂的血压变化问题转化为降压药在血液里浓度变化直接线性的导致血压简单变化规律;模型简单易懂，具有良好的可读性、实用性。

模型的缺点：此模型存在近似误差，很有可能是第三个假设再加上曲线拟合导致的，第三个假设降压药在血液中含量直接线性导致血压变化，这里线性假设过于简单，需要结合具体实际具体讨论，这样可使得误差更加小，更加精确。

模型的推广：模型可以进行修改，去讨论二级高血压以及三级高血压患者一天服用几次降压药可使得血压保持在正常范围之内;模型还对药物在人体浓度变化研究具有一些参考的价值。

3  结  论

一般情况下，出现高血压这种慢性疾病后需要马上展开治疗，通过合理的方式控制病情发展，否则血压的持续升高容易导致健康受损，甚至会加速血管的老化。想要合理控制好血压，一定要在医生的指导下合理使用降压药，这样才能达到控制病情的目的。

本文在讨论吃一片降压药情况下，建立了时间和血压微分方程模型，模型很好地描述了血压随时间变化规律，并对数据进行MATLAB非线性最小二乘拟合法，确定出降压药从胃进入体液的速率、降压药从体液向体外排出的速率与血压与体液中降压药含量呈线性关系的速率系数，根据血压模型的误差分析得出模型基本符合实际，对高血压患者服用降压药之后血压变化有着一定的借鉴作用，最后对一级高血压患者摄入降压药后血压变化给出准确性预测。

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作者简介：李鑫（1991.06—），男，汉族，黑龙江鸡西人，助教，硕士，研究方向：应用数学;王慧（1985.10—），女，汉族，河北肃宁人，讲师，党政综合办公室主任，硕士研究生，研究方向：数学机械化。