窄带信号波达方向估计仿真实验

廖昌俊, 潘 晔, 刘继芝

(电子科技大学 1.信息与通信工程学院，2.电子科学与工程学院，四川 成都 611731)

0 引言

阵列信号处理是信号处理领域的重要分支，它由以一定形式排列且分布在空间不同位置的若干个传感器组成[1～4]。传感器阵列中的所有阵元感应来自空间中的信号，对信号进行特定的处理，使感兴趣的目标信号得到强化，无用的干扰和噪声信号得到抑制，提取到有用的信号参数。阵列信号处理广泛应用于众多军事及国民经济领域，如雷达、声纳、通信以及生物医学等。

波达方向估计作为阵列信号处理一个重要的研究分支，广泛地应用于军事及民用领域，成为研究的一大热点[5,6]。现有的传统窄带信号波达方向估计算法都是根据阵列输出数据的二阶统计特性对信源进行波达方向估计的，其需要较多的采样快拍数据来保证测向精度，并且对噪声很敏感。

1 远场窄带测向模型建立

如果信号带宽远小于其中心频率，则该信号称为窄带信号，其满足：

(1)

式中，WB为信号带宽，f0为中心频率。通常将正弦信号和余弦信号统称为正弦型信号，正弦型信号是典型的窄带信号。窄带信号表示为

(2)

式中，a(t)为慢变幅度调制函数，θ(t)为慢变相位调制函数，ω0=2πf0为载频。一般情况下a(t)和θ(t)包含了全部有用信息。

噪声模型

设阵元接受到的噪声均为平稳零均值高斯白噪声，方差为σ2。各阵元间的噪声互不相关，且与目标源不相关。这样噪声向量的二阶矩满足

(3)

其中

阵列天线统计模型的前提及假设

信号通过无线信道的传输情况是极其复杂的，其严格数学模型的建立需要有物理环境的完整描述，但这种做法较复杂。为了得到一个比较有用的参数化模型，必须简化有关信号传输的假设。

关于接收天线阵列的假设：接收阵列由位于空间已知坐标处的无源阵元按一定的形式排列而成。假设阵元的接收特性仅与其位置有关而与其尺寸无关(认为其是一个点)，且阵元都是全向阵元，增益均相等。相互之间的互耦忽略不计。

关于空间源信号的假设：假设空间信号的传播介质是均匀且各向同性的，空间信号在介质中将按直线传播。同时假设阵列处于空间信号辐射的远场中，所以空间源信号到达阵列时可被看作一束平行的平面波。空间源信号到达阵列各阵元在时间上的不同时延，可由阵列的几何结构和空间波的来向决定。空间波的来向在三维空间中常用仰角θ和方位角φ来表征。

阵列天线模型

(a) 窄带模型

(b) 增益和移相器的级联图1 一般窄带波束形成器

均匀线阵

线阵如图2所示。其中有N个阵元，位于z轴上，具有均匀间距d。把这种阵列称为均匀线性阵列，且阵列的中心放在坐标系的原点上。

图2 放置在z轴上的线阵

阵元位置为

(4)

(5)

矢量vk(K)包含了阵列的所有空间特征，称为阵列流形矢量。为了确定阵列的流行矢量vk(K)，把式(4)和式(5)代入式(6)，得：

(6)

进一步得到

(7)

式(7)中

(8)

(9)

是波数的幅度，线阵在φ方向是没有分辨能力的。

2 基于块稀疏算法的窄带测向仿真

最小范数算法[10～12]BP(Basis Pursuit)和正交匹配追踪算法[13～16]OMP(Orthogonal Matching Pursuit)，都是基于单快拍的测向算法，测向精度受限于快拍的限制而无法进一步提高，且未能充分利用稀疏信号的统计信息。为此，使用块稀疏(Multiple Measurement Vectors)的方法来恢复稀疏信号。

压缩感知理论是基于稀疏信号(或者更广义地说是可压缩信号)这一类特殊信号而提出的釆样与重构理论。对于一个基矩阵Φ∈Rn×n，其各列线性独立，若一个向量x∈Rn可由这个基矩阵完全表示，即

(10)

最具挑战的任务是当信号为稀疏向量且非零值位置完全未知时，如何通过少于n的釆样点数来重构系数向量s。压缩感知理论正是针对这个问题应运而生，通过构造采样矩阵使利用远少于n的釆样点数就可以精确重构出系数向量s。

压缩感知的釆样过程可由式(11)所示：

(11)

其中Ψ∈Rn×n,m

块稀疏BP算法仿真

根据窄带信号模型，从N元线阵上得到的有M个入射信号源的K快拍信号为

(12)

基于远场窄带独立目标信号源的数学模型为X(t)=AS(t)+N(t)，由此可以得到天线阵列接收数据的协方差矩阵R，并对其进行特征值分解。

(13)

Us是由大特征值λi,i=1,2,…，M相对应的特征矢量张成的目标信号子空间，而Um则是由小特征值λi,i=M+1,M+2,…，N相对应的特征矢量张成的噪声子空间。

采样协方差矩阵为：

(14)

设置空间搜索分辨率为1，根据阵列的信息建立稀疏重建的字典：

(15)

采用多快拍的BP算法重建信号：

(16)

仿真参数：c=3×108m/s，阵元数为8个，1000快拍，阵元间距与波长之比为0.5，信噪比为10dB，分辨率为1°,设为多目标，目标方向为-43°,49°,如图3所示。

图3 非相干信号测向

3 相干信号块稀疏算法测向仿真

由于在块稀疏算法重建信号的过程中需要用到信号的协方差矩阵，而信号的相干性会导致协方差矩阵不满秩从而无法估计出信号的波达方向。

仿真参数：c=3×108m/s，阵元数为8个，1000快拍，阵元间距与波长之比为0.5，信噪比为10dB，分辨率为1°，设为多目标，目标方向为-31°,25°，如图4所示。

类似于传统的窄带相干信号测向算法，先对信号的协方差矩阵进行空间平滑预处理使得协方差满秩。

空间平滑技术可以解相干，阵列阵元数为M，信源数为N，将阵列划分为K个相互重叠的子阵列，子阵列中的阵元数相等，且子阵列阵元数m>N且K+m=M+1 。每个子阵列组成结构相同，子阵列划分方案如图5所示：

阵元{1,2,…,m}构成子阵列1，阵元{2,3,…,m+1}构成子阵列2，从左到右以此类推。利用向量形式表示子阵列的接收数据：

图5 前向平滑子阵列

(17)

(18)

可得子阵的接收数据协方差矩阵为：

(19)

上式中，Rk为m×m维矩阵，空间平滑法处理后数据协方差矩阵定义为：

(20)

为了与前后向空间平滑区分，上式所描述的空间平滑又称前向空间平滑。可以证明，若 则可以保证空间平滑协方差矩阵为满秩矩阵。利用空间平滑法将协方差矩阵恢复为满秩后，就可以利用特征空间原理分离出等效的信号子空间与噪声子空间。从推导过程可以看出空间平滑法的有效阵元数减少，是以损失阵列孔径为代价换取解相干能力的，可分辨的入射信源数目最多为M/2。

为了减少阵列孔径损失，在前向空间平滑基础上发展出了前后向空间平滑算法。前后相空间平滑增加了后向空间平滑，后向空间平滑与前向空间平滑的子阵构成方案相似，与前向空间平滑法方向相反，抽取阵元组成子阵列。后向平滑子阵列构成方案如图6所示：

空间平滑子阵列：

(21)

图6 后向平滑子阵列

(22)

前后向空间平滑法输出协方差矩阵为：

(23)

对于前后向空间平滑法，前向子阵与后向子阵的结构是一致的，子阵总数为2K，实际上只需要进行前向子阵抽取就可以得到协方差矩阵。可以证明，若子阵总数大于等于入射信号总数，即 2K≥N时，可以保证输出协方差矩阵为满秩矩阵。所以前后向空间平滑算法可分辨的入射信源数目最多为2M/3。

空间平滑是一种解相干的经典算法，以空间平滑算法发展出基础更多的改进算法如空间差分算法、虚拟空间平滑算法、加权空间平滑算法。

对降秩后的协方差矩阵进行奇异值分解，求出信号子空间Us。由于协方差矩阵已进行降秩处理，等价于所建立稀疏信号的字典时需要根据平滑预处理后的阵列信息而不是原先的阵列信息。设平滑预处理后的阵列的子阵列数为m，则字典D为：

(24)

块稀疏重建模型为：

(25)

解出的稀疏矩阵S采用同样的方式处理即可得出波达方向。设计代码模块如图7：

图7 仿真代码模块

设置仿真参数：c=3×108m/s，阵元数为8个，1000快拍，阵元间距与波长之比为0.5，信噪比为10dB，分辨率为0.1°。

设为多目标，目标方向为-31°,25°。

图8 相干信号解相干后测向

相干非相干信号块稀疏混合测向仿真

设置仿真参数：c=3×108m/s，阵元数为18个，1000快拍，阵元间距与波长之比为0.5，信噪比为10dB，分辨率为1°。假设目标为多目标，非相干目标方向为-43°,-49°；相干目标方向为-31°,25°。

图9 混合信号解相干后测向

通过仿真仿真实验，可得到空间平滑与处理的块稀疏相干测向也可用于相干非相干混合测向。

4 结语

阵列信号处理是信号处理领域的一个重要 分支，而其中的波达方向估计是学生学习的一个难点。学生通过本仿真实验，能够学习分析传统窄带测向的不足。并利用波达方向对于全空域角度维的稀疏特性，将压缩感知的算法应用到DOA估计中来。

学生通过仿真试验，能够学习建立远场窄带测向的噪声模型，阵列天线模型和均匀线阵。同时学生在对相干信号块稀疏算法测向和相干非相干信号块稀疏混合测向的仿真实验中，学习到了如何能够恢复基矩阵的稀疏系数，从而得到DOA估计值。通过本仿真实验，可以进一步加强学生对相关知识的理解和应用。