理顺数量关系 明晰解题思路

【摘要】本文论述在教学分数应用题时引导学生理顺错综复杂的数量关系，顺利找准单位“1”的方法，提出寻找等量关系创设数学思维起点、厘清标准建立数量思维基础、创新实践操作提升数学思维品质、对接生活训练建构数学思维体系等教学建议，以让学生成功理顺数量关系，顺利解决分数应用题。

【关键词】小学数学 数量关系 解题思路 分数应用题

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）05-0104-02

解决数学问题要面对多种数量关系，如何让学生顺利找出这些关系，形成关联性思考和认知，是数学教学需要重點考虑的问题。教师要根据教学内容，对多种等量关系进行对应分析，引导学生快速梳理思维，并在归纳总结和提炼中形成教学启发点。如在应用分数解决实际问题中概括出分数应用题的基本模式：①先找准单位“1”。②判断单位“1”是否已告知，如果已知，就直接用乘法计算各个分量;如果待定，就写出乘法等式，用算术方法或方程解答。如果学生套用这两个模式，虽然短期内可能会收到奇效，但是把解题思路套路化、公式化，学生只会机械模仿，不明就里，这不利于学生数学思维的发展和创新能力的提高。

一、寻找等量关系，创设数理思维起点

数学教学启动后，教师要给予科学的指导，引导学生先找出各种数量关系，以勾画明晰的教学框架，为学生的学习思维启动创造条件。在运用分数解决实际问题教学中，如何确定单位“1”？“牢牢记住，凡是说谁的几分之几，谁就是单位‘1（以下简称“句法分析法”）。”笔者认为，这种句法分析法，只能帮助学生找准单位“1”，而不能帮助学生理解何为单位“1”。又如，“牡丹花朵数占杜鹃花朵数的[37]”（以下简称例1），如果按“句法分析法”思考，学生势必会这样分析：“杜鹃花的[37]”，杜鹃花的朵数是单位“1”。这样思考，快速高效，但这仅是语句成分分析，学生对“为什么要把杜鹃花的朵数作为单位‘1”根本不理解。

因此，教师要为学生做出更多针对性指导，让学生顺利找到等量关系的对接点，才能有效提升学生的数学思维品质。在例1教学中，教师可以从下面几个角度展开引导：

（一）从分数的意义理解单位“1”

分数的意义是建立在单位“1”基础上的，反之，理解分数意义就可以锁定单位“1”。所以，教师不妨从分数的意义入手，引导学生理解单位“1”。如例1中[37]表示把杜鹃花的朵数视为一个整体，等分成7份，牡丹花占了其中的3份。这里只有杜鹃花的朵数被看作单位“1”，所以它是单位“1”。这样的教学设计和操作能够让学生顺利地找到单位“1”，对数量关系也理解透彻了。

（二）及早渗透找单位“1”

在教学分数的意义时，教师要有前瞻性，提前渗透单位“1”的知识，为以后学习解分数应用题打好基础。例如，教师可以让学生先试着用分数的意义解答：牡丹花朵数占杜鹃花的[37]，如果杜鹃花开了140朵，那么牡丹花开了（ ）朵;如果牡丹花开了90朵，那么杜鹃花开了（ ）朵。教学时，教师可以引导学生这样思考：把140朵杜鹃花看成单位“1”，等分成7份，每份得到20朵，牡丹花含有等量的3份，也就是60朵;把杜鹃花看成单位“1”，等分成7份，牡丹花含有等量的3份，共是90朵，而杜鹃花含有等量的7份，也就是210朵。解答时，学生在理解分数意义的同时，自然而然就会找到单位“1”。

二、厘清标准，建立数理思维基础

又如，“华为手机的台数比苹果手机多[15]”（以下简称例2），它的含义是：华为手机台数比苹果手机多出的数量占苹果手机的[15]，则苹果手机的台数是单位“1”。笔者认为，这种做法其实还是将其转变为“谁占谁的几分之几”的标准句式（例1）的形式，然后按“句法分析法”来寻找单位“1”。这样找单位“1”，学生会产生疑惑：为什么是“多出的数量是占苹果手机的[15]”，而不是“占华为手机的[15]”呢？

学生对等量关系存在模糊认知，教师需要给学生提供更多的操作标准，为学生带来学习提示，促使学生在多重对比分析中找到正确的切入口。结合前文体例，教师不妨从以下几个角度进行设计：

1.让学生体会比多（少）时“标准”的重要性。例如，教师可以先设计诱导性提问：“黄牛高还是矮？”（学生一脸茫然）然后追问：“为什么不能作出判断呢？”（那要看和谁比）最后教师说明：“如果以小狗为标准，黄牛就显得高;如果以长颈鹿为标准，黄牛就显得矮。”通过这样教学，学生在比多（少）时，就会意识到“标准”的重要性。

2.从比多（少）中确立单位“1”。例如，找例2中的单位“1”，教师可以这样引导：谁多？（华为手机多）和哪种品牌手机比华为手机显得多？（和苹果手机比）比较的“标准”是什么？（苹果手机的台数）多的台数占谁的[15]？（因为苹果手机的台数是比较的“标准”，所以多出的台数占苹果手机的[15]）1表示什么意思？（引导学生按例1的办法确定单位“1”）这样寻找单位“1”，学生能够领悟把苹果手机的台数设为单位“1”的深层原因，就不会产生“句式分析法”引发的疑惑，从而深刻理解数量关系在相差中含有倍率，为后面分析问题做好准备。

三、创新实践操作，提升数学思维品质

如何寻找解题方法？“根据分数意义写出乘法等式”，并且片面强调，写的是“乘法等式”，而避开“等量关系式”的说法。其理由是：写乘法等式简单直接、路线明确，如果要求是写出等量关系式，并不利于潜力生掌握。如此一来，学生“掌握”的只是模仿的技能，只会解一类题，如果题目出现了一些细微变化，就会束手无策，无法找到解决问题的通路。

如，“牡丹花=杜鹃花×[37]”。怎么操作呢？文中给出答案：“分数前面的‘的字改写成乘号，‘是、占、相当于、与则变换成等号。”这种机械的“改字”法，学生运用起来非常生硬，依然找不到正确的出口。此时，教师应该引导学生从多角度进行思考，用多个等量关系式替换一个乘法等式，这样，学生很快能就获得清晰的等量关系，为解决问题提供更多的途径。

如例1，可供选择的等量关系式有三个：A.牡丹花的朵数÷杜鹃花的朵数=[37];B.杜鹃花的朵数×[37]=牡丹花的朵数;C.牡丹花的朵数÷[37]=杜鹃花的朵数。有了这三个关系式，学生在解决问题时就能游刃有余。假如单位“1”已知，直接用B式正向解决;假如单位“1”未知，要么继续设未知数用B式列方程解答，要么采用C式顺推解决。如此一来，学生不但领悟了分数应用题的基本数量关系，而且也学会了自主灵活解题，提高了应对复杂分数问题的能力。

四、对接生活训练，构建数学思维体系

在教学例2时，教师如果先启发学生计算华为手机比苹果手机多的台数，列出“苹果手机×[15]”，进而列出乘法等式“華为手机=苹果手机+苹果手机×[15]”，再来变换式子，“利用乘法分配律得出：华为手机=（1+[15]）×苹果手机”。这样教学，数量关系没有揭示清楚。另外，利用乘法分配律变换的算式，只是一种形式的改动，没有把握其内在的关于分数意义的本质。

在数量等量关系梳理中，教师需要有对接意识，针对学生的生活认知基础，为学生提供丰富的训练内容，让学生在具体的实践操作中形成数学思维认知。针对具体课例，教师可以从以下两个方向做出应对：

1.画线段图分析数量关系。第一，先画出表示苹果手机台数的线段，因为它是比较的标准（也就是单位“1”），等分成4段。第二，再画出表示华为手机台数的线段，它由两段组接而成，一段表示与苹果手机台数相等，另一段表示苹果手机台数的[15]。

2.理顺“比多少”情境下的基本数量关系。师：我们知道3比5少2，5比3多2，5为“大数”，3为“小数”，2为“差值”，那么三者之间的关系是：大数-小数=差值;小数+差值=大数;大数-差值=小数。另外，以“比多少”为基础，分析如同例2中的超出倍率的数量关系。师引导：华为手机的台数相当于“大数”，苹果手机的台数相当于“小数”，“差值”是“苹果手机的台数×[15]”。最后，教师适时投放思考问题：三者之间有什么关系呢？这样，学生就能根据问题顺利找出他们之间的数量关系，从而顺利构建数学思维体系。A.华为手机的台数-苹果手机的台数=苹果手机的台数×[15];B.苹果手机的台数+苹果手机的台数×[15]=华为手机的台数;C.华为手机的台数-苹果手机的台数×[15]=苹果手机的台数。

总之，通过深入分析数量关系，学生可以深刻理解分数应用题的结构特点，避免机械照搬公式，真正做到融会贯通、灵活处理，进而全面提升思维能力和解题水平。

作者简介：覃江玲（1972— ），女，广西大化人，大学本科学历，高级教师，主要从事小学数学教学与研究。

（责编 林 剑）