中立型随机泛函微分方程截断Euler-Maruyama数值解的均方指数稳定分析

王子丰， 尤苏蓉

(东华大学 理学院， 上海 201620)

随机泛函微分方程应用于金融、医疗、自动化、循环神经网络等众多领域[1-2]，其特征是系统的状态变化依赖于该方程过去一段时间的表现及其导数，在方程系数满足局部Lipschitz条件、线性增长条件以及中立项的压缩映射条件下，中立型随机泛函方程存在唯一解[1]。Khasminskii条件是对经典线性增长条件的补充，可以包含更多的非线性系数。

Khasminskii条件下随机泛函微分方程解的存在唯一性、稳定性得到了较为广泛的研究[3-4]，这也大大扩展了随机泛函微分方程的应用领域。

在方程满足线性增长条件下，一些经典算法如Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、Milstein法、Theta法等被广泛应用于泛函方程，这些形式的数值解的收敛性、稳定性等性质往往较好[5-11]。但是当系数具有非线性特征时，这些性质将会被削弱，甚至数值解的收敛性也得不到保证，而截断思想则可以用于构建具有非线性特征的方程数值解。文献[12-14]首次引入截断Euler-Maruyama数值方法用以研究随机微分方程。文献[15-16]分别将截断Euler-Maruyama数值方法进一步引入时滞方程和泛函方程，使得此数值方法在Khasminskii条件下不仅能够保证解的存在唯一，还能保证其数值解收敛于精确解，但是没有数值解稳定性分析的相关结论。本文针对此问题展开研究，在使用与解析解相同假设的情况下，证明数值解具有均方指数稳定的特征。

1 问题背景

考虑以下非线性中立型随机泛函微分方程

d[x(t)-D(xt)]=f(xt，t)dt+g(xt，t)dB(t)，

t>0

(1)

初值为

x0={ξ(θ)∶-τ≤θ≤0}∈C([-τ， 0]；Rd)

其中f∶C([-τ， 0]；Rd)×[0，T]→Rd，g∶C([-τ， 0]；Rd)×[0，T]→Rd×m为其系数，D∶C([-τ， 0]；Rd)→Rd为中立项，且满足E‖ξ‖2<∞。

若方程(1)的系数f和g满足以下3个条件：

假设1对任意实数T≥0以及n≥0存在一个正常数KT， n，使得对任意t∈[0，T]以及所有满足‖φ‖，‖φ‖

|f(φ，t)-f(φ，t)|∨|g(φ，t)-g(φ，t)|≤
KT， n‖φ-φ‖

(2)

假设2存在一个常数α∈(0， 1)，使得对于任意φ，φ∈C([-τ， 0]；Rd)，式(3)成立。

|D(φ)-D(φ)|≤α‖φ-φ‖且D(0)=0

(3)

关于方程式(1)解的存在唯一性以及渐进性质，有定理1所示结论。

定理1[10， 17]若假设1～3成立，方程(1)存在唯一解且解具有均方指数稳定性质，即存在γ>0使得对于t>0，有

E|x(t)|2

(4)

由于在假设1～3的条件下方程(1)具有高度的非线性，而文献[11]提出的截断思想对于构造非线性方程的数值解有独特的优势，故本文将对方程(1)的截断Euler-Maruyama数值解的渐进性质进行研究。

2 截断Euler-Maruyama数值解及其均方指数稳定

(5)

令μ-1表示μ的反函数，显然μ-1是一个从(μ(1)，∞)到R+的严格增函数。存在一个常数Δ*∈(0， 1]以及一个严格减函数h∶(0，Δ*]→(0， ∞)使得

(6)

且对任意Δ∈(0，Δ*]，Δ1/4h(Δ)≤1。

fΔ(φ，t)=f(πΔ(φ)，t)
gΔ(φ，t)=g(πΔ(φ)，t)

显然fΔ与gΔ满足

|fΔ(φ，t)|∨|gΔ(φ，t)|≤
μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(7)

假设Δ=τ/N，其中N为自然数，令tk=kΔ，k=-N， -(N-1)， …， 0， 1， 2， …， 定义方程式(1)的截断Euler-Maruyama数值解XΔ(t)如下：

1) 当k=-N，-(N-1)， …， -1，0时，定义XΔ(tk)=ξ(tk)。

2) 当k>0时，定义

XΔ(tk+1)=D(XΔ， tk)+XΔ(tk)-D(XΔ， tk-1)+
fΔ(XΔ， tk，tk)Δ+gΔ(XΔ， tk，tk)ΔBk

其中XΔ， tk(θ)是一个定义在(-τ， 0]上的函数，当iΔ<θ≤(i+1)Δ，i=-N，-(N-1)， …， -1时，

(8)

由文献[11]可以得出，非线性随机微分方程的截断Euler-Maruyama数值解将收敛到解析解。接下来证明截断Euler-Maruyama数值解可以保持中立型随机泛函方程的均方指数稳定性。为了研究数值解的稳定性，假设f(0，t)=g(0，t)=0。

研究截断Euler-Maruyama数值解是否仍然能保持均方指数稳定的性质。首先证明一个引理，它显示截断之后方程系数仍然满足假设3中的条件。由于存在中立项，需要对方程式(1)的系数增加一个比假设3更强的条件。

(9)

可以看出，当β=1时，假设4就是原假设3，因此在假设1、 2、 4的条件下，方程式(1)存在唯一解，并且该解也有定理1中的结论。

引理1若假设4成立，则

(10)

证明：当‖φ‖≤μ-1(h(Δ))时，fΔ(φ，t)=f(φ，t)，gΔ(φ，t)=g(φ，t)，因此式(10)显然成立。而当‖φ‖>μ-1(h(Δ))时

2(φ(0)-D(φ))TfΔ(φ，t)+|gΔ(φ，t)|2=

即证得式(10)成立。

(11)

式中：C=C*∧α-2/τ>1。

证明：由Ito公式可得

|XΔ(tk)-D(XΔ， tk-1)|2+2(XΔ(tk)-
D(XΔ， tk-1))TfΔ(XΔ， tk)Δ+

|fΔ(XΔ， tk)|2Δ2+Mk

其中

E|YΔ(tk+1)|2≤

E|YΔ(tk)|2+(-λ1E|XΔ(tk)|2+

由C>1可得

C(k+1)ΔE|YΔ(tk+1)|2-CkΔE|YΔ(tk)|2≤

-C(k+1)Δ(λ1-ε)ΔE|XΔ(tk)|2+

这表示

CkΔE|YΔ(tk)|2≤

由压缩映射式(9)可知

因此

CkΔE|YΔ(tk)|2≤

由截断Euler-Maruyama数值解的定义可得

于是

CkΔE|YΔ(tk)|2≤((λ2+ε)Δ+

其中ρ(C)=(λ1-ε)Δ-(λ2+ε)Δ-(1-C-Δ)(1+α2)。

CkΔE|YΔ(tk)|2≤(C*)kΔE|YΔ(tk)|2≤D，

另一方面，对于任意δ>0，成立不等式

CkΔE|XΔ(tk)|2≤CkΔ(1+δ)E|YΔ(tk)|2+

E‖ξ‖2<∞。

3 数值模拟

考虑如下中立型随机泛函微分方程

其初值为x0=ξ={cosθ+25：-1≤θ≤0}。

显然方程的系数满足局部Lipschitz条件和压缩映射，Khasminskii条件则可以由下式导出

图1 中立型随机泛函微分方程截断Euler-Maruyama数值解的图像Fig.1 The path of numerical truncated Euler-Maruyama solution of neutral stochastic functional differential equations

注：kΔ为t的离散化。图2 中立型随机泛函微分方程截断Euler-Maruyama数值解的指数稳定性Fig.2 The exponential stability of the numerical truncated Euler-Maruyama solution of neutral stochastic functional differential equations

4 结 语

本文主要研究了中立型随机泛函微分方程的数值解。分析说明了解析解的均方指数稳定条件，利用线性插值等技巧建立了连续时间的Euler-Maruyama数值解，并引入截断思想得到了截断Euler-Maruyama数值解。通过对中立项和泛函项添加较强的凸性条件，进而在数值解的构造中对中立项连续化，最终得出截断Euler-Maruyama数值解仍将保持均方指数稳定的结论。