论黎曼猜想的证明问题

王海东

【摘要】黎曼猜想存在两个错误：第一，把无定义函数值当成了定义函数值;第二，没有找到所有无定义函数值的准确位置.这两个错误告诉我们：虽然黎曼ζ函数可以成立，但是用黎曼ζ函数不能证明黎曼猜想的成立，除非我们可以修改黎曼猜想的断言，将这个断言改为：黎曼ζ函数的无定义函数值分布在σ=1的直线上.

【关键词】黎曼猜想;黎曼ζ函数;复数表示定理

令n代表正整数，s代表复数，黎曼猜想的数学表达式为：

这个数学表达式称为黎曼ζ函数.黎曼ζ函数是一个复变函数，这个复变函数包含着一个复数公式：

其中，σ代表s的实部即Re（s），t代表s的虚部即Im（s），Re（s）和Im（s）则分别代表构成s的两个实数.这两个实数与构成s的虚数具有不同关系，前者与构成s的虚数具有加法关系，后者与构成s的虚数具有乘法关系，两者构成了一个包含虚数的线性组合，s就等于这个线性组合的代数和.

从这个复数公式来看，虽然s是由Re（s）和Im（s）共同构成的，但是黎曼ζ函数却仅仅给出了Re（s）的定义域，而没有同时给出Re（s）和Im（s）的定义域.由于黎曼ζ函数没有同时给出Re（s）和Im（s）的定义域，所以我们不仅无法根据现有信息确定黎曼ζ函数的定义域，也无法根据现有信息确定黎曼ζ函数的值域.在这种情况下，我们从黎曼ζ函数的推导过程中得出的任何一个结论，都不能成为证明黎曼猜想的理论依据.

由此可见，证明黎曼猜想的关键问题并不在于怎样从黎曼ζ函数的推导过程中得出一个正确结论，而在于怎样从Re（s）的定义域中正确地推导出黎曼ζ函数的定义域.因为只有从Re（s）的定义域中正确地推导出黎曼ζ函数的定义域，才能从黎曼ζ函数的推导过程中得出一个正确结论.

那么，怎样才能解决这个关键问题呢？显然，要想解决这个关键问题，就必须用Re（s）来表示s.要想用Re（s）来表示s，就必须用Re（s）来表示Im（s）.要想用Re（s）来表示Im（s），就必须弄清Re（s）和Im（s）的内在联系.要想弄清Re（s）和Im（s）的内在联系，就必须引进两个十分重要的数学定理.这两个数学定理就是虚数产生定理和负实数开方定理.

虚数产生定理是指： 所有负实数的开方运算都会产生一个虚数.

令-x代表任意负实数，y代表负实数的开方，i代表虚数，我们可以用数学归纳法证明虚数产生定理.

第一步，假定-x=-1.根据这一假定，我们可以推出以下公式：

y=-1=i.

第二步，假定-x=-n且0

y=-n=-1×n=-1×n=in.

第三步，假定-x=-n+m且m≥1.根据这一假定，我们可以推出以下公式：

y=-（n+m）=-1×（n+m）=-1×n+m=in+m.

因为上述三个公式覆盖了所有负实数，所以我们可以推出以下公式：

y=-x=-1×x=-1×x=ix.

负实数开方定理是指：任何绝对值相同的正负实数相乘都会产生负实数开方.

令y和-x含义不变，我们可以用以下方法证明负实数开方定理：

通过虚数产生定理和负实数开方定理的证明过程，我们可以找到两个十分重要的数学公式.

第一个数学公式是：

y=ix，

第二个数学公式是：

y=-xy.

把这两个数学公式联系起来，我们可以推出一个十分重要的数学公式：

ix=-xy.

从这个数学公式中我们又可以推出一个十分重要的数学公式：

iy=-xx.

推到这里，我们就推出了一个十分重要的数学定理.这个数学定理就是复数表示定理.

复数表示定理是指：任何一个复数的虚部都可以用这个复数的实部表示出来.

令z代表复数，我们可以用以下方法证明复数表示定理：

从复数表示定理来看，两个实数之间的复数关系就是一种虚数产生关系，这种虚数产生关系就是一种负实数开方关系.从这种负实数开方关系来看，我们既可以用引进虚数的方法来表示复数，又可以用消去虚数的方法来表示复数.消去虚数的复数可以称为实化复数.实化复数不仅可以把复数公式改写为实数公式，而且可以在实数运算中继续保持原有的复数性质.

不过，我们在应用复数表示定理的时候必须注意：虽然任何一种复数公式都可以改写成实数公式，但是改写出来的实数公式却又与众不同.当x>0时，这种实数公式不会通过开方运算产生虚数.当x<0时，这种实数公式将会通过开方运算产生虚数.因此，这种实数公式具有两个不同定义域.一个定义域属于实数定义域，另一个定义域属于复数定义域.实数定义域为x>0，復数定义域为x<0.由于这种实数公式具有两个不同定义域，所以我们不能将这种实数公式视为真实数公式，只能将这种实数公式视为伪实数公式.所谓真实数公式，就是只有实数定义域没有复数定义域的实数公式.所谓伪实数公式，就是既有实数定义域又有复数定义域的实数公式.

在做好了这些理论准备之后，我们就可以讨论黎曼猜想的证明问题了.

那么，我们应当从哪里开始讨论这个问题呢？显然，我们的讨论应当从改写黎曼ζ函数的复数公式开始.因为，我们可以根据复数表示定理把这个复数公式改写为实数公式：

s=σ+it=σ1-1σ.

我们已经知道，这个实数公式只是一个伪实数公式.但是，由于黎曼ζ函数为它规定了一个不可逾越的实数定义域，这个实数定义域排除了存在复数定义域的可能性，所以这个实数公式又是一个真实数公式.

从这个实数公式中，我们可以得出两个重要结论：第一，σ不可能等于零，如果σ等于零，这个实数公式就会出现一个无意义的分数;第二，σ不可能小于零，如果σ小于零，这个实数公式就会出现一个不该出现的虚数.

从这两个重要结论中，我们又可以得出一个重要结论：如果我们试图扩展这个实数公式的定义域，也只能从σ>1扩展到σ>0，而不能再从σ>0扩展到σ≤0.

从平面直角坐标系来看，这个重要结论的几何表示就是：我们只能在右平面上扩展这个实数公式的定义域，不能把这个实数公式的定义域从右平面扩展到左平面.

在确定了这个实数公式的定义域之后，我们就可以进一步确定黎曼ζ函数的定义域了.这个定义域就是：当σ=1时，s=0;当σ>1时，s>0;当σ<1时，s<0.

在确定了黎曼ζ函数的定义域之后，我们就可以进一步确定黎曼ζ函数的值域了.这个值域就是：当s=0时，ζ（s）=1;当s>0时，ζ（s）>1;当s<0时，ζ（s）>1.

从黎曼ζ函数的值域来看，如果令s和σ分别代表平面直角坐标系的纵轴和横轴，那么黎曼ζ函数就可以用两条穿越横轴的对数曲线表示出来.这两条对数曲线在横轴上的交点就是σ=1的坐标点.这个坐标点称为黎曼ζ函数的定义基准点.当s=0时，定义基准点代表一个单独存在的定义函数值.当s>0时，位于定义基准点右侧的两条对数曲线代表两组相互对称的定义函数值.其中，位于横轴上方的定义函数值代表原有函数值，位于横轴下方的定义函数值代表共轭函数值.当s<0时，位于定义基准点左侧的两条对数曲线代表两组相互对称的定义函数值.其中，位于横轴下方的定义函数值代表原有函数值，位于横轴上方的定义函数值代表共轭函数值.由于定义基准点左右两侧的定义函数值不是相互对称的，所以定义基准点左右两侧将会出现两组相互对称的无定义函数值.由于这两组相互对称的无定义函数值与定义基准点的距离相等，所以两者相减之后都会出现在垂直穿越定义基准点的一条直线上.这条直线称为黎曼ζ函数的无定义基准线.

那么，怎样区分黎曼ζ函数的定义函数值和无定义函数值呢？显然，如果将黎曼ζ函数与欧拉乘积公式联系起来，黎曼ζ函数的定义函数值就不包括任何质数，黎曼ζ函数的无定义函数值就包括所有质数.

令p代表质数，ζ（s）p代表具有质数性质的ζ（s）值，我们可以用以下方法证明这个答案：

根据以上分析，我们可以得出三个重要结论：第一，黎曼ζ函数不仅是一个复变函数，而且是一个轴对称共轭复变函数;第二，黎曼ζ函数的所有定义函数值都大于零，其中既不存在平凡零点也不存在非平凡零点;第三，黎曼ζ函数的平凡零点和非平凡零点都来源于无定义函数值，这些无定义函数值代表包含自然数中的所有质数.

黎曼猜想断言：黎曼ζ函数的非平凡零点分布在σ=1/2的直线上.从以上分析来看，这组非平凡零点都是来自定义基准点左侧的无定义函数值.由于定义基准点左右两侧的无定义函数值是相互对称的，所以我们在σ=3/2的直线上同样可以找到一组非平凡零点，用后者减去前者之后两者都会分布在σ=1的直线上.

由此可见，黎曼猜想存在两个错误：第一，把无定义函数值当成了定义函数值;第二，没有找到所有无定义函数值的准确位置.这两个错误告诉我们：虽然黎曼ζ函数可以成立，但是用黎曼ζ函数不能证明黎曼猜想的成立，除非我们可以修改黎曼猜想的断言，将这个断言改为：黎曼ζ函数的无定义函数值分布在σ=1的直线上.

那么，黎曼猜想允许我们做出这种修改吗？從黎曼猜想的最初动机来看，黎曼猜想是允许我们做出这种修改的.因为，黎曼猜想的最初动机就是根据黎曼ζ函数的定义，在纵轴右侧寻找一条垂直于横轴的直线，并用这条直线来表示质数的分布状态.只要我们能够通过黎曼ζ函数发现这条直线，不管这条直线位于什么坐标点，也不管这条直线代表哪种函数值，黎曼猜想的最初动机都可以得到满足.

【参考文献】

[1]总主编王元，副总主编文兰、陈木法.数学大辞典：第2版[M].北京：科学出版社，2017.

[2]深圳大学复变函数与场论教研组.复变函数与场论简明教程[M].西安：西安电子科技大学出版社，2012.

[3]卢昌海.黎曼猜想漫谈[M].北京：清华大学出版社，2012.