雨滴下落情况的理论分析

谢礼平

(南京东山外国语学校,江苏 南京 211103)

1 问题提出

某高三物理训练卷中出现这样一道习题.

例题.已知雨滴在空中运动时所受的空气阻力f=kr2v2,其中k为比例系数,r为雨滴的半径,v为雨滴下落速度,t=0时,雨滴由静止开始沿竖直方向下落,落地前雨滴已做匀速直线运动且速率为v0,用a表示雨滴的加速度,g表示重力加速度,下列图像可能正确的是

图1

本题给出的正确选项为(A)、(B)、(C)．针对(A)选项,许多教师展开了热烈的讨论,都觉得这是一个错误选项,理由如下.由牛顿第二定律

(1)

这是一个关于时间t的函数式,两边求导数,可得

(2)

设x为雨滴下落某时刻的位置,根据初始条件:

当t=0时,x=0,v=x′=0,故在初始时刻加速度对时间的变化率应为0,(A)选项与此结论矛盾,该选项是错误的．

以上讨论,由初始位置的信息确定了(A)是错误选项,那么,从教师角度来看,(A)选项表示的加速度图像究竟是什么形状?(B)选项也是正确的吗?

2 问题探究

2.1 推导雨滴下落的位置时间关系、速度时间关系以及加速度时间关系表达式

原题中的已知条件都是以字母的形式呈现的,为使得问题的讨论更切合实际,本文从数据的层面上讨论本题．

百度搜索可知,下落中的雨滴的最常见半径为r=1 mm,这样大小的雨滴下落的最终速度约为v0=5 m/s,假设这些数据是真实的,取g=10 m/s2.

当雨滴匀速下落时,有

kr2v02=mg.

(3)

(4)

由(3)、(4)两式可得

代入数据可得k≈1.67 kg2/m3.

将此结果代入(1)式可得

a+0.4v2-10=0.

这是一个关于时间t的函数式,将其转化为位置x的二阶微分方程,得

x″+0.4x′2-10=0.

(5)

令x′=p,那么

可将(5)式化为

上式进一步变形为

凑项得

两边积分可得

ln|0.4p2-10|=-0.8x+C1.

整理得

0.4p2-10=C2e-0.8x.

(6)

根据初始条件

当t=0时,x=0,p=x′=0,代入上式得C2=-10.

于是(6)式可化为

0.4p2=10-10e-0.8x.

解得(负值舍去)

即

得到

再次凑项

两边积分得

根据初始条件,当t=0时,x=0可得C3=0.

于是可得

化简上式得

进一步化简为

(7)

(7)式为雨滴下落的位置与时间的函数关系式,对(7)式求导数,得到雨滴速度表达式

(8)

进一步求导数,得到雨滴加速度表达式

(9)

2.2 描绘(7)—(9)3式图像

在手机(如HUAWEI Mate30 5G)下载超级计算器APP,名为“Maple Companion”.

打开APP,分别输入3个函数式: 图1与(7)式对应的雨滴下落的位置时间图像,纵坐标表示雨滴下落相对于出发点的位置,横坐标表示下落时间.图2与(8)式对应的雨滴下落的速度时间图像,纵坐标表示雨滴下落的速度大小,横坐标表示下落时间.图3与(9)式的对应的雨滴下落的加速度时间图像,纵坐标表示雨滴下落的加速度大小,横坐标表示下落时间．由于t>0,所以,对于图1—3,只需要观察第一象限的图像即可．

图1

图2

图3

图4

3 问题讨论

(1) 本题选项(B)是正确的,而(A)是错误的,对(9)式求导数,可得

当t=0时,加速度对时间变化率为0,在定义域范围内,导函数不单调．正确的加速度与时间的图像必然与图4所示类似．

(2) 从命题的角度来看,(A)选项不仅仅是科学性的问题,对这个选项的判断也完全超出了一个中学生的数理能力,他们甚至不能使用排除法解决它,这不是一道适合中学生解决的问题．

(3) 对本题的修改建议.

改编为多项选择题已知雨滴在空中运动时所受的空气阻力f=kr2v2,其中k为比例系数,r为雨滴的半径,v为雨滴下落速度,t=0时,雨滴由静止开始沿竖直方向下落,落地前雨滴已做匀速直线运动且速率为v0,用a表示雨滴的加速度,g表示重力加速度,下列图像可能正确的是

图5

这样,学生可以排除(C)、(D)两个选项从而得到(A)、(B)正确答案．