2020年全国卷Ⅰ第33题中波程差变化情况推导

卢辉洲 何崇荣

(1. 黄石市有色第一中学,湖北 黄石 435005; 2. 武汉市黄陂区第一中学,湖北 武汉 430300)

2020年全国卷Ⅰ第33题考查了两波源发生干涉时,空间振动最强点位置判断问题,有一定新意．过去的高考题和模拟题基本都是两种考向:要么给出具体的波程差,判断是否为振动最强(弱)点；要么考查振动最强(弱)点个数的判断,而判断振动最强(弱)点个数只需判断出波程差的最值即可,不需要判断波程差具体如何变化．

1 题目

图1

(1) 波的波长;

(2) 波的传播速度．

2 波程差变化情况推导

方法1:极值法.

设a、c连线上任一点p到两波源的波程差为Δ=pb-pa,根据三角形两边之差小于第三边可知,0≤pb-pa≤ab，所以,在c点时波程差为0,在a点时波程差最大,于是p点由c到a的过程中波程差一直增大,离c点最近的最强点满足Δ=pb-pa=λ．

方法2:导数法.

将波程差对位置x求导得

图2

方法3:三角函数法.

θ越大,波程差越小,即由p由c到d过程中,波程差一直增大．而p一旦过了ac边中点d,则非常直观地看出波程差也在增加．

图3 两列波发生干涉时，振动最强(弱)点满足的曲线

方法4:根据振动最强(弱)点满足曲线推理.

振动最强(弱)点到两波源a、b的距离之差为一定值,于是振动最强(弱)点在一系列双曲线上,如图3所示．由双曲线性质可知,a、c连线上任一点p对应的波程差Δ=pb-pa=be-ae,p点由c到a的过程中,be增大,ae减小,于是波程差不断增大．

根据方法4可以很直观地判断两波源连线、以两波源连线为直径的圆周、以两波源为焦点的椭圆周等特殊路径上某点到两波源的波程差变化情况．