立意于“下位学习”的《三角形的中位线》教学探究

张淑波

[摘 要]在《三角形的中位线》教学中，教师普遍采用上位学习形式来探索三角形中位线的性质，但由于思维跨度大、所花时间多，导致偏离了教学重点.而采取下位学习形式来探索三角形中位线的性质能提高教学效率.

[关键词]下位学习;三角形;中位线

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）05-0007-02

命题学习有上位学习、下位学习、并列结合学习三种形式.《三角形的中位线》是在学习平行四边形之后提出来的.目前在该课的教学中，教师普遍采用上位学习形式来探索三角形中位线的性质，导致性质证明与性质应用的认知过程不深入.基于此，笔者根据平行四边形与三角形之间的内在联系，采用下位学习形式来探索三角形中位线的性质.

一、教学实录

1.经历定义三角形中位线与提出问题的过程

师：我们知道，三角形的中线、高线、角平分线是三角形的相关要素，联结三角形两边中点的线段以后也会经常遇到.我们把联结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.

师：一个三角形有几条中位线？它与三角形的中线有何差异？

生1：一个三角形有三条中位线.三角形的中位线是联结三角形两边中点的线段，而三角形的中线是联结三角形的顶点与其对边中点的线段.

师：三角形的中位线与第三边之间有何关系？本节课我们就来研究这个问题.（揭示课题）

2.探索并证明三角形中位线的性质

师：如图1，若过平行四边形ABCD的对角线交点O，作一条直线EF交平行四边形ABCD于E、F两点，则EO=OF.

师：如图2，当点E是AB中点时，你能发现哪些结论？

生2：EO=OF，CF=AE=BE.

师：为什么？

生2：首先，根据上述平行四边形性质可得EO=OF;其次，因为△AOE≌△COF，AE=BE ，所以CF=AE=BE.

师：有道理.还能发现什么？

生3：EF=BC.因为CF=BE且CF∥BE，所以四边形EBCF是平行四边形，所以EF=BC.

生4：[EO=12BC]，EO∥BC.因为EF=BC，EO=OF，所以[EO=12BC].因为CF=BE且CF∥BE，所以四边形EBCF是平行四边形，所以EO∥BC.

师：好的.我们从平行四边形性质出发，通过推理得到了三角形中位线与第三边的关系.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

师：它是解决线段平行问题和线段倍半关系问题的重要工具.定理的几何模型如图3所示，用几何语言表达就是：如图3，在△ABC中，若E是AB的中点，O是AC的中点，则EO∥BC，[EO=12BC].事实上，在上述推理过程中发现，不用上述平行四边形性质，也能证明三角形中位线的性质.

师：如图3，要证[EO=12BC]，EO∥BC，只要证什么？

生5：如图4，作以BC为边的平行四边形BCFA，延长EO交CF于点D，只要证四边形EBCD是平行四边形.

师：你是怎样想到添这些辅助线的？

生5：因为图3是从平行四边形中分解出来的，所以想到让它还原成平行四边形.

师：你运用了化归思想.能证四边形EBCD是平行四边形吗？

生5：能证.因为AO=OC，CF∥AB，所以△AEO≌△CDO（ASA），所以CD=AE=EB，所以四边形BCDE是平行四边形.

师：由此，能推出EO∥BC，[EO=12BC]吗？

生5：能.因为四边形BCDE是平行四边形，又因为EO=DO，所以EO∥BC，[EO=12BC].

师：还有其他证明方法吗？

生6：如图5，延长EO至点D，使EO=OD，则△AEO≌△CDO，所以CD=AE=EB，且CD∥AB，所以四边形BCDE是平行四边形，所以EO∥BC，[EO=12BC].

师：好的.你是怎样想到添这条辅助线的？

生6：要证[EO=12BC]，只要证2EO=BC，所以想到了添这条辅助线.

师：有道理.“加倍法”是证线段倍半关系的基本策略.还有其他证明方法吗？

生7：如图6，取BC的中点D，联结DO并延长至点F，使DO=OF，联结AF，则△AFO≌△CDO，从而AF=CD=BD，∠F=∠ODC，从而AF∥BD，从而可以推出四边形AFDB是平行四边形，进而可以推出四边形EBDO是平行四边形，所以EO∥BC，[EO=12BC].

师：好的.你是怎样想到添这条辅助線的？

生7：根据[EO=12BC].

师：有道理.“折半法”（取长线段的一半）也是证线段倍半关系的基本策略.

生8：还有一种证法，即如图7，取BC的中点D，连接AD、ED、OD，则S△ABD=S△CAD，S△AED=S△BED，S△AOD=S△COD，所以S△EBD=S△OCD，点O、E到BC的距离相等，EO∥BC.同理OD∥AB，四边形BEOD是平行四边形，[EO=12BC]，EO∥BC.

师：妙！你用“面积法”巧妙地证明了这个命题.

师：你是怎样想到这种证明方法的？

生8：我觉得应该可用“折半法”来证明，但用常规方法花了很多时间还是证不出来，于是尝试用面积法去证，结果成功了.

3.参与尝试定理应用的活动

师：下面请大家合作解决下列三个问题.

问题1：如图8，要测量B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连接DE.只要测出DE的长，就可以求得B、C两地的距离.其理论依据是什么？

问题2：如图9，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.

问题3：如图10，已知△ABC是锐角三角形.分别以AB、AC为边，向外侧作等边△ABM和等边△ACN.D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，连接DE、FE.求证：DE=FE.

师（约5分钟后）：谁来回答问题1？

生9：其理论依据是三角形的中位线定理.

师：好的.谁来证明问题2？

生10：联结AC.根据三角形中位线定理，得[HG=12AC]，HG∥AC.同理，[EF=12AC]，EF∥AC，所以HG=EF且HG∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形.

师：好的.谁来证明问题3？

生11：联结BN，MC.根据三角形中位线定理，得[EF=12BN]，[DE=12MC].又因为△ABN ≌△AMC，所以BN=MC，所以DE=FE.

师：好的.怎样的题型可考虑用三角形中位线定理？

生12：若问题与中点有关，则可考虑用三角形中位线定理.

师：有道理.若问题与中点有关，则可考虑构造三角形中位线的几何模型.

二、教学分析

本课根据平行四边形与三角形之间的内在联系，用下位学习形式来探索三角形中位线的性质，设计了“用抽象方式定义三角形的中位线→提出问题（三角形中位线与第三边之间有何关系？）→逻辑推理（根据平行四边形的性质，通过推理得出三角形中位线的性质）→多样表达（用文字语言、符号语言、图形语言表达性质）→再探证法（用多种方法证明性质）→解决问题（用获得的定理解决简单的问题）→反思内化（欣賞定理，感悟探索的策略与方法及证明性质的思想方法，积淀证线段倍半关系添辅助线的经验等）” 的教学过程，把教学侧重点放在性质证明与性质应用上，并从学生已有的知识与经验出发，采用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式和用激励来评价学生表现的教学方法.

（责任编辑 黄桂坚）